矩阵力学与波动力学的建立及其启示.pdf

合肥工业大学学才民从矩阵力学与波动力学的建立及其启示张和平提要本文根据物理学史资料,校为详细地给出了量子力学的两种表述形式,即矩阵力学与波动力学的基本理论的建立过程文中强调了理论建立 的背景、基本思想以及 与经典物 理学的联 系量子力学与相对论的建立是二十世纪物理学的革命矩阵力学和波动力学是量子力学对微 观世界的两种 描述方 式,是量子力学 的基础所在学习和研究矩阵力学 与波动力学的建立过程,对于 深 刻理解量子力学 的内容,对于认识物理学 的发展与进化都是有益的一、矩阵力学的建立矩阵力学的建立先于波动力学,它 由海森伯于年月首次提出,然后 由 玻 思、约旦、海森伯、维 恩等人共同完成的矩阵力学建立的背景是玻尔的原子理论或称为旧量子论玻尔沿袭了轨道的概念米描述电子 的运动,但又作了定态 的限制他认为原子的幅射是原子中的电子在各定态轨道间的跃迁玻尔的这种牛顿力学加量子 条件的理论,存在着许多无法克服的 困难例如它只解释单电子原子 的行为即使在单电子原子中,也只能说 明光谱线的起因即定态跃迁,但不 能说明谱线强度玻尔理论 中的这些用以漪补经典理论“缺陷”而引入的规定有着人为的性质譬如,定态轨道上 的电子可以遵守库仑定律但不遵从 电动力学即不允许它做圆周运动时发出电磁幅射在定态轨道上的 电子遵从牛顿 力学但其角动量受量子化的限制。

玻尔理论不 是一种严 密的理论一些物理学家在当时 由此预 言,物理学将会有新 的 整顿例如,当年玻恩写完他的《原子物理学》时,尽管该书已收尽了当时 的一切成果,但他还是把此书定为第一卷海森堡对玻 尔 的工作是赞赏的但他业不象玻尔那样一肯定旧量子论他既接受了玻尔的“概 念的东西应 根据实验的结果去更正”,又接受了索末菲的“分析性与严格性”的要求海森堡认为原子理论应该是从一开始就以严格的形式提 出理论应建立在可观察量的基础上,在原子物理 中,应建立在原子发射出的谱线频率和强度上海森堡正是从光谱线的频率和强度出发建立矩阵力学的海森堡建立矩阵力学所使用 的一个重要线索是玻尔旧量子论 中的对应原理对应原理是说靠近原子核处的轨道间隔大,电子在这些轨道间的跃迁谱线是分立的在离核较远处的轨道 间隔越来越小,电子在这些轨道间的跃迁谱线几乎是连续的,且这些谱线的频率近似等于电子在相应的轨道上做圆周运动时的幅射频率,这就近似服从于经典电动力学海森堡由此认为,在大轨道的情况下,可以不再使用经典的轨道 参数,如位置、速度等,而直接把一个轨道运动当成一种振动,再利用振动的分解,把其表示为一些正弦诺波的迭加,即富 氏级数的展开,电子 的状态也可不再用轨道描述,而用某种振动方程描述,用这种方程可以解出与两个状态类似于玻尔理论中的两个轨道相关的量。

根据矩 阵中的每个元素分别与它所在的行、列的两个因素有关灼性质,海森堡就把这些量表示成矩阵的形式他还进一 步 指出,这 些用矩阵描述的量应是实际的物理量,例如电子的速度、坐标、能量、动量等由此建立起来 的用矩 阵形式描述原子领域的动力学即是矩阵力学矩阵力学的墓本理论 结构是任何物理量用一个厄密阵表示,体系的哈密顿函数也是一个厄 密阵,且是坐标和动量矩阵的函数坐标和动量的分量满足对易关系尸人”二一万一,尽二,,,是单位矩阵〕尸尸‘ 一一访系统 的正则运动方程是一一万 二一二一 下 玉户人己不在门才」劲下面简述一下上述诸理论建立的概要首先,海森堡提 出了物 理量所遵从 的乘法规则在富 氏变换下,任一个物理量,可以写为,“乙亡 云‘”·’艺‘‘”,“”式中记在量子论中,幅射频率 由下式给出 叭,一“一万厂乌一气一按里德堡原理,量子论中有业合原则,即一,这是 因为,如果电子能从 能级跳到,发 出频率为的光,又可从跃到频率为的光,则它一 定可从直接 跳到,,发射频,发出率为如右图所示在经典理论 中,也有如下的业合原则物日二日几或按 上面 的记法记为比较两式,利用对应原理,有如 下的对应关系扣 ”刁。

