2019年高考数学江苏卷(附参考答案和详解).pdf

第 1 页（共 18 页）2019 年高考数学江苏卷一、填空题（共14 小题；共70 分）1.已知集合1,0,1,6A，|0,Bx xxR ，则ABI2.已知复数2i1ia的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a 的值是3.如图是一个算法流程图，则输出的S的值是4.函数276yxx的定义域是5.已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是7.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22210yxbb经过点3,4 ，则该双曲线的渐近线方程是8.已知数列na*nN是等差数列，nS 是其前n 项和若2580a aa，927S，则8S 的值是 . 9.如 图 ， 长 方 体1111-ABC D A B C D 的 体 积 是120，E为1CC 的 中 点 ， 则 三 棱 锥-E BCD的 体 积是第 2 页（共 18 页）10.在平面直角坐标系xOy 中，P是曲线40yxxx上的一个动点，则点P到直线0 xy的距离的最小值是11.在平面直角坐标系xOy 中，点A在曲线lnyx 上，且该曲线在点A处的切线经过点e, 1 （ e为自然对数的底数），则点A的坐标是12.如图，在ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，2BEEA，AD与CE交于点O若6ABACAOECuuu ruuu ruuu ruuu r，则ABAC的值是13.已知tan23tan4，则sin 24的值是14.设 fx ， g x 是定义在R上的两个周期函数，fx 的周期为4， g x 的周期为2，且 fx 是奇函数当0,2x时，211fxx，2 ,011,122k xxg xx，其中0k若在区间 0,9 上，关于x 的方程fxg x 有8个不同的实数根，则k的取值范围是二、解答题（共11 小题；共143 分）15.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a ，b， c （ 1）若3ac，2b，2cos3B，求 c 的值；（ 2）若sincos2ABab，求sin2B的值第 3 页（共 18 页）16.如图，在直三棱柱111ABCA B C 中，D，E分别为BC，AC的中点，ABBC求证：（ 1）111A BDECP平面；（ 2）1BEC E 17. 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xO y中 ， 椭 圆C：222210 xyabab的 焦 点 为11, 0F，21,0F过2F 作 x轴的垂线l，在 x 轴的上方，l与圆2F ：22214xya交于点A，与椭圆C交于点D连接1AF 并延长交圆2F 于点B，连接2BF 交椭圆C于点E，连接1DF 已知152DF（ 1）求椭圆C的标准方程；（ 2）求点E的坐标第 4 页（共 18 页）18.如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）规划在公路l上选两个点P， Q ，并修建两段直线型道路PB， QA规划要求：线段PB， QA 上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得10AB，6AC，12BD（单位：百米）（ 1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（ 2）在规划要求下，P和 Q 中能否有一个点选在D处?并说明理由；（ 3）在规划要求下，若道路PB和 QA 的长度均为d（单位：百米）求当d最小时，P， Q 两点间的距离19.设函数fxxaxbxc ， a ，b，cR， fx 为 fx 的导函数（ 1）若abc，48f，求 a的值；（ 2）若ab，bc，且 fx 和 fx 的零点均在集合3,1,3 中，求 fx 的极小值；（ 3）若0a，01b，1c，且 fx 的极大值为M，求证：427M第 5 页（共 18 页）20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M数列 ” （ 1）已知等比数列*nanN满足：245a aa ，324440aaa，求证：数列na为 “M数列 ” ；（ 2）已知数列*nbnN满足：11b，1122nnnSbb，其中nS 为数列nb 的前 n项和求数列nb的通项公式；设 m 为正整数，若存在“M数列 ”*ncnN，对任意正整数k，当km时，都有1kkkcbc剟成立，求 m 的最大值21.已知矩阵3122A（ 1）求2A ；（ 2）求矩阵A的特征值22.在极坐标系中，已知两点3,4A，2,2B，直线l的方程为sin34（ 1）求A，B两点间的距离；（ 2）求点B到直线l的距离第 6 页（共 18 页）23.设xR，解不等式 |21|2xx24.设20121nnnxaa xa xa xL，4n，*nN 已知23242aa a （ 1）求 n的值；（ 2）设 133nab，其中*,a bN ，求223ab 的值25. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 设 点 集0,0 , 1,0 , 2,0 ,0nAnL，0,1 ,1nBn，0,2 , 1,2 , 2,2 ,2nCnL，*nN ，令nnnnMABC 从集合nM中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离（ 1）当1n时，求X的概率分布；（ 2）对给定的正整数3n n，求概率 P Xn （用 n表示）第 7 页（共 18 页）答案第一部分1. 1,62.23.54.1,75.536.7107.2yx8.16【解析】由题意可得：25811191470,98927,2a aaadadadSad，解得：15,2,ad，则8187840282162Sad. 9.1010.411. e,112.313.21014.12,34第二部分15.（1）因为3ac，2b，2cos3B，由余弦定理222cos2acbBac，得222322323cccc，即213c所以33c（2）因为sincos2ABab，由正弦定理sinsinabAB，得cossin2BBbb，所以cos2sinBB第 8 页（共 18 页）从而22cos2sinBB，即22cos4 1cosBB，故24cos5B因为sin0B，所以cos2sin0BB，从而25cos5B因此2 5sincos25BB16.