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《线性代数与空间解析几何》 第十二讲第十二讲空间的平面与直线空间的平面与直线哈工大数学系代数与几何教研室哈工大数学系代数与几何教研室 王王 宝宝 玲玲1复习上一讲内容复习上一讲内容空间中的平面方程空间中的平面方程: （（A, B, C不全为不全为0））xaybzc++=1Ax+By+Cz+D= =0点法式点法式三点式三点式截距截距式式一般式一般式2本节主要内容本节主要内容 平面与直线的方程平面与直线的方程. . 距离距离. . 位置关系位置关系. . 平面束平面束33.3.2 3.3.2 空间中直线的方程空间中直线的方程称此向量为这条直线的方向向称此向量为这条直线的方向向方向向量方向向量: : 若一若一非零非零向量平行于一条直线，向量平行于一条直线，量量, ,记为记为直线位置的确定直线位置的确定: : 一点一点, ,方向向量；方向向量；两相交平面两相交平面. .两点；两点；4已知已知M(x,y,z)∈L1.1.标准式标准式( (点向式点向式) )方程方程: : 则则5当当 中有两个为中有两个为0 0时时, ,例例 2.2.特殊直线方程：特殊直线方程：当当中有一个为零，中有一个为零，例例, ,则则则则6已知已知 Mi(xi,yi,zi)∈∈L , ,i =1,2, ,则则 M(x,y,z)∈L∥∥M(x,y,z)∈Lt∈T4.4.两点式方程两点式方程: :3.3.参数式方程参数式方程: :75.5.一般式一般式( (交面式交面式) )方程方程: :一般式一般式拆等号拆等号标准式标准式参数式参数式添参添参消参消参注意注意:直线直线方程形式的互化方程形式的互化∥∥M0s，，8解解 可令可令得得例例2 2 化为标准式和参数式化为标准式和参数式. .将直线将直线所以直线上一点为所以直线上一点为由由9的的标准标准方程为方程为: :令令的的参数参数方程方程: :若令若令 ，，则解得则解得且且10的的标准标准方程为方程为: :的的参数参数方程方程: :11 距离距离点-点; ;点-线;点-面;线-线;线-面;面-面.1.点-点:2.点-线:LM0 0M1 1sd平行四边形的高平行四边形的高12解解例例3 3求点求点 到直线到直线的距离的距离. .133.点点- -面面:因为因为• Q••M0 0M1 1nd14求点求点 到平面到平面例例4 4的距离的距离. .解解154.线线- -线线( (异面直线异面直线) ):L2L1M1M2ds1 s2L316求两异面直线求两异面直线之间的距离之间的距离. .例例5 5解解与与17面-面;线-线; 线-面1.1.平面与平面平面与平面: :• 平行平行• 重合重合• 垂直垂直• 两平面的夹角两平面的夹角--0≤ ≤2 2n2n1 3.3.4 3.3.4 位位 置置 关关 系系• 相交相交∥∥∥∥18• 平行平行• 重合重合• 垂直垂直• 两直线的夹角两直线的夹角--0≤ ≤2 22 2. .直线与直线直线与直线: :且M1在L2上19• • 20的法向量的法向量例例6 6解解 取取 证证明明直直线线 与与 共面共面,并求并求 所在的平面方程所在的平面方程.与与 共面共面. 所求平面方程为所求平面方程为21判断判断m为何值时下面两直线相交为何值时下面两直线相交: :解解由共面知由共面知由此解出由此解出m =3=3. . s1 1 s2 2, ,故故m =3=3时时, ,两直线相交两直线相交. .∥∥例例7 722• 直线与平面的夹角直线与平面的夹角--0≤ ≤2• 平行平行• L L在在 上上且且• 垂直垂直3.直线与平面:233.3.5 3.3.5 平平 面面 束束存在不全为零的参数存在不全为零的参数 、、 使使 通过通过L 的平面束方程为的平面束方程为：：或或： 平面束平面束: 通过定直线通过定直线 L 的所有平面全体的所有平面全体．．共面共面与与 不平行不平行24例例8 8 已知平面已知平面 问问 与与 是否相交是否相交; ;如果相交如果相交, ,求出交线求出交线 上投影的直线方程上投影的直线方程. .在平面在平面解解与与相交相交, ,交线为交线为 . .∥∥n2n1, ,∥∥,则则设过设过 的平面束方程为的平面束方程为即即25所求所求 代入平面束方程得代入平面束方程得注注 直线为标准式应将其化为一般式后写出平面束直线为标准式应将其化为一般式后写出平面束26例例9 9 求直线求直线上的投影直线上的投影直线 的方程的方程. ., ,在平面在平面解解过过L L的平面束为的平面束为27例例1010 求两直线间的距离求两直线间的距离过过 作平面作平面 只需求只需求 到到 的距离的距离. .∥∥到到 的距离为所求的距离为所求解解28第三章 几何向量习题课29几何向量几何向量 直线方程直线方程平面方程平面方程向量表示向量表示向量运算向量运算两两 点点 式、标式、标 准准 式式参参 数数 式、一般式式、一般式加加 法、数乘（伸缩）法、数乘（伸缩）数量积：两向量垂直数量积为数量积：两向量垂直数量积为0向量积：两向量平行向量积：两向量平行 向量积为向量积为0混合积：三向量共面混合积：三向量共面 混合积为混合积为0点点 法法 式、三式、三 点点 式、截式、截 距距 式、一般式、平面束式、一般式、平面束位置关系位置关系平面与平面平面与平面直线与平面直线与平面直线与直线直线与直线相交相交→垂直垂直平行平行(距离距离)→共面共面平行平行(距离距离)→共线共线相交相交→垂直垂直异面异面→公垂线公垂线(距离距离)几何表示几何表示坐标表示坐标表示←空间直角坐标系空间直角坐标系夹角夹角夹角夹角距离距离点点-点、点点、点-线、点线、点-面面30典典 型型 题题与与反向反向, ,且且与与同向同向, ,且且与与同向同向判断下列等式何时成立判断下列等式何时成立例例1 1解解31l 如如何求两条异面直线何求两条异面直线L1, L2 公垂线方程公垂线方程?(3) 过过 与与L1的交的交点点Q0, 以以s1 s2为为方向向量方向向量. .L2L1s1 s2P0Q0••(1)公垂线是下面两个平面的交线公垂线是下面两个平面的交线 (2) 过过 与与L2的交的交点点P0, 以以s1 s2为为方向向量方向向量. .异面直线公垂线方程异面直线公垂线方程32求下面两条异面直线的公垂线方程求下面两条异面直线的公垂线方程解解例例2 233同理得同理得34例例3 3 直线直线L过点过点相交相交, ,求求L的方程的方程.(.(M不在异面直线上）不在异面直线上）且与异面直线且与异面直线解解1求过求过L1与与 确定的平面确定的平面35求过求过 L2与与 确定的平面确定的平面注注 此题已经认为所求的相交直线存在此题已经认为所求的相交直线存在. .36解解2 L过点过点设设L与与L1, ,L2都相交都相交, ,∥∥∥∥则有则有37故故38解解3L 过点过点设设L与与L1, ,L2的交点分别为的交点分别为参数方程为参数方程为39取取故故40预习预习41。