椭圆中的两个最大张角.doc
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椭圆中的两个最大张角在椭圆中有两个比较特殊的角，一个是短轴上的一个顶点到两焦点的张角，另一个是短轴上的一个顶点到长轴上两个顶点的张角，它们都是椭圆上任意一点到这两对点的所有张角中最大的两个角，它们有着重要的应用，给解决一些问题带来很大的方便，现归纳如下：一．两个重要结论1212利用余弦定理可得证明：如图，由已知：IPFI€IPF\=2a,lFF1=2c,1212IPFI€IPFI所以丨PFIIPFI<（——i一）2=a2,（当丨PF1=1PFI时取等号）12212由余弦定理得：IPF|2+IPF|2-IFF|2cosZFPF=i2―—122IPFIIPFI12（IPFI€IPFI）2-2IPFIIPFI-IFFI2+212^-2-2IPFIIPFI124b24a2-4c24b22b2—1=—1n——12IPFPFI2IPFIIPFIa21212（当IPFI=IPFI时取等号）,12所以当IPFI=IPFI时，cosZFPF的值最小，因为ZFPF…(0,兀),所以此时ZFPF12121212最大即点P为椭圆短轴的端点时ZFiPF2最大x2y2命题2.如图：已知A,B为椭圆一+1=1(a,b,0)长轴上的两个顶点，Q为椭圆上a2b2任意一点,则当点Q为椭圆短轴的端点时,€AQB最大。
分析：当€AQB最大时，€AQB一定是钝角，,而y=tanx在（y,兀）上是增函数，利用点Q的坐标，表示出tan€AQB，再求tan€AQB的最大值证明：如图，不妨设Q(x,y)(O
即tan€FPO>，也就是C>1022102103b3解不等式一，得e>2，故椭圆的离心率e„[2,1)oa2一c2322x2y2例2.设F1，F2为椭圆y+才=1的两个焦点,P为椭圆上任意一点，已知P，F1，F2IPFI是一个直角三角形的三个顶点，且IPFI>IPFI，求的值12IPFI2分析：由结论1知：当点P0为椭圆短轴的端点时,€FP0F2最大，且最大角为钝角,所以本题有两种情况：€P=90或€F；=90解析：由已知可得，当点P0为椭圆短轴的端点时,€匚P0F2最大且€F代F2为钝角,由结论1知，椭圆上存在一点P，使今工为直角，又€PFF也可为直角，所以本题21有两解；由已知有IPFI+1PFI=6,IFFI=2、.]51212(1)若€PFF为直角，则IPF丨2=1PF丨2+IFF丨2，211212所以丨PF|2=(6—IPF1)2+20，11144IPFI7得IPFI=,IPFI=-，故―=-323a|PFI22(2)若€FPF为直角，则IFF|2=|PF丨2+IPF丨2，121212所以20=1PF|2+(6—IPF1)2,11IPFI得IPFI=4,IPF=2I，故^^=2。
12IPFI2评注：利用最大角知道，€F1PF2可以为直角，从而容易判断出分两种情况讨论,避免了漏解的情况x2y2例3.已知椭圆一+】=1(a>b>0),长轴两端点为A,B，如果椭圆上求这个椭a2b2圆的离心率的取值范围分析：由结论2知：当点P为椭圆短轴的端点时,€APB最大，因此只要最大角不小00于120解析：由结论2知：当点P为椭圆短轴的端点时,€APB最大，因此只要00€APB，120则一定存在点Q，使€AQB=120€AQB,60即€APO，6002所以.a，J3,得e,£，\-a2一c23故椭圆的离心率的取值范围是e…[£,1)三．巩固练习：x2y21•已知焦点在x轴上的椭圆〒+]二1(b>0)，F,F是它的两个焦点，若椭圆上4b212存在点P，使得PFPF=0，求b的取值范围12x2y22.已知椭圆石+=1，F,F是它的两个焦点，点P为其上的动点，当€FPF为9^41212—A钝角时，求点P横坐标的取值范围答案：1•解：由结论1知，当点P为椭圆短轴的端点时,€FPF最大,若此时PFPF=0，1212则有：b=c，又a=2，所以b=€2，因为椭圆越扁，这样的点一定存在，所以b的取值范围为：0 一•>2.解:由结论1知,当点P越接近短轴的端点时，€FPF越大，所以只要求€FPF1212为直角时点P的横坐标的值，因为c=、国，所以当€FPF为直角时，点P在圆12x2+y2=5上，解方程组：忌士=1，得:x=±琴，所以点P横坐标的取值范围是：-琴
