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2022-2023学年九年级数学专家点拨-一元二次方程的概念及解法.doc

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  • 卖家[上传人]:c****x
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  • 上传时间:2023-04-19
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    • 一、考点突破1. 理解一元二次方程的定义、解,(),a、b、c均为常数,尤其不为零要切记2. 熟练掌握一元二次方程的几种解法,如因式分解法、公式法等,弄清化一元二次方程为一元一次方程的转化思想二、重难点提示熟练掌握一元二次方程的几种解法一、知识结构二、解题策略与方法解一元二次方程的基本策略是:降次降次的主要方法是因式分解法和开平方法1. 一元二次方程的概念只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.一般形式:(是常数,且).2. 一元二次方程的解法(1)直接开平方法形如的方程,两边开平方,即可转化为两个一元一次方程来解,这种方法叫做直接开平方法.(2)配方法把一元二次方程通过配方化成的形式,再用直接开平方法解,这种方法叫做配方法.用配方法解一元二次方程()的一般步骤是:① 化二次项系数为1,即方程两边同除以二次项系数;② 移项,也就是使方程的左边为二次项和一次项,右边为常数项;③ 配方,即方程两边都加上一次项系数一半的平方;④ 化原方程为的形式;⑤ 如果≥0就可通过两边开平方来求出方程的解;如果<0,则原方程无解.(3)公式法通过配方法可求得一元二次方程的求根公式:,用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.一元二次方程(是常数,且)的根的判别式是.利用根的判别式可以判定方程实根的个数;利用根的判别式也可以建立等式、不等式,求方程中的参数的值或取值范围;通过根的判别式可证明与方程有关的代数问题,也可运用一元二次方程必定有解的代数模型,解几何存在性问题、最值问题等。

      用公式法解一元二次方程的一般步骤是:① 化方程为一元二次方程的一般形式;② 确定的值;③ 求出的值;④若,则代入求根公式求方程的解;若,则方程无解.(4)因式分解法如果一元二次方程的左边可以分解为两个一次因式的积,那么根据两个因式的积等于,这两个因式至少有一个为,原方程可转化为两个一元一次方程来解,这种方法叫做因式分解法.因式分解法的步骤是:① 将方程右边化为0;② 将方程左边分解为两个一次因式的乘积;③ 令每个因式等于0,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程,它们的解就是原一元二次方程的解.注意:方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式,否则会丢根.能力提升类例1 方程(m2-1)x2+mx-5=0 是关于x的一元二次方程,则m满足的条件是( )A. m≠1 B. m≠0 C. |m|≠1 D. m=±1一点通:该方程为关于x的一元二次方程,根据一元二次方程的定义中的条件可求答案:C评析:根据一元二次方程中二次项的系数不为0这一条件可确定二次项系数中所含字母的取值范围.例2 解关于的方程:.一点通:含有字母系数的方程,一般需对字母的取值范围进行分类讨论.解:因为,所以。

      当c=0时,x1=x2=0;当,;当,方程无实数根.评析:本题主要考查分类讨论思想例3 解关于的方程:. 一点通:含有字母系数的方程,一般需对字母的取值范围进行讨论.讨论,由于二次项系数含有,所以首先要分与两种情况(不能认为方程一定是一元二次方程);当时,再分,,三种情况讨论.解:分类讨论.(1)当时,原方程变为一元一次方程,所以.(2)当时,原方程为一元二次方程..当,且时,,方程有两个不相等的实数根,;当时,,方程有两个相等的实数根,;当时,,方程没有实数根评析:本题主要考查分类讨论,一元二次方程的概念,根的判别式及一元二次方程的解法等知识,并强化分类讨论的思想方法综合运用类例4 三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程的根,则该三角形的周长为( )A. 14 B. 12 C. 12或14 D. 以上都不对一点通:解这个方程得,结合三角形三边关系,第三边的范围是,所以不合题意,舍去这个三角形的三边分别为3、4、5,故周长为12.答案:B评析:这道题将构成三角形的条件与一元二次方程的解结合在一起,并考查了分类讨论的思想例5 解方程:一点通:本题含绝对值符号,因此求解方程时,要考虑到绝对值的意义.解法1:显然.当时,,所以,(舍去).当时,,所以,(舍去).所以原方程的根为、.解法2:由于,所以所以所以,(舍去).所以,.评析:本题主要考查含绝对值符号的方程的解法。