,田田田, ,旬所以,若是 量子论中的量,就有乙对一·海森堡继而提 出,若用数集卫·,·一’表示,则表示乘积·叭的与用刁表 示的和用表 示 的的关系是·’兄,·式被称为海 森堡 乘法规则海森堡进而用它讨论了电子 的运动及如卜一求和规则〔原子在 给定状态下 的吸收跃迁的 厂值或振子强度的和减去这个状态下发射跃迁的值的和等于参与跃迁的电子数,此规则又称为一“司此文 发表前,玻 恩看 出了文章的重要性,但他看不太懂,海森堡 的乘法规则使他不安八天的冥思苦想后,他想起这就是他在大学学过的代数理论玻尔也对海森堡的 文章评价说可以期望力学和数学相互促进 的时代开始了矩阵力学的整个发展 过程,处处显示了数学 的作用玻 恩当时想 与泡利合作,用数学的严 密性研究矩阵力学问题,但被 泡利拒绝了一 次偶然的机会,当时的哥挺报大学数学系 的年轻助教约旦向玻 恩作了自我介绍,两人合作,发表了长篇论文《关于 量子力学》,这是历史 上 第一次使用“量子力学”的名称这篇文章不仅采用了海森堡的方式,把坐标用矩阵表示,而且把动量也用矩阵表示尤为重要的是,他们从量子化条件出发,利用对应原理,得出了和的对易关系,如下所述在经典力学 中,角动量 的增 量可以写为按海森 伯 的记法所以,二二乙,‘口“’—坐标—动量习二‘“。

乏兄艺二‘“兄兄乡二夕二“二‘“〕·按绝对 收敛级数的乘法,令”「,,一一‘’、,,,、,一一,,、“一二召工乙乙卜’‘’‘ 一少二乙,卜一戈一少一一下下了一一一‘凡山考虑式中二,将上式对求和,一,、尤二不毋之一、一儿少—一‘几‘之‘了乙尸一毋或记为一石乙一两边对微分 李零二‘乙」用玻尔量子化 条件由对应原理,故有二么二△口几△九,一二土二乙兀 ‘分下一气夕’飞一’‘一了声︸了一不、、了刀尤了走﹄沪了﹄︸夕︺记为,,孟 夕一口二仁力」二一公玻 恩和约旦称这个等式为“准确的量子条件”这种今洲的不对易性,正是 量子力学的新形式,是量子力学区别于其它力学的精髓所在当时·在英国剑桥读研究生的狄拉克,也试图通过与经典力学类似的方法来寻找量子力学的形式他敏锐地 看到了不 对 易是新力学在数学形式上区别于旧力学的关键所在他利用熟习的哈密顿 力学,发现量子力学中的对 易关系与经典力学中的泊松括号相 当,只是前者有个一人一的因子狄拉克 把哈密顿方程用泊松括号表 示,把量子力学中的不 对易量称为数意 谈『’‘“‘、‘一,“目曰协“八’一”’卜‘“曰口、‘‘““一‘“’“’‘一“‘一、、’一指量子口十或奇异此。

把数学中的一般变量称为数 意指经典的或对 易的二￡以示区别,建立了代数两个口数交换相乘的差与泊松括号有关,如果有两个共辘力学量例如 动量和 坐标,能量和时 间,它们在经典力学中按数使用,而在新力学 中则按数使用因为泊松括号在经典力学中可 用简 单的形式表述运动方程,现只要 把经典的哈密顿方程照搬,同时注意到对易关系中的一井的因子即可所以,哈密顿正则 一、‘一‘、一‘曰“一‘、“一‘”’‘’诩’一‘一‘一“‘’‘、厂”’一乞方” ‘’一’‘’‘”’一’曰一’一”方程在量子力学 中的形式就为了了, 万万厂」尸、,义二甲丫人」 不万即是上述 的第三 条,狄拉克的这一工作年月发表于英国皇家学会会刊上,标题就为《量子力学的基本方程》矩阵力学的另一个重要工作是把算符 引入量子力学,业建立算符与矩阵的关系,这是玻恩与当时在美国麻省理工学院任教的青年数学家维纳己合作完成 的他们首先定义了算符夕的时 间导数是,「 ‘一万一厂一不 ‘“与一关一的对易关系一万了他们证明了,哈密顿算符与 “塌一全 同实际上,玻 思和 维纳 的工 作已接近于几个月后 由薛定谬建立的波动力学在上述的的定义式中,若令叮‘,再用一“备,则有能量 与时间的对易关系〔门一二玄 左把此式与助〕访比较,如果相当于,相当于,类似于的定义,应有的定义二一豪有了从。

