米山国藏论数学的精神.doc

《《米山国藏论数学的精神、思想和方法米山国藏论数学的精神、思想和方法》》节选节选作者／来源：作者／来源：《《作为教育任务的数学思想与方法作为教育任务的数学思想与方法》》 发布时间：发布时间：2010-12-132010-12-13无论对于科学的工作者、技术人员，还是数学教育工作者，最重要的数学无论对于科学的工作者、技术人员，还是数学教育工作者，最重要的数学的精神、思想和方法，而数学知识只是第二位的的精神、思想和方法，而数学知识只是第二位的——米山国藏米山国藏米山国藏，日本著名数学家和数学教育家，他认为米山国藏，日本著名数学家和数学教育家，他认为“科学工作者所需要的数科学工作者所需要的数学知识、相对的说是不多的，而数学的研究精神、数学的发明发现的思想方法、学知识、相对的说是不多的，而数学的研究精神、数学的发明发现的思想方法、大脑的数学思维训练，对科学工作者是绝对必要的大脑的数学思维训练，对科学工作者是绝对必要的 ”学生在学校学的数学知识，学生在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，很快就忘掉了然而，不管他们将来从事什么工作，毕业后若没什么机会去用，很快就忘掉了然而，不管他们将来从事什么工作，深深铭刻在心中的数学精神、数学的思维方法，研究方法、推理方法和看问题深深铭刻在心中的数学精神、数学的思维方法，研究方法、推理方法和看问题的着眼点，却能使他们终身受益。

所以，数学的精神、思想和方法应是数学教的着眼点，却能使他们终身受益所以，数学的精神、思想和方法应是数学教育根本目的之所在然而育根本目的之所在然而“现在的数学书籍，不论是教科书还是参考书，也不论现在的数学书籍，不论是教科书还是参考书，也不论是大部头的著作还是论文，都仅仅是记述了数学知识，可以说还没有一本论述是大部头的著作还是论文，都仅仅是记述了数学知识，可以说还没有一本论述数学的精神，数学的思想和数学的方法的著作数学的精神，数学的思想和数学的方法的著作 ”于是，他亲自撰写于是，他亲自撰写《《数学的精数学的精神、思想和方法神、思想和方法》》 ，， “从较高的观点精辟地论述了贯穿于整个数学中的精神实质、从较高的观点精辟地论述了贯穿于整个数学中的精神实质、重要的数学思想、各种重要的研究方法和证明方法，并为我们勾画出了整个近重要的数学思想、各种重要的研究方法和证明方法，并为我们勾画出了整个近代数学的沿革和它多姿多彩的面貌；同时，对于如何向学生传授这些精神、思代数学的沿革和它多姿多彩的面貌；同时，对于如何向学生传授这些精神、思想、方法，提出了许多很好的见解想、方法，提出了许多很好的见解 ”一、数学精神一、数学精神关于什么是数学精神、米山国藏并没有给予精确回答，但从他所描述的关于什么是数学精神、米山国藏并没有给予精确回答，但从他所描述的“数数学精神学精神”的活动，我们能领悟到数学精神就是处理问题的一般数学思维方法、的活动，我们能领悟到数学精神就是处理问题的一般数学思维方法、习惯和数学研究方法。

它概括了七种主要精神这些精神在数学教学中应不失习惯和数学研究方法它概括了七种主要精神这些精神在数学教学中应不失时机地向学生渗透时机地向学生渗透1．． 应用化的精神应用化的精神数学应用化的精神体现在两个方面，一是数学自身内部的应用，二是对数数学应用化的精神体现在两个方面，一是数学自身内部的应用，二是对数学外部的应用学外部的应用数学开始从少数几个公理出发，将它们符合逻辑地作各种各样的组合；然数学开始从少数几个公理出发，将它们符合逻辑地作各种各样的组合；然后，一个接着一个地推导、证明出定理、公式；进而又应用它们去导出另外的后，一个接着一个地推导、证明出定理、公式；进而又应用它们去导出另外的定理、公式；同时用它们去解决各种问题，这些都是数学本身的应用没有这定理、公式；同时用它们去解决各种问题，这些都是数学本身的应用没有这种自身的应用，数学是无法发展的，也正是由于这种自身的应用，才创造出数种自身的应用，数学是无法发展的，也正是由于这种自身的应用，才创造出数学学科特有的逻辑严谨的结构体系，因而学学科特有的逻辑严谨的结构体系，因而“应用化的精神是数学的生命应用化的精神是数学的生命”数学在自然科学、社会科学等外部领域中的应用越来越广泛。