      例6 解方程:一点通:本题为四次方程,教材上没出现过,该怎么解呢?无论题目如何变化,解决高次方程问题的策略是不变的,那就是降次,因此观察式子的结构特点,根据特点找关系进行降次是解决问题的关键解:为解方程,我们可将视为一个整体,然后设,则,原方程化为,解得,.当时,,得;当时,,得故原方程的解为;;;评析:本题主要考查通过换元进行降次,进而解高次方程的解法在解方程的过程中,我们将用替换,先解出关于的方程,达到了降低方程次数的目的,这种方法叫作“换元法”,和解二元一次方程组时的消元、解一元二次方程时的降次一样,都体现了转化的数学思想有些与一元二次方程相关的问题,常常不是去解这个方程,而是通过变形降次、整体代入等技巧方法,促使问题得以解决思维拓展类例7 解方程一点通:本题也是四次方程,但其式子中隐含的结构特点更加隐蔽,不管特点有多么隐蔽,只要紧紧抓住解高次方程的基本策略——降次,认真观察探寻式子中的结构特点,问题均可迎刃而解解:把方程左边第一个因式与第四个因式相乘,第二个因式与第三个因式相乘,得设 ※则,即将,的值代入※式得,评析:在解此题时,要仔细观察方程中系数之间的特殊关系,用换元法解之.例8 解方程:一点通:观察该方程中的系数,可发现系数有以下特点:的系数与常数项相同,的系数与的系数相同,像这样的方程我们称之为倒数方程.利用倒数之积等于1进行恒等变形是解这类题的主要方法。

      解:由于,方程两边同乘以得设,则,所以,由,得,所以,由,得,所以,因此,原方程的根为,,,例9 解方程:一点通:方程的左边是平方和的形式,添项后可配成完全平方的形式.解:,所以,或当时,得,这个方程无实数解;当时,得,所以,;经检验,,是原方程的根.1. 正确理解一元二次方程的意义,对于方程各项及其系数的确立必须将方程化为一般形式,另外,不要忽略各项及其系数的符号2. 运用公式法解一元二次方程时,常常忽略将方程化为一般形式或没有注意各项系数的符号3. 在已知根的情况下求方程中字母系数的取值时,常忽略一元二次方程二次项系数必须不为零0条件问题:解方程:一点通:高次方程求解需降次,根式方程求解需要通过平方去掉根号解:由题意可知 原式即平方,整理得配方得开方移项再平方整理解之,得取不小于1的根,得经检验,是原方程的解点评:无论是高次方程还是根式方程,我们看到主要的解题策略都是通过适当的转化手段,变成我们常见的一元一次方程或者一元二次方程来求解答题时间:45分钟)1. 若方程3x2+bx+c=0的解为x1=1,x2=-3,则整式3x2+bx+c可分解因式为__________2. 已知:关于x的方程2x2+2(a-c)x+(a-b)2+(b-c)2=0有两相等实数根.求证:a+c=2b.(a,b,c是实数)3. 解方程:4. 解方程:5. 已知二次方程有一个根为2,求另一个根,并确定的值.6. 设,,为的三边,且二次三项式与有一次公因式,求证:一定是直角三角形.1. 2. 证明:∵一元二次方程有两个相等实数根, ∴Δ=0,即[2(a-c)]2-4×2·[(a-b)2+(b-c)2]=0 (a-c)2-2(a2-2ab+b2+b2-2bc+c2)=0 a2+4b2+c2+2ac-4ab-4bc=0 (a+c)2-4b(a+c)+4b2=0 (a+c-2b)2=0 ∴a+c-2b=0 即a+c=2b.3. 解:所以,4. 解:设,于是原方程变为,整理得解这个方程,得,即解得原方程的根为,。

      5. 解:由方程根的定义知,当时方程成立,所以故.原方程为,即,所以另一个根为6. 证明:因为题目中的两个二次三项式有一个公因式,所以二次方程与必有公共根,设公共根为,则, ① ②两式相加得,若,代入①式得,这与为的边不符,所以公共根把代入①式得,整理得所以一定是直角三角形.。

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