全国大学生高等数学竞赛试题汇总及其规范标准答案.docx
22页第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷(非数学类，2013)•、(本题共4小题，每小题各6分，共24分)解答下列 各题.(1)求极限 lim (1 + sin 兀J1 + )(2)证明广义积分［―tZr不是绝对收敛的. o X(3) 设函数y = j(x)由P+3x'*-2*3 =2所确定，求*(x)的极值.(4) 过曲线* = V^(x20)上的点乍切线，使该切线与曲线及x轴 所围成的平面图形的面积为求点/的坐标•二、 (本题12分)计算定积分/ xsinx.aretenbdx.三、 (本题12分)设/(X)在x = o处存在二阶导数，且iim竺=0.证明：级数y/f-1收敛.ex 0 \nj五、(本题14分).设E是一个光滑封闭曲面.方向朝外.给定第二型 曲面积分/ = jj(X，一 x^dydz + (2yy -*)d=dx +(3z3 -z^dxdy.试确定曲面£,使得积分/的值最小，并求该最小值.六、（本题14分）设/［痒篇，其中［为常 ? （x-+y）"数，曲线C为摘圆x2+xy+y2=r2,取正向.求极限lim Zu（r）.r—,1 1oe 1 + — + ・・• + —七、（本题14分）判断级数y—飞 的敛散性，若£伽+顶〃+2）收敛，求其和.前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看 一些书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。
2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分）3 + y）ln（l + —）1.计算J］一 dy = 16/15,其中区域D由直线x+y = l与两坐标轴所围成三角形区域.A 6o 1 ）(x+ y)ln(l + —)xyjl-x-y解： 令 x+y ="，尤=u, 则 x = v.y -u-v, dxdy = det dudv = dudv ,1 1 rr i/ln w-i/ln v ,〔-dxdy = ； ——udv*U ll ru, i dv ——, In vdv)duJo JoH w2 In i/ w(wln u — u)[= i /——dwJJl — u Jl-以(*)J°令I = J1 -",则以=1 —户Au — —2/dt, =1 — 2尸 +1，，"(1 — a)=尸(1 — /)(1 +1),(*) = —(1 — 2t2 + t4)dt=2「(1 — 2?2 + ?4 )d? = 2 t — — t3 + — t5 =—J L 3 5 Jo 152. 设/'(x)是连续函数，且满足 /(%)-3x2-f7(x)dx-2,则 f(x)=.J 0/-2 0解：令 A= [ f(x)ck,则 f(.x) = 3a- — A — 2 ,J 0A = [' (3x2 _ A_ 2加=8 - 2(/ + 2) = 4 - 2/, J 0解得 A = |o 因此 /(x) = 3%2-y ox23. 曲面z = + y* — 2平行平面2x + 2y — z = 0的切平面方程是.解：因平面2x + 2y —z =。
的法向量为(2,2,—1),而曲面z = - + y2- 2在3(),%)处的法 向量为(z,(Xo，yo)，Zy(x(),yo)，T)， 故 (zx(x0,y0), zy(x0, y0),-l)与(2,2,-1)平行，因此，由 zx = x , = 2y 知2 = zQo, %)=工0,2 = zy(x0,y0) = 2y0 ,即 x()= 2, % = 1 ,又 z(.x(), v()) = z(2,l) = 5,于是曲面 2 x + 2y- z =在 3o‘ No, z(x(), y0))处的切平面方程是 2(x — 2) + 2(y — 1) — (z — 5) = 0 ,即曲面2 = —+v2- 2平行平面2 '2x + 2y-z = 0的切平面方程是2x + 2y-z-l = 04. 设函数y = y(x)由方程xefM = e" In 29确定，其中/'具有二阶导数，且f'^1,则 d2y _dx-— '解：方程入次⑴=e>ln29的两边对x求导，得e，⑴ + xf'{y~)y'ef(y) =e〉y'ln29因 ey In 29 = xez(1),故—+ f\y)y' = y',即 y'= ,因此x ' ' XI-/ (v))M = _ ] +抨- .ra-fXv)) X[l-=E 1 = m)-[1--(M—x2[l-X2(l-■ 有 1 —广(视3x . 2x . . ^nx ee -i— e -i— , • , -i— e —二、(5分)求极限limf十°十 尸，其中”是给定的正整数.解：因x . 2x , , nx e x . 2x , , nx, “ e「 ,e + e H e - 「 e + e e - n~hm ( ) x = hm (I + )xXT0 n x—>0. Jlx . . ^nx 一--4 「 e + e H e —neA = lim io n xx , 2x , , ^nx “e + e H e - n-elimxtOnxx . c -2* - . — nx「 e + 2e H ne-elim101 + 2 n n +1e = en 2因此x . 2x . . ^nx e「 k + e H e - ahm( )x =犷n+1 e2三、(15分)设函数/'(x)连续，g(x) = C f(xt)dt，且lim丑» = A, A为常数，求g'(x)J 0 xtO x并讨论g\x)在x =。
