1.2　1.2.1　命题与量词.docx

■ 第—章集合与常用逻辑用语DI Yl ZHANG 1.2常用逻辑用i吾1 . 2.1命题与量词阔(教师独具内容)课程标准：通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.教学重点：全称量词与存在量词的含义，含有量词的命题的构成以及全称量 词命题和存在量词命题真假的判断.教学难点：对全称量词命题与存在量词命题真假的判断.核心素养：1.通过学习全称量词、全称量词命题、存在量词、存在量词命题 这些概念培养数学抽象素养2通过判断全称量词命题与存在量词命题的真假培养 逻辑推理素养.核概念掌握HE XIN GAI NIAN ZHANG WO知识知识点一命题及相关概念0T］可供真假判断的陈述语句就是命题,而且，闵判断为真的语句称为真命题，网判断为假的语句称为假命题.知识点二 全称量词与全称量词命题(1) 一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为可全称量词,用符号“阿里”表示.含有全称量词的命题，称为间全称量 词命题.(2) 全称量词命题就是形如“对集合M中的所有元素工，r(x)"的命题，可简B. 对任意x€R, x2 + x+ l<0C. 存在实数大于或者等于3D. 菱形的对角线互相垂直答案C解析 A, B, D中的命题都是全称量词命题，C中的命题是存在量词命题.故 选C.4.下列是全称量词命题并且是真命题的是（）=0时，j = 0； B项也不是真命题，因为当x = y = 0时，* +、2 = 0；只有c项是 真命题，同时也是全称量词命题.故选C.A. Vx€ R, x2〉。

B. Vx,x2 + y2>0C. Vx€ Q, %2 € Q 答案CD.€ Z, ^>1解析 首先D项是存在量词命题，不符合要求；A项不是真命题，因为当工5.（多选）已知集合A={y\y = x1 + 2},集合3= {小>3}，则下列命题为真命题 的是（）A. 5 m € A, m^BB. Sm € B, m^AC. Vm € A,B答案adD. Vm € B, m £ A解析 因为人={州=/ + 2} = {州32}, B=U|x>3},所以B是A的真子集, 所以A, D为真命题，B, C为假命题.故选AD.二、填空题6. “任意一个不大于0的数的立方不大于0”用“刁”或“X/”符号表示为. 答案 Vx^O, FW0解析 命题“任意一个不大于0的数的立方不大于0”，表示只要小于等于0 的数，它的立方就小于等于0,用“V”符号可以表示为VxWO, FWO.. 答案 Vx^O, FW0解析 命题“任意一个不大于0的数的立方不大于0”，表示只要小于等于0 的数，它的立方就小于等于0,用“V”符号可以表示为VxWO, FWO. 给出下列命题：① 偶数都可以被2整除;②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等;③空集是任何一个非空集合的真子集；④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱 形是正方形；⑥存在三角形其内角和大于180°.其中，既是全称量词命题又是真命题的是,既是存在量词命题又是真命题的是.(填上所有满足要求的序号)答案①②③④⑤解析 ①②③都是全称量词命题，且都为真命题，④⑤⑥都是存在量词命题, 但其中只有④⑤是真命题.8. 已知命题〃：Vx€R, x2 + 2x - a>0.若p为真命题，则实数。

的取值范围是.答案(-"，-1)解析 由题意可得+ 2x,又因为当x € R时，j + 2x = + lx + 1 — 1 = (x + 1)2 - IN-1,所以当〃为真命题时，实数的取值范围是(-8, - 1).三、解答题9. 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断命题的真假.(1) 存在X,使得X-2W0；(2) 矩形的对角线互相垂直平分；(3) 三角形的两边之和大于第三边；(4) 有些素数是奇数.解(1)存在量词命题.因为“2时，工-2 =成立，所以存在量词命题“存 在X,使得x-2W0”是真命题.(2) 全称量词命题.因为邻边不相等的矩形的对角线不互相垂直，所以全称量 词命题“矩形的对角线互相垂直平分”是假命题.(3) 全称量词命题.因为三角形的两边之和大于第三边，所以全称量词命题 “三角形的两边之和大于第三边”是真命题.(4) 存在量词命题.因为3是素数，3也是奇数，所以存在量词命题“有些素 数是奇数”是真命题.10. 用量词符号“ V" "3 ”表述下列命题，并判断命题的真假.(1) 所有实数X都能使X2 +尤+ 1〉0成立；(2) 对所有实数b,方程ax + b =。

恰有一个解;⑶一定有整数匚V，使得3x-2y= 10成立；(4)所有的有理数x都能使£(4)所有的有理数x都能使£是有理数.解(l)Vx€R, j^ + x+ 1>0;真命题.(2)X/q, bER, ax + b = 0'恰有一解；假命题.如当0, 8 = 0时，该方程的解有无数个.(3) 3x, y € Z,3i- 2" 10;真命题.⑷寸"Q,真命题.B级：“四能”提升训练1. 已知命题 〃：3% € [ - 1,1 ], 2疽 一 1》命题 g：3x € R, x2 + 2x + 2- 0”，若命题〃和命题g都是真命题，求实数的取值范围.解 若命题〃为真命题，即3x€[-1,1],使oW2/成立，即小于源的 最大值，所以aW2.若命题g为真命题，则关于x的方程* + 2x + 2= 0有实根.所以 J = 4-4XlX(2-tz)^0.解得1N1.所以实数1的取值范围为[1,2].2. 若"R,函数y = aj(2 + 2ax + 3 +a,且yNO恒成立，求实数的取值范 围.解 若0,则y = 3〉0,符合题意；若公0,则y = ax1 + 2ax+ 3 + a是二次函数，qx2 + 2ax + 3 + qNO 恒成立,fa>Q,f。