的定义 式,利用价一魏啊得出薛定二动方程‘、一晶‘二一纂斋十‘知玻 恩对他未能完成此事深表遗憾二、波动力学的建立本文 着重谈 薛定愕建立 波动方程 的思想多非相对论的含时薛定谬方程于年由薛定愕提出,业第一次使用了“波动力学”这个词年狄拉克完成了狄拉克相对论波动方程在薛定愕建立波动方程之前,德布罗意巳提出了物质粒子的德布罗意波然而,电子 的波动方程是 怎样的它将给人们提出一些什么可以与实验事实相比较的结果薛定愕正是在这个基础上加以研究的他首先注 意到了光学与力学定律的对照在儿何光学中,有费马定律,它是说光线从过走的是费时最小 的路径在力学 中,有哈密顿原理,它是说物体在一个力场中 从一“所取的路径,是使‘目当于系统的总“ 色 量的主函数巨作用函数五“右最,·的路径这两者在本质上是相 同的薛定愕 继而想,几何光学是物理光学波动光学的极限情况,哈密顿原理会不会是“波动力学”的极限情况他于是开始着手建立一个能与经典力学对应的物质波 的波动方程,径典力学应是这个波动力学的近似情况薛定愕从一般的波动方程出发甲一牛典式中是相速度龙‘了‘把表 示 电磁波的换为物质波,用平表示,称为波函数设波函数具有、,。

一含“‘的形式定态,代入上式有、,,、”‘坐吸少二一,不一饭一一牙丁一夕,气夕‘、探扩玩百万夕,、、分别是微观粒子的能量、动量和势函数,代入上式,一即有一器·,二“’又因为波动方程可以写为气‘一一二二可丁犷,刀生、,不少、不的形 式,对比之下,有的算符形式方一 今而由假设甲,平从而得到哈密顿的算符形 式乒,有二, ,斋甲了,,添二 月又奥城乙 少二共夕落左万 口而有含时的薛定愕方程己、,‘方‘,,、、,不万一汀一生吸一二二一一‘十厂夕、、艺爪薛定愕用这个方程去解氢原子 问题,得到了与实验相符 的结果薛定愕波动方程描述了物质波函数甲,随时 间的变化规律,它的地位 与经典力学中的牛顿方程相 当薛定谬方程 的建立亚不容易年,他就企图把德布罗意关于自由粒子的波推广到束缚粒子的情况,结果他得到一个波动方程克莱因一高登方程但因为没考虑到电子的自施而与实验事实不 符到 了同年年底,才发现了电子自旋薛定愕方程是非相对论方程,方程 中的时间和空间的微分不对称,因而没有相对论协变性年,薛定愕发表文章指出,他的波动力学与海森堡等人的矩阵力学是等同的年,狄拉克开始建立电子的相对论波动方程虽然在此之前已有克莱因一 高登方,。

二,代,,一二,、怡,一,,从、胁程但这个方程 中的止生于 牛一项将导致负几率的 困难最后,狄拉克找到了火的阵,最终’一‘公’“’卜砂尸八’”‘,““一一”‘卜一,‘体‘曰’‘、‘一‘“‘八“一“““’“一”’一护“建立了狄拉克相对论波动方程三、几点启示数学对物理学的发展尤以理论物理学起着决定性的作用美国著 名物理学家、科普作家伽 莫夫在他的《物理学发展史》中 曾深有感触地评论说“当爱因斯坦想把引力解释为四维时空连续统 的弯曲时,他发现黎曼的弯曲多维空间的理论在等着他当海森堡在寻求不平常的数学方法去描述原子内部电子的运动时,非对易代数学已为他准备好了至今只有数论和拓扑学仍是纯数学的学科,在物理学中没有得到什么应用,它们将来能不能帮助我们进一 步理解 自然界之谜呢”数学与理论物理学关系如此,理论物理学与应用物理学关系何尝不是如此类似 与推理的方 法在一个新理论的建立中起着重要的作用量子理论是崭新 的理论,但是它建立在经典物理 学之 上没有经典物理学中的分析力学、光学、经典电磁理论等,量子。