处的连续性.解：由 limWM = A和函数 f(x)连续知，/(0) = lim f(x) = lim xlim = 0 x—>0 jq x—>Q x—>0 xtO jq因 g(x) = j： f(xt)dt,故 g(0) = j： f (0)山=/(O) = 0, J 0 J 01 f X因此，当 x^O 时，g(x) = — [ f(u)du ,故 Y JVf(u)dulim g(x) = lim X—>0 X—>0 JQ2(0) = o当x^O时，加=-张(冲+专,1 p xg'(O) = limg ⑴-g(0)=临】/'向 x—>0 x x—>01 rx这表明g'(x)在尤=0处连续.f7(0d/ f * u =lim xtOr /(x) A, =hm^^ = —x 5 5 2x 2 ]=lim limrl f(u)du = A jq x—>0 jq x—>0 jq Jo 2A~2四、(15分)已知平面区域D = {{x.y)\G
上连续，故由格林公式知(1) ^xesmydy-ye-smxdx= ff — (xesin v) - — (-ye~sm v) dxdy[ \_dx dy _= jj(es,nv+e-sini)dxdy DJxe-Sinvdy-jesinvdxL=ff ?(-D dxdy2 \_ox dy _=仆"+烫冲心D而关于i和y是对称的，即知JJ (e 血'+ e")dxdy = JJ (e" + esinv)dxdjD D因此jxesmydy - ye-sin xdx =^xe smydy - jesin 'dxL L(2)因+gT = 2(1+ — + — + •••) 2 2(1 + 〃)故产，+ e-g z 2 + six? * = 2 + 1 —Ex = 5~cos2x2 2由jxes,nvdy — ye~sinv(k = jj (es,nv + e~sinr)(kdy = jj (e~siny + esinx)dxdyL D D知§ xesin vdy - ye sin vclx = -jj (esin v + e^111 ' )ixdy + -jj "+ esin r )dxdyl 2。
2 D= -JJ (esinv + e-sinv)cLxdy + -JJ (/" + esinv)cLx-dy = JJ (厂瞄 + esinv)cLx-dy2 d 2d d=〃了(e—g + esinx)ck > 5~C°s2xdx = |/r2即 ^xesmydy-ye-smydx>^7r2五、(10 分)已知 y = + e2 r, y2 = xe" + e，' , y3 = xe' + e2 v - K 是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.解设叫=xex + e2x , % = W + e—，, j3 = xe' + e2x -厂是二阶常系数线性非齐次微分方程y" + by' + cy = f{x)的三个解，则为 -叫=K - e2'和晃-山=£一'都是二阶常系数线性齐次微分方程y" + by' + cy = 0的解，因此y" + by' + cy =的特征多项式是(2 - 2)(2+ 1) = 0 ,而y" + by' + cy =的特 征多项式是矛 + bA + c = 0因此二阶常系数线性齐次微分方程为—y' —2y = 0,由W一乂― 2义=y(x)和y[=ex + xex + 2e2x , y'； = 2ex + xex + 4e2x知,/(x) = W — y； — 2m = xe，+ 2e，+ 4e2x ~(xex + e，+ 2e2') - 2(xex + e2")= (1- 2x)eA二阶常系数线性非齐次微分方程为y" -y' -2y^ex -2xex六、(10分)设抛物线v = ax2 +bx+21n c过原点.当OVxVl时，v > 0,又已知该抛物线与x轴及直线X = 1所围图形的面积为-.试确定a,b,c,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋 3转体的体积最小.解 因抛物线y = ax2 +/?%+ 21n c过原点，故c = l,于是2 cix^ + — (1 —。
)尤)2 dt而此图形绕X轴旋转一周而成的旋转体的体积V(6Z)= 7t£(€ZX2 + Z?x)2dt ==7Zi22 £x4dt + 7T^a(l- 6Z)£x3dt + ^-^(l-4Z)2£x2dt——71(2^ + 7T — 4Z(1 _ Q)+ 71 'I — Q)2即、1 7 1 V 4 v “V(") — — TUI + 7T — Cl(l — Cl) + 71 (1 一 Cl)令2 1 QV\tz) = -7ia + 7r—(l- 2d) - tt — (1 - tz) = 0,得54 45-9040 + 40 04ci + 5 = 0因此七、(15 分)已知"〃⑴满足un(x) = un(x) + xn~lex(n = 1,2,• • •),且un(V)= — f 求函数项 n 00级数Z""(x)之。
