关于三角形、四边形及N边形全等的研究.docx

关于三角形、四边形及N边形全等的研究少儿15班王乙琛 在“全等三角形” 一章中提到了 “全等”这一概念，所谓“全等”就是指若两个图形能 够完全重合，那么，这两个图形全等在书中，只是笼统地提到了全等这一•概念，口只用边、 角提出了几条能够证明三角形全等的公理，对四边形及n边形的全等也少有提及，那么，除 边、角以外利用哪些条件能够证明三角形全等呢？四边形、N边形的全等乂怎样证明？最少 需要多少条件？这就是本文重点研究的内容三角形考虑到三角形内部还有高、中线、角平分线及中位线等线段，那么，除了课本上所讲的 那五条证明三角形全等的定理外，还有哪些情况可以证明三角形全等？利用这些线能否证明 两三角形全等？下面进行一些初步研究根据边、角、线的组合进行分类，主要分以下七种情况研究：边、角、线、边与角、边 与线、角与线、边+角+线—、边：三边（SSS）对应相等的两个三角形全等，这是三角形全等定理，见课本《数学》八年级上 册第十一章P"在此不详述二、角：三角（AAA）对应相等的两个三角形是否全等？结论是不全等，见图（1）,举一个典型反例, 在正三角形A ABC中，D、E、F分别是三边上的中点，山此三点组成ADEF,其中 Z A= ZFDE= ZB= ZDEF= ZC= ZEFD=60u,但 A ABC 与 ADEF 不全等。

图（2）二、线:三角形的线分为高（H）、中线（M）、角平分线（B）,此类情况较复杂，本文愆不研究四、边与角：由边与角构成的判定条件分如下四种情况进行研究1、 AAS （两角及-角対边）2、 ASA （两角及其夹边）3、 SAS （两边及其夹角）4、 SSA （两边及边对角）AAS、ASA、SAS是判定三角形全等的定理，在此不详述，具体见 课本《数学》八年级上册第十一章；下面來求证SSA是否可判定三角形全等？结论不一定全等见图（2）在 A ABC 与 A ABD 中，AB 二 AB, AC 二 AD, ZB 二 ZB, Iflj A ABC 与 AABD 并不全等通过以上论述，在直角三角形中，山于有一个直角是确定的，所以我们可得出：HL （斜 边与直角边）、HII （两直角边）、IIA （直角边与角）、LA （斜边与角）相等，直角三角形全等 后面将作为定理使用五、边与线：根据边与线的情况，分两大类“两边一线”和“一边两线”来研究1、两边-线：山两条边及一条线构成的情况分以下几种进行研究（高为H,中线为M,角平分线为B）：角为120°的等腰三角形，腰长为① SHS （两边及其中一边上的高）：肋 及其中一边上的高相等，三角形不一定全等。

反 例说明见图（3）0在AABC与ADEF中，AABC为正三角形，边长为a, ADEF为顶 a, AB=DE, AC 二 DF, BM=EN= — a,但显然 AABC 与 ADEF 2并不全等图（3）二 DE< AM二DNBM=ENJ「AM二DNJ ZAMC= ZDNF② SSH （两边及另一•边上的高）：两边及另一•边上的高相等，三角形不一定全等反例说 明见图（4））在AABC与AADC中，AE是它们的高，己知AB=AB, AC二AD, AE二AE, 但两三角形不全等③ SMS （两边及其中一边上的中线）：两边及英中一边上的中线相等，三角形全等见图（5）o在A ABC与ADEF中，AM和DN分别是它们的中线,已知:AB二DE, AM=DN, BC=EF 求证：A ABC ADEF证明：•・• BC二EF, AM、DN分别为这两边上的中线BM=ENMC 二 NF 在A ABM与A DEN中A ABM^ A DENZAMC=ZDNF 在X\MC与ADNF中AAMC£ ADNFA ABC£ ADEF④ SSM （两边及另一边上的中线）：两边及另一-边上的中线相等，三角形全等见图（6） 在 AABC 与 ADEF 中，已知：AB 二 DE, AODF, AM 二 DN,求证：AABC^ADEF。

证明：将AM、DN倍长至G、H,连接BG、CG、EH、FH•・・AM、DN是中线・•・AG、BC互相平分DH、EF互相平分・・・四边形ABCG与卩q边形DEFH是平行四边形又TAB二DE, AC=DF, AM二DN「AC二DF・•・在△ ACG与△ DFH中< AG二DHgG 二 FH・•・ AACG^ ADFII・•・ ZCAM^ZFDN同理 A ABG^ A DEH, ZBAM=ZEDN・・・ ZCAM+ ZBAM= Z FDN+ ZEDNZBAC 二 ZEDF二 DE・••在 A ABC 与 A DEF 中彳 ZBAC=ZEDFAODF、•△ ABC 竺 A DEF⑤SBS （两边及莫中-边対角的角分线）：无法求证或给出反例图（6）⑥SSB（两边及其夹角的角分线）：两边及英夹角的角分线相等，三角形全等见图（7）在 A ABC 与 A DEF 中，已知:AB二DE, AC二DF, AM=DN,求证：AABC9ADEF证明：将BA倍长,ED倍长，分别作AM、DN 的平行线交BA延长线与ED延长线于G、HoVAM//CG, DN//FHAM _ AB _ABGC ~ BG~4B + AGDN DE _DEHF ~ EH ~DE + DHVZACG=ZG,ZDFH=ZHAG二AC, DH二DFAC二DF, AB=DEAG 二 DHBG二AB+AG二DE+DH二EHAB DEAB+AG~DE + DHAM _ DN ~GC~~HF•/ AM二DN二 GOHF在△ ACG 与 A DFH 中 < AC二DF・•・A ACG今A DFH・•・ZG=ZHJ ZBAC二2ZBAM二2ZG, ZEDF=2ZEDN=2ZH.\ZBAC=ZEDF亦二DE在△ ABC 与 A DEF 中 XZBAC=ZEDF Z. A ABC竺 A DEFAC 二 DF2、_■边两线：山两条边及一条线构成的情况分以下几种进行研究（高为II,中线为M,角平分线为B）：① HSH （两高及其中一高所在的边）： ]② HHS （两高及另一•边）： 卜无法证明或给出反例③ MSM （两中线及其中一中线所在的边）：J④ MMS （两中线及另一边）：两中线及另一-边相等，三角形全等。

