线性代数公式大全——新颖修订(突击必备).doc

word线性代数公式大全1、行列式1. 行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；2. 代数余子式的性质：①、和的大小无关；②、某行〔列〕的元素乘以其它行〔列〕元素的代数余子式为0；③、某行〔列〕的元素乘以该行〔列〕元素的代数余子式为；3. 代数余子式和余子式的关系：4. 行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积；③、上、下三角行列式〔〕：主对角元素的乘积；④、和：副对角元素的乘积；⑤、拉普拉斯展开式：、⑥、德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；⑦、特征值；5. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；6. 证明的方法：①、；②、反证法；③、构造齐次方程组，证明其有非零解；④、利用秩，证明；⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1. 是阶可逆矩阵：〔是非奇异矩阵〕；〔是满秩矩阵〕的行〔列〕向量组线性无关；齐次方程组有非零解；，总有唯一解；与等价；可表示成假如干个初等矩阵的乘积；的特征值全不为0；是正定矩阵；的行〔列〕向量组是的一组基；是中某两组基的过渡矩阵；2. 对于阶矩阵： 无条件恒成立；3.4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：假如，如此：Ⅰ、；Ⅱ、；②、；〔主对角分块〕③、；〔副对角分块〕④、；〔拉普拉斯〕⑤、；〔拉普拉斯〕3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：；等价类：所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵、，假如；2. 行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3. 初等行变换的应用：〔初等列变换类似，或转置后采用初等行变换〕①、 假如，如此可逆，且；②、对矩阵做初等行变化，当变为时，就变成，即：；③、求解线形方程组：对于个未知数个方程，如果，如此可逆，且；4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；②、，左乘矩阵，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素；③、对调两行或两列，符号，且，例如：；④、倍乘某行或某列，符号，且，例如：；⑤、倍加某行或某列，符号,且，如：；5. 矩阵秩的根本性质：①、；②、；③、假如，如此；④、假如、可逆，如此；〔可逆矩阵不影响矩阵的秩〕⑤、；〔※〕⑥、；〔※〕⑦、；〔※〕⑧、如果是矩阵，是矩阵，且，如此：〔※〕Ⅰ、的列向量全部是齐次方程组解〔转置运算后的结论〕；Ⅱ、⑨、假如、均为阶方阵，如此；6. 三种特殊矩阵的方幂：①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵〔向量〕行矩阵〔向量〕的形式，再采用结合律；②、型如的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：；注：Ⅰ、展开后有项；Ⅱ、Ⅲ、组合的性质：；③、利用特征值和相似对角化：7. 伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：；②、伴随矩阵的特征值：；③、、8. 关于矩阵秩的描述：①、，中有阶子式不为0，阶子式全部为0；〔两句话〕②、，中有阶子式全部为0；③、，中有阶子式不为0；9. 线性方程组：，其中为矩阵，如此：①、与方程的个数一样，即方程组有个方程；②、与方程组得未知数个数一样，方程组为元方程；10. 线性方程组的求解：①、对增广矩阵进展初等行变换〔只能使用初等行变换〕；②、齐次解为对应齐次方程组的解；③、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由个未知数个方程的方程组构成元线性方程：①、；②、〔向量方程，为矩阵，个方程，个未知数〕③、〔全部按列分块，其中〕；④、〔线性表出〕⑤、有解的充要条件：〔为未知数的个数或维数〕4、向量组的线性相关性1. 个维列向量所组成的向量组：构成矩阵；个维行向量所组成的向量组：构成矩阵；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2. ①、向量组的线性相关、无关有、无非零解；〔齐次线性方程组〕②、向量的线性表出是否有解；〔线性方程组〕③、向量组的相互线性表示是否有解；〔矩阵方程〕3. 矩阵与行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组和同解；(例14)4. ；(例15)5. 维向量线性相关的几何意义：①、线性相关；②、线性相关坐标成比例或共线〔平行〕；③、线性相关共面；6. 线性相关与无关的两套定理：假如线性相关，如此必线性相关；假如线性无关，如此必线性无关；〔向量的个数加加减减，二者为对偶〕假如维向量组的每个向量上添上个分量，构成维向量组：假如线性无关，如此也线性无关；反之假如线性相关，如此也线性相关；〔向量组的维数加加减减〕简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组〔个数为〕能由向量组〔个数为〕线性表示，且线性无关，如此(二版定理7)；向量组能由向量组线性表示，如此；〔定理3〕向量组能由向量组线性表示有解；〔定理2〕向量组能由向量组等价〔定理2推论〕8. 方阵可逆存在有限个初等矩阵，使；①、矩阵行等价：〔左乘，可逆〕与同解②、矩阵列等价：〔右乘，可逆〕；③、矩阵等价：〔、可逆〕；9. 对于矩阵与：①、假如与行等价，如此与的行秩相等；②、假如与行等价，如此与同解，且与的任何对应的列向量组具有一样的线性相关性；③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；④、矩阵的行秩等于列秩；10. 假如，如此：①、的列向量组能由的列向量组线性表示，为系数矩阵；②、的行向量组能由的行向量组线性表示，为系数矩阵；〔转置〕11. 齐次方程组的解一定是的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；①、只有零解只有零解；②、有非零解一定存在非零解；12. 设向量组可由向量组线性表示为：〔题19结论〕〔〕其中为，且线性无关，如此组线性无关；〔与的列向量组具有一样线性相关性〕〔必要性：；充分性：反证法〕注：当时，为方阵，可当作定理使用；13. ①、对矩阵，存在，、的列向量线性无关；〔〕②、对矩阵，存在，、的行向量线性无关；14. 线性相关存在一组不全为0的数，使得成立；〔定义〕有非零解，即有非零解；，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15. 设的矩阵的秩为，如此元齐次线性方程组的解集的秩为：；16. 假如为的一个解，为的一个根底解系，如此线性无关；〔题33结论〕5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵或〔定义〕，性质：①、的列向量都是单位向量，且两两正交，即；②、假如为正交矩阵，如此也为正交阵，且；③、假如、正交阵，如此也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2. 施密特正交化：；;3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4. ①、与等价经过初等变换得到；，、可逆；，、同型；②、与合同，其中可逆；与有一样的正、负惯性指数；③、与相似；5. 相似一定合同、合同未必相似；假如为正交矩阵，如此，〔合同、相似的约束条件不同，相似的更严格〕；6. 为对称阵，如此为二次型矩阵；7. 元二次型为正定：的正惯性指数为；与合同，即存在可逆矩阵，使；的所有特征值均为正数；的各阶顺序主子式均大于0；；(必要条件) / 。