在自然科数学在自然科学、社会科学等外部领域中的应用越来越广泛在自然科学领域中，特别是在物理学、天文学这两个学科中的应用最为显著因此，学领域中，特别是在物理学、天文学这两个学科中的应用最为显著因此，X射线的发现者伦琴指出：射线的发现者伦琴指出：“对科学工作者必不可少的，第一是数学，第二是数学，对科学工作者必不可少的，第一是数学，第二是数学，第三还是数学第三还是数学 ”2．． 扩张化、一般化的精神扩张化、一般化的精神数学工作者经常做的一个工作就是数学工作者经常做的一个工作就是“推广推广”，看看将一个定理的条件或结论，看看将一个定理的条件或结论改变一下会改变一下会出现什么新的结果，这中间体现的就是扩张化、一般化的精神数学教育出现什么新的结果，这中间体现的就是扩张化、一般化的精神数学教育中，由一组特例引导学生归纳猜想概括出一般结论，也体现着一般化精神所中，由一组特例引导学生归纳猜想概括出一般结论，也体现着一般化精神所以，数学研究工作者和数学教育工作者在工作中贯彻一般化的精神是非常重要以，数学研究工作者和数学教育工作者在工作中贯彻一般化的精神是非常重要的⑴⑴数学概念的一般化数学概念的一般化数学中的许多重要概念，随着时间的推移，从它最初的原始状态，被一次数学中的许多重要概念，随着时间的推移，从它最初的原始状态，被一次一次地扩张、推广，结果成为像今天这样广泛而精确的概念。

函数概念就是一一次地扩张、推广，结果成为像今天这样广泛而精确的概念函数概念就是一典型的例子函数概念由基本概念经过多次扩张，逐步地扩大了函数的范围，典型的例子函数概念由基本概念经过多次扩张，逐步地扩大了函数的范围，而每一个新的函数概念又总是包括了以前的概念并逐步地有所推广，直到成为而每一个新的函数概念又总是包括了以前的概念并逐步地有所推广，直到成为今天这样令人惊叹的广泛的函数概念今天这样令人惊叹的广泛的函数概念⑵⑵数学定理、法则的一般化数学定理、法则的一般化数学研究工作者在发现了某个新定理后，紧接着就应探求是否能将这个定数学研究工作者在发现了某个新定理后，紧接着就应探求是否能将这个定理推广若能成功地推广，则其研究就推进了一步理推广若能成功地推广，则其研究就推进了一步——数学能用这个方法扩大数学能用这个方法扩大其范围⑶⑶某些数学分支的一般化某些数学分支的一般化除了概念、定理、法则的一般化之外，某个数学分支也会一般化米山国除了概念、定理、法则的一般化之外，某个数学分支也会一般化米山国藏以初等几何的一般化过程和连续点集合论的一般化过程为例，说明了随着数藏以初等几何的一般化过程和连续点集合论的一般化过程为例，说明了随着数学分支的细化和拓展，数学工具功能越来越强大，使不能解决的问题得以解决。

学分支的细化和拓展，数学工具功能越来越强大，使不能解决的问题得以解决无论是数学的基本概念、定理、法则，还是数学各分支本身，许多都是以无论是数学的基本概念、定理、法则，还是数学各分支本身，许多都是以已知事项为基础，依赖于将其推广使其一般化的精神而实现的所以，数学研已知事项为基础，依赖于将其推广使其一般化的精神而实现的所以，数学研究工作者在某项新研究中获得了新发现时，应以所得的结论为基础，考虑将它究工作者在某项新研究中获得了新发现时，应以所得的结论为基础，考虑将它一般化，并以此去形成新的研究项目不仅对数学研究，对整个科学的研究，一般化，并以此去形成新的研究项目不仅对数学研究，对整个科学的研究，甚至在科学以外的研究领域，贯彻一般化的精神都很重要教师每当遇到一般甚至在科学以外的研究领域，贯彻一般化的精神都很重要教师每当遇到一般化的好例子时，一定要给学生指出来，用以启发一般化的精神及揭示一般化的化的好例子时，一定要给学生指出来，用以启发一般化的精神及揭示一般化的方法教师应该让学生养成这样的习惯：从某个特殊的事项出发，努力改革它，方法教师应该让学生养成这样的习惯：从某个特殊的事项出发，努力改革它，使之成为能够适用于更一般的情形、更广泛的范围。

