初中数学难题精选(附答案).docx

经典难题（一）1、已知:如图， 是半圆的圆心， C、E是圆上的两点， CD ±AB, EF± AB, EGXCO .求证:CD = GF.（初二）2、已知：如图， P是正方形 ABCD内点，/ PAD =/PDA = 15 0.求证：^PBC是正三角形.（初二）3、如图，已知四边形 ABCD、AiBiCiDi都是正方形,CCi、DDi的中点.求证：四边形 A2B2c2D2是正方形.（初二）A2、B2、C2、D2分别是 AAi、BB1、4、已知：如图，在四边形 ABCD中,的延长线交MN于E、F.求证：/ DEN =/F.AD = BC, M、N 分别是 AB、CD 的中点，AD、BC经典难题（二）1、已知：4ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且 OM，BC于M .(1)求证：AH =2OM ;(2)若/BAC = 60°,求证：AH =AO .(初二)2、设 MN是圆O外一直线，过作OA XMN于A,及D、E,直线EB及CD分别交MN于P、Q.求证:AP=AQ .(初二)3、如果上题把直线 MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题:设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE,于 P、Q.求证：AP = AQ.（初二）ACDE和正方形CBFG ,4、如图，分别以△ ABC的AC和BC为一边，在AABC的外侧作正方形点P是EF的中点.求证：点P到边AB的距离等于 AB的一半.经典难题（三）1、如图，四边形 ABCD为正方形，DE//AC, AE = AC , AE与CD相交于F.求证：CE=CF.（初二）2、如图，四边形 ABCD为正方形，DE//AC,且CE= CA ,直线EC交DA延长线于F.求证：AE = AF.（初二）3、设P是正方形 ABCD 一边BC上的任一点，PFLAP, CF平分/DCE.求证：PA=PF.（初二）4、如图，PC切圆O于C, AC为圆的直径，B、D.求证：AB = DC, BC = AD.（初三经典难A |DBPCEPEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于___AP^J C题（四）1、已知：△ ABC是正三角形，P是三角形内一点， PA=3, PB = 4, PC=5.求：/APB的度数.（初二）2、设P是平行四边形 ABCD内部的一点，且/ PBA = /PDA.求证：/PAB=/PCB.（初二）3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证:AB CD + AD BC=AC BD .AE与CF相交于P,且4、平行四边形 ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点,AE=CF.求证：/DPA=/DPC.（初二）经典难题（五）求证：寸§

由于GOFE四点共圆，所以/ GFH = /OEG,即△GHFsZOGE,可彳# EO= GO= C0,又 CO=EO ,所以 CD=GF 得证 GF GH CD2 .如下图做ADGC使与^ADP全等，可得4PDG为等边△,从而可得至GC^ZAPD^/CGP,得出 PC=AD=DC,和/DCG= ZPCG=15 0所以/DCP=30 0 ,从而得出^ PBC是正三角形BC3 .如下图连接BCi和ABi分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点,连接EB2并延长交C2Q于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点，由 A2E= g AiB产；BiC产 FB2 , EB2= gAB= gBC=FCi ,又/GFQ+ /Q=90 0 和/GEB2+/Q=90 0,所以/GEB2=/GFQ 又/B2FC2=/A2EB2 ,可得△B2FC20ZA2EB2 ,所以 A2B2 = B2c2 ,又/GFQ+ /HB2F=90 0 和/GFQ= ZEB2A2 ,从而可得/ A2B2 C2=90 0 ,同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形 A2B2C2D2是正方形ZQNM=4 .如下图连接AC并取其中点Q,连接QN和QM ,所以可得ZQMF=/DEN 和/QMN= ZQNM ,从而得出/ DEN =/F。