见图（8）在三角形 A ABC 与 A DEF, □.知：BOEF, 二EQ, CN二FR, BM、CN、EQ、FR 是中线求证：A ABCA DEF证明：2222 1 1•••C0= — NC, BO=-BM,FP二—FR,EP=-EQ, ON二—NC, 0M二—BM,3333 3 3•・・o、P分别是两三角形重心计R,又 VBM=EQ, NOFRPQ 冷 EQ•••CO二FP, BO二EP, ON二PR, OM二PQ"CO=FP・•・在A OBC与A PEF中彳BO二EP BC 二 EF j.・・ A OBC^ A PEF.\ZB0C=ZEPFVZN0B+ZB0C=180u , ZRPE+ZEPF二 180° 图（8）・•・ ZNOB二 ZRPE中0 二 EP・••在 ANOB 与 ARPE 中 X ZNOB二ZRPEON 二 PRJ:.△ NOB竺 ARPE同理 A MOC^ A QPFV △ OBC 竺△ PEF•I ZABC二ZNB0+ Z0BC= ZREP+ ZPEF二 ZDEFZ ACB= ZMCO+Z OCB 二 ZQFP+Z PFE 二 ZDFE 「Z ABC 二 ZDEF/. AABC^ADEF・•・在A ABC与△ DEF中 < BC二EFZACB 二 ZDFE j⑤ BSB （两角平分线及英中一角对边人无法求证或给岀反例。

⑥ BBS （两角平分线及其夹边）：无法求证或给出反例六、角与线：根据角与线的情况，分两大类“两角一线”和“一角两线”来研究1、两角 •线：山两角及一条线构成的情况分以下几种进行研究（高为H,中线为M,角平分线为B）：① AHA （两角及其夹边上的高）：两角及英夹边上的高相等，三角形全等山于钝角三角 形的高在三角形外，我们分两种情况进行研究I、高在三角形内部，见图（9）在A ABC与△ DEF中，AM和DN是高,已知:图（9）ZB二ZE, ZOZF, AM二DN求证：A ABC= A DEF 证明：TAM、DN分别是BC、EF边上的高・・・AM丄BC DN丄EF・・・ ZAMB=ZDNE=90uzamozdnfM二 ZE・••在 A ABM 与 A DEN 中 < ZAMB二 ZDNE二90°AM 二 DNJ・・・A ABM丝A DEN同理AACM竺ADFN・・・△ ABC9 △ DEFII、高在三角形外部，见图（10）在 AABC 与 ADEF 中，AM 和 DN 是高，□.知ZABC=ZDEF, ZC=ZF, AM二DN 求证：A ABC^ A DEF图（10）・・・△ ABC9 △ DEF证明：TAM、DN分别是BC、EF边上的高・・・AM丄BC DN±EF・•・ ZAMB二 ZDNE二90°又・・・ Z ABC+ Z ABM= Z DEF+ Z DEN= 180°ZABC二ZDEF・•・ Z ABM二 ZDEN2AMB 二 ZDNE 二 90°・•・在 A ABM 与△ DEN 中

山于钝角三角形的高在三角形外，我们分两种情况进行研究I、高在三角形内部，见图（11）图（12）^ZBAC=ZEDF< ZC=ZFAB 二 DE/. A ABC A DEF在 A ABC与 A DEF中,BM、EN是高，已知ZABOZDEF, ZC=ZF, BM二EN° 求证：A ABC^ A DEF 证明：・・・BM、EN分别是AC、DF边上的高・・・BM丄AC EN丄DF・•・ ZBMA二 ZEND二90°又•・•三角形内角和180°, ZABC=ZDEF, ZC=ZF・・・ZA二ZD_ZC 二 ZF・•・在 A BMC 与△ NEF 中 彳ZBMA二ZEND二90°BM=ENJ・•・A BMC丝A NEF同理A ABM竺A DEN・・・△ ABC仝△ DEFII、高在三角形外部，见图(12)在 A ABC 与 A DEF 中，AM、DN 是高，已知ZBAC二ZEDF, ZOZF, AM二DN求证：A ABC A DEF证明：•・•三角形内角和。