使之成为能够适用于更一般的情形、更广泛的范围3．． 组织化、系统化的精神组织化、系统化的精神从数学历史发展的角度来看，数学是因人类生活（包括物质生活和精神生从数学历史发展的角度来看，数学是因人类生活（包括物质生活和精神生活）的需要而活）的需要而产生的数学内容开始是零散的、不系统的，随着数学的发展，数学家的产生的数学内容开始是零散的、不系统的，随着数学的发展，数学家的不断创造，内容逐渐丰富起来，当达到一定规模时，数学家就开始将其组织化、不断创造，内容逐渐丰富起来，当达到一定规模时，数学家就开始将其组织化、系统化和结构化，从而形成一门学科数学的发展过程可谓是由零散、孤立到系统化和结构化，从而形成一门学科数学的发展过程可谓是由零散、孤立到组织化、系统化的过程组织化，系统化是数学的一种重要精神组织化、系统化的过程组织化，系统化是数学的一种重要精神⑴⑴数学内容的组织化、系统化数学内容的组织化、系统化数学内容组织化的第一个例子是几何内容的组织化，分别由不同的人彼此数学内容组织化的第一个例子是几何内容的组织化，分别由不同的人彼此独立地发现的几何学的各个定理被欧几里的组织起来，使得它们能够由少数几独立地发现的几何学的各个定理被欧几里的组织起来，使得它们能够由少数几个公理一个接一个地推导出来，从而第一次使之成为一门科学。

第二个例子是个公理一个接一个地推导出来，从而第一次使之成为一门科学第二个例子是数系的组织化，自然数是由计数物品的需要而产生的；分数是由表示等分后的数系的组织化，自然数是由计数物品的需要而产生的；分数是由表示等分后的物品的数量的需要而产生的；无理数是由开方或处理不可通约的数量的需要而物品的数量的需要而产生的；无理数是由开方或处理不可通约的数量的需要而产生的；负数、复数是求解方程的需要而产生的如此等等，各有各的成因产生的；负数、复数是求解方程的需要而产生的如此等等，各有各的成因随着人类认识水平的提高，这些数被科学地组织起来，构成了一个精巧而优美随着人类认识水平的提高，这些数被科学地组织起来，构成了一个精巧而优美的数系体系实际上，像上述情况，在数学的数系体系实际上，像上述情况，在数学忠忠随处可见随处可见⑵⑵方法的组织化、系统化方法的组织化、系统化关于自然数的加法、减法、乘法等运算，是由于人类生活的需要而自然地关于自然数的加法、减法、乘法等运算，是由于人类生活的需要而自然地产生的，但若从适当的观点出发，将它们组织化，系统化，则它们之间也会有产生的，但若从适当的观点出发，将它们组织化，系统化，则它们之间也会有某种非常有趣的联系，并且可以看作是密切地结合成一体的。

比如用同一种观某种非常有趣的联系，并且可以看作是密切地结合成一体的比如用同一种观点，能够由加法而引出乘法，由乘法而引出乘方运算，而它们的逆运算分别就点，能够由加法而引出乘法，由乘法而引出乘方运算，而它们的逆运算分别就是减法、除法和对数运算或开方运算于是，我们可以看到，七种运算有不可是减法、除法和对数运算或开方运算于是，我们可以看到，七种运算有不可分割的密切联系，而且可以认为，它们是由同一种观点（反复地对同一数施行分割的密切联系，而且可以认为，它们是由同一种观点（反复地对同一数施行同一运算的正运算和逆运算）组织化、系统化起来的同一运算的正运算和逆运算）组织化、系统化起来的⑶⑶组织化精神的必要性组织化精神的必要性随着文化水平的日益提高，各种事物的日益复杂，组织化的活动就越来越随着文化水平的日益提高，各种事物的日益复杂，组织化的活动就越来越显得必要，数学是组织严密的有机整体，因此，数学教育应努力利用数。