【课堂坐标】高中数学北师大版必修五学业分层测评：第二章 解三角形 11 Word版含解析.doc

2019版数学精品资料（北师大版）学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在△ABC中，A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c为(　　)A．1∶2∶3 B．1∶∶1C．1∶∶2 D．∶1∶【解析】　由已知得，A＝30°，B＝60°，C＝90°，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝∶∶1＝1∶∶2.【答案】　C2．在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c等于(　　)A．1 B．2C. D．【解析】　C＝180°－A－B＝30°，由＝得c＝＝＝2.【答案】　B3．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是(　　)A．b＝10，A＝45°，C＝70°B．a＝60，c＝48，B＝60°C．a＝7，b＝5，A＝80°D．a＝14，b＝16，A＝45°【解析】　A中只有一解，B中只有一解，C中由＝得sin B＝·sin 80°.又b＜a，A＝80°，∴B唯一，从而只有一解．D中由＝，∴sin B＝＞，又a＜b，∴B有两种情形．【答案】　D4．若＝＝，则△ABC是(　　)A．等边三角形B．有一个内角是30°的直角三角形C．等腰直角三角形D．有一个内角是30°的等腰三角形【解析】　由正弦定理得a＝2R·sin A，b＝2R·sin B，c＝2R·sin C，所以＝＝可化为1＝＝，所以tan B＝tan C＝1，即B＝C＝45°，所以△ABC是等腰直角三角形．【答案】　C5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若acos A＝bsin B，则sin Acos A＋cos2B＝(　　)A．－ B．C．－1 D． 1【解析】　∵acos A＝bsin B，∴sin Acos A＝sin Bsin B，即sin Acos A－sin2B＝0，∴sin Acos A－(1－cos2B)＝0，∴sin Acos A＋cos2B＝1.【答案】　D二、填空题6．在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a＝4bsin A，则cos B＝__________.【解析】　由＝＝2R得a＝2R·sin A，b＝2R·sin B，所以sin A＝4sin B·sin A，即sin B＝，所以cos B＝＝.【答案】　7．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝__________.【解析】　在△ABC中，由正弦定理得＝，解得sin B＝，因为C＝π，故角B为锐角，所以B＝，则A＝，所以a＝1.【答案】　18．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝，A＋C＝2B，则sin C＝________.【解析】　∵A＋B＋C＝180°，且A＋C＝2B，∴B＝60°.由正弦定理得sin A＝＝＝.又a＜b，∴A＝30°，∴C＝180°－(30°＋60°)＝90°，即sin C＝1.【答案】　1三、解答题9．已知△ABC中，tan A＝，tan B＝，且最长边的长为.求：(1)C的大小；(2)最短边的长．【解】　(1)∵tan A＝，tan B＝，∴tan(A＋B)＝＝＝1.又A＋B＋C＝180°，∴tan C＝tan[180°－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－1，∴C＝135 °.(2)由(1)知C为最大角，从而由已知得c＝，∵tan B＞tan A＞0，∴b＞a，故三角形最短边为a.∵tan A＝，∴sin A＝.又∵sin C＝，∴由正弦定理得最短边a＝＝.10．在△ABC中，已知cos2B＋cos2C＝1＋cos2A，且sin A＝2sin Bcos C，求证：b＝c且A＝90°.【证明】　∵cos2B＋cos2C＝1＋cos2A，∴cos2B＋cos2C－2＝cos2A－1，∴sin2B＋sin2C＝sin2A，即b2＋c2＝a2，∴△ABC为直角三角形，且A＝90°.又sin A＝2sin Bcos C，∴sin(B＋C)＝2sin Bcos C，∴sin(B－C)＝0，∴B＝C，∴b＝c，且A＝90°.[能力提升]1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C等于(　　)A. B．－C．± D．【解析】　＝＝＝＝，所以cos B＝，又cos C＝cos 2B＝2cos2B－1＝－1＝.【答案】　A2．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为(＋1)∶2，则最大角为(　　)A．45°　　　B．75° C．90°　　　D．105°【解析】　由题意知B＝60°，既不是最大角也不是最小角．设C为最大角，则＝，即＝，所以＝，解得A＝45°，所以C＝180°－60°－45°＝75°.【答案】　B3．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(，－1)，n＝(cos A，sin A)．若m⊥n，且acos B＋bcos A＝csin C，则A，B的大小分别为________．【解析】　由m⊥n得A＝.由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC的外接圆半径)．acos B＋bcos A＝csin C可变形为sin Acos B＋sin Bcos A＝sin2C，即sin(A＋B)＝sin2C.又A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，∴sin(A＋B)＝sin C＝sin2C，∴sin C＝1，∴C＝，∴B＝.【答案】　，4．在△ABC中，已知＝，且cos(A－B)＋cos C＝1－cos 2C.(1)试确定△ABC的形状；(2)求的取值范围. 【导学号：67940035】【解】　(1)由正弦定理得＝＝，∴b2－a2＝ab，又2sin Asin B＝2sin2C，得ab＝c2，∴b2－a2＝c2，即a2＋c2＝b2，∴三角形为直角三角形．(2)由(1)知，显然a＋c＞b，且2＝1＋≤2，即≤.。