经典难题(二)1.(1)延长 AD 至ij F 连 BF,做 OG^AF,又/F= ZACB= /BHD ,可得BH=BF,从而可得 HD=DF ,又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)连接 OB, OC,既得/BOC=120 0从而可得/ BOM=60 0,所以可得 OB=2OM=AH=AO,得证3.作 OF LCD, OGXBE,连接 OP, OA , OF, AF, OG , AG, OQAD AC CD 2FD FD由于——=——=——==——，AB AE BE 2BG BG由此可得△ADF^zABG ,从而可得/ AFC= /AGE又因为PFOA与QGOA四点共圆，可得/ AFC= ZAOP和/AGE= ZAOQ ,ZAOP= ZAOQ ,从而可得 AP=AQE4.过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG,CI, FH可得 PQ=EG+ FH2由△EGA^zAIC,可得 EG=AI ,由△BFH^zCBI,可得 FH=BI一〜口 八 AI + BI AB ,一小、 从而可得 PQ= = ——,从而得证2 2D经典难题（三）1 .顺时针旋转区DE,到AARG,连接CG.由于/ABG= /ADE=90 0+45 0=135 0从而可得B, G, D在一条直线上，可得△ AGB06GB。

推出AE=AG=AC=GC ,可得4AGC为等边三角形ZAGB=30 0,既得/EAC=30 0,从而可得/ A EC=75 0又/EFC= ZDFA=45 0+30 0=75 0.可证：CE=CFD2 .连接BD作CH ±DE,可得四边形CGDH是正方形由 AC=CE=2GC=2CH ,可得/CEH=30 0 ,所以/CAE= ZCEA= ZAED=15 0,又/FAE=90 0+45 0 + 15 0=150 0,从而可知道/ F=15 0,从而得出AE=AF 3.作FG^CD, FE± BE,可以得出GFEC为正方形令 AB=Y , BP=X ,CE=Z ,可得 PC=Y-X X Z -tan /BAP=tan ZEPF=—=,可得 YZ=XY-X 2+XZ ,Y Y- X + Z即 Z(Y-X)=X(Y-X),既得 X=Z ,得出△ABP^/PEF ,得到PA= PF ,得证经典难题（四）1 .顺时针旋转斗BP 60 0 ,连接PQ ,则4PBQ是正三角形可得APQC是直角三角形所以/APB=150 02 .作过P点平行于AD的直线，并选一点E,使AE//DC, BE//PC.可以得出ZABP= ZADP= ZAEP,可得：AEBP共圆（一边所对两角相等）。

可得/BAP= ZBEP= ZBCP,得证BE =世,即 AD ?BC=BE ?AC3 .在 BD 取一点 E,使 ZBCE= ZACD ,既得△BECs/ADC ,可得:BC AC又/ACB= ZDCE,可得△ABCs/DEC,既得AB DE 目”——=——,即 AB?CD=DE ?AC ,②AC DC由① + ②可得：AB ?CD+AD ?BC=AC(BE+DE)= ACBD ,得证4.过 D 作 AQ ±AE , AGXCF ,由 Sade= S abcd = S dfc ,可得:2aEpq aeLpq 日=,由 AE=FC o22可得DQ=DG ,可得/DPA = /DPC （角平分线逆定理）B£经典难题(五)1 . (1)顺时针旋转 与PC 60 0 ,可得4PBE为等边三角形既得PA+PB+PC=AP++PE+EF要使最小只要 AP, PE, EF在一条直线上,即如下图：可得最小 L=（2）过P点作BC的平行线交AB,AC与点D , F由于 ZAPD> ZATP= ZADP ,推出AD>AP又 BP+DP>BP和 PF+FC>PC又 DF=AF由①②③④可得:最大 L< 2 ;由（1）和（2）既得:力

可得4PBE为等边三角形2 .顺时针旋转^BPC 60 0既得PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要 AP , PE, EF在一条直线上,即如下图：可得最小 PA+PB+PC=AF既得 AF= 1+（ 23+1）2 =2+ ；3=4+； 3=J 3” =与（、3+1）6 +、2=23 .顺时针旋转AABP 900,可得如下图:既得正方形边长L = |(25+ 2&Ua 4 .在 AB 上找一点 F,使 ZBCF=60 0 ,连接EF, DG,既得4BGC为等边三角形，可得/DCF=。