（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以EDABP在直三棱柱111ABCA BC 中，11ABA BP，所以11A BEDP又因为1EDDEC平面，111A BDEC平面，所以111A BDECP平面（2）因为ABBC，E为AC的中点，所以BEAC因为三棱柱111ABCA BC 是直棱柱，所以1CCABC平面又因为BEABC平面，所以1CCBE 因为111C CA ACC平面，11ACA ACC平面，1C CACCI，所以11BEA ACC平面因为111C EA ACC平面，所以1BEC E17.（1）设椭圆C的焦距为2c因为11,0F，21,0F，所以122F F，1c又因为152DF，2AFx轴，所以2222211253222DFDFF F，因此1224aDFDF，从而2a由222bac ，得23b第 9 页（共 18 页）因此，椭圆C的标准方程为22143xy（2）解法一：由（1）知，椭圆C：22143xy，2a，因为2AFx轴，所以点A的横坐标为1将1x代入圆2F 的方程22116xy，解得4y因为点A在 x 轴上方，所以1,4A又11,0F，所以直线1AF ：22yx由2222,116yxxy得256110 xx，解得1x或115x将115x代入22yx，得125y，因此1112,55B又21,0F，所以直线2BF ：314yx由2231 ,4143yxxy得276130 xx，解得1x或137x又因为E是线段2BF 与椭圆的交点，所以1x将1x代入314yx，得32y.因此31,2E. 解法二：由（1）知，椭圆C：22143xy如图，连接1EF 因为22BFa ，122EFEFa，所以1EFEB ，从而1BF EB 因为22F AF B，所以AB，所以1ABF E ，从而12EFF AP因为2AFx轴，所以1EFx 轴第 10 页（共 18 页）因为11,0F，由221,143xxy得32y又因为E是线段2BF 与椭圆的交点，所以32y因此31,2E18.（1）解法一：过A作AEBD，垂足为E，由已知条件得，四边形ACDE为矩形，6DEBEAC，8AECD，因为PBAB，所以84cossin105PBDABE，所以12154cos5BDPBPBD，因此道路PB的长为15（百米）解法二：如图，过O作OHl，垂足为H以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系因为12BD，6AC，所以9OH，直线l的方程为9y，点A，B的纵坐标分别为3，3，因为AB为圆O的直径，10AB，所以圆O的方程为2225xy，从而4,3A，4, 3B，直线AB的斜率为34，因为PBAB，所以直线PB的斜率为43，第 11 页（共 18 页）直线PB的方程为42533yx，所以13,9P，221349315PB，因此道路PB的长为15（百米）（2）解法一： 若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求 若 Q 在D处，连接AD，由（1）知2210ADAEED，从而2227cos0225ADABBDBADADAB，所以BAD为锐角，所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径，因此， Q 选在D处也不满足规划要求综上，P和 Q 均不能选在D处解法二： 若P在D处，取线段BD上一点4,0E，则45EO，所以P选在D处不满足规划要求若 Q 在D处，连接AD，由（1）知4,9D，又4,3A，所以线段AD：36444yxx，段AD上取点153,4M，因为22221533454OM，所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径，因此 Q 选在D处也不满足规划要求综上，P和 Q 均不能选在D处（3）解法一：先讨论点P的位置，当90OBPo时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当90OBPo时，对线段PB上任意一点F，OFOB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求设1P 为l上一点，且1PBAB，第 12 页（共 18 页）由（1）知，115PB，此时11113sincos1595PDPBPBDPBEBA；当90OBPo时，在1PPBV中，115PBPB，由上可知，15d再讨论点 Q 的位置，由（2）知，要使得15QA，点 Q 只有位于点C的右侧，才能符合规划要求当15QA时，22221563 21CAAC此时，线段QA 上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径综上，当PBAB，点 Q 位于点C右侧，且3 21CQ时，d最小，此时P， Q 两点间的距离173 21PQPDCDCQ，因此，d最小时，P， Q 两点间的距离为173 21 （百米）解法二：先讨论点P的位置，当90OBPo时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当90OBPo时，对线段PB上任意一点F，OFOB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求设1P 为l上一点，且1PBAB，由（1）知，115PB，此时113,9P；当90OBPo时，在1PPBV中，115PBPB由上可知，15d再讨论点 Q 的位置，由（2）知，要使得15QA，点 Q 只有位于点C的右侧，才能符合规划要求，当15QA时，设,9Q a，由22493154AQaa，得43 21a，所以43 21,9Q，此时，线段QA 上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径综上，当13,9P，43 21,9Q时，d最小，此时P， Q 两点间的距离43 2113173 21PQ因此，d最小时，P， Q 两点间的距离为173 21 （百米）第 13 页（共 18 页）19.（1）因为abc，所以3fxxaxbxcxa因为48f，所以348a，解得2a（2）因为bc，所。