傅里叶变换性质证明.docx

傅里叶变换性质证明 2.6 傅里叶变换的性质 2.6.1线性 假设信号 那么对于随意的常数a和b，有 将其推广，假设 ,那么和的傅里叶变换分别为 和， 其中为常数，n为正整数 由傅里叶变换的定义式很简单证明线性性质. 明显傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：匀称性和叠加性匀称性说明，假设信号乘以常数a，那么信号的傅里叶变换也乘以一样的常数a，即 叠加性说明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和 2.6.2 反褶与共轭性 设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来探讨信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换 〔1〕反褶 f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为 〔2〕共轭 〔3〕既反褶又共轭 本性质还可利用前两条性质来证明： 设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，那么 在上面三条性质的证明中，并没有特殊指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满意下面三条性质 2.6.3 奇偶虚实性 确定f(t)的傅里叶变换为。

在一般状况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两局部，即 依据定义，上式还可以写成 下面依据f(t)的虚实性来探讨F()的虚实性 (1) f(t)为实函数 比照式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得 〔1.1〕f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t) X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时X()=0，于是 可见，假设f(t)是实偶函数，那么F()也是实偶函数，即 左边反褶，右边共轭 〔1.2〕f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t) R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时R()=0，于是 可见，假设f(t)是实奇函数，那么F()是虚奇函数，即 共轭 左边反褶，右边有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号〔即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清晰，或者说是没有必要关怀信号的奇偶特性〕的FT频谱特点2.6.4对称性 傅里叶变换与傅里叶反变换之间存在着对称关系，称为傅里叶变换的对称性质。

假设确定 F()=F[f(t)] 那么有 F[f(t)]=2лf(-) 证明：因为 将变量t与互换，再将2乘过来，得 上式右边是傅里叶正变换定义式，被变换函数是F(t) 所以 F[F(t)]=2лf(-) 假设f(t)为偶信号，即f(t)=f(-t)，那么有 F[F(t)]=2f() 从上式可以看出，当f(t)为偶信号时，频域和时域的对称性完全成立――即f(t)的频谱是F()，F(t)的频谱为f() 假设f(t)为奇信号，即f(t)=-f(-t)，那么有 F[F(t)]=-2f() 利用FT的对称性，我们可以很便利地一些信号的傅里叶变换下面我们举些例子来说明这一点 2.6.5 尺度变换 假设F[f(t)]=F()，那么 这里a是非零的实常数 下面利用FT的定义及积分的性质，分a>0和a 0时 当a < 0时 上述两种状况可综合成如下表达式： 由上可见，假设信号f(t)在时域上压缩到原来的1/a倍，那么其频谱在频域上将展宽a倍，同时其幅度减小到原来的1/a。

尺度变换性质说明，在时域中信号的压缩对应于频域中信号频带的扩展，反之，信号的时域扩展对应于频域的压缩对于a=-1的特别状况，它说明信号在时域中沿纵轴反褶等效于在频域中频谱也沿纵轴反褶 对傅里叶变换的尺度变换特性最通俗的说明可以采纳生活中的实例来说明，在录音带快放时，其放音速度比原磁带的录制速度要快，这就相当于信号在时间上受到了压缩，于是其频谱就扩展，因而听起来就会感觉到声音发尖，即频率提高了反之，当慢放时，放音的速度比原来速度要慢，听起来就会感觉到声音浑厚，即低频比原来丰富了〔频域压缩〕 2.6.6 时间平移(延时) 下面进展证明 证明： 上式右边的积分项为傅里叶变换定义式， 于是可以得到 同理可以得到 2.6.7 时域微分 假设F[f(t)]=F()，那么 证明：因为 ，两边对t求导，可得 所以 同理，可以推出 由上可见，在时域中f(t)对t取n阶导数等效于在频域中f(t)的频谱F()乘以(j)n. 下面举一个简洁的应用例子。

假设确定单位阶跃信号u(t)的傅里叶变换，可利用此定理求出(t)的FT 2.6.8 频域微分 假设F[f(t)]=F()，那么 证明：因为 ，两边分别对求导，可得 所以 2.6.9 时域积分 可见，这与利用符号函数求得的结果相同 2.6.10 频域积分 本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第8页 共8页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页。