〉0,只需，/ 即] )解得Q>0.[J<0,〔(2q)2_4q(3 + q)W0,综上所述，实数i的取值范围是{日0}.记为\/工€此心).知识点三 存在量词与存在量词命题(1) “存在” “有” “至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称 为而1存在量词,用符号“匝］旦”表示.含有存在量词的命题，称为网存在量 词命题.(2) 存在量词命题就是形如“存在集合肱中的元素X, s(x)”的命题，可简记 为刁工€肱，s(x).1. 对全称量词与全称量词命题的理解(1) 全称量词往往有一定的限制范围，该范围直接影响着全称量词命题的真 假.若对于给定范围内的一切值，都使r(x)成立，则全称量词命题为真命 题.若能举出反例，则为假命题.(2) 有些全称量词命题在语言叙述上省略了全称量词，理解时需把它补充出 来.例如，命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有平行四边形的 对角线都互相平分” .2. 对存在量词与存在量词命题的理解存在量词也有一定的限制范围，该范围直接影响着存在量词命题的真假.若 对于给定的集合至少存在一个x €心,使s(x)成立，则存在量词命题为真命题.若 不存在，则为假命题.±1评价自测F1.判一判(正确的打“ J ”，错误的打“ X ”)(1) “这盆花长得太好了！ ”是命题.()(2) 全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性” .()(3) 全称量词命题一定含有全称量词，存在量词命题一定含有存在量词.()(4) 在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可以省略.()(5) “四边形的内角和是360。

是全称量词命题.()答案(1)X (2)3)X (4)X (5)V2 .做一做（请把正确的答案写在横线上）（1）命题“有些长方形是正方形”含有的量词是2 .做一做（请把正确的答案写在横线上）（1）命题“有些长方形是正方形”含有的量词是,该量词是量词（填“全称”或“存在”）.（2）“负数没有平方根”是命题（填"全称量词”或“存在量词” ）•（3）若命题" Vx€（3, +8）, x>q”是真命题，则的取值范围是答案（1）有些存在（2）全称量词（3）（-8, 3］形成HE XIN SU YANG XING CHENG -题型一命题的判断例1下列语句为命题的是（）A. x — 1= 0B・ 2 + 3 = 8C.你会说英语吗？D.这是一棵大树［解析］A中尤不确定，尤-1=的真假无法判断；B中2 + 3 = 8是命题，且是假命题；断真假.c中不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判［答案］B厩判断一个语句是不是命题的三个关键点（1）—般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题.（2）命题的语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语 句不是命题.（3）对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若 能，就是命题；否则就不是命题.［跟踪训练1］下列语句为命题的有（填序号）.① 一个数不是正数就是负数；② 梯形是不是平面图形呢？③ 22。

22是一个很大的数；④ 4是集合｛2,3,4｝中的元素;⑤ 作△A8C0A4'矿 C .答案①④解析 ①是陈述句，且能判断真假；②不是陈述句；③不能断定真假；④是 陈述句，且能判断真假；⑤不是陈述句.题型二全称量词命题与存在量词命题的判断例2判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“寸”或 “m"表示下列命题.(1) 自然数的平方大于或等于零；(2) 存在实数X,满足⑶对任意的实数b,都有a2 + b2^2(a + b-iy,(4) 存在整数x,使得崩=x.［解］(1)是全称量词命题，表示为X/xCN, x2｝2)是存在量词命题，表示为(3) 是全称量词命题，表不为X/W +屏日2(/?- 1).(4)是存在量词命题，表示为\［j? = x.感悟提升」判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤(1) 判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称量词命题或存在量词命题・(2) 若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称量词命 题，含有存在量词的命题是存在量词命题.(3) 当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质.［跟踪训练2］判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题.⑴凸多边形的外角和等于360°;(2) 矩形都是正方形；(3) 有些素数的和仍是素数；(4) 若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直.解(1)可以改写为：所有的凸多边形的外角和都等于360°,故为全称量词命题.题.(2) 可以改写为：所有矩形都是正方形，故为全称量词命题.(3) 含有存在量词“有些”，故为存在量词命题.(4) 若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题.题型三全称量词命题与存在量词命题的真假判断例3判断下列命题的真假：(1) 3x€ Z, Jvl;(2) 存在一个四边形不是平行四边形；(3) 在平面直角坐标系中，任意有序实数对(X, y)都对应一点F；(4) Vx€N, j〉0.［解］(1)因为— 16Z,且(_l)3=_ivl,所以“ jvl” 是真命题.(2)真命题，如梯形.(3) 由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题.⑷因为O£N,O2。