数学归纳法及其应用举例.ppt

3)数学归纳法数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法其格式主要有两个步骤、一个结论其格式主要有两个步骤、一个结论: : （（1 1）验证当）验证当n n取第一个值取第一个值n n0 0（（如如 n n0 0=1=1或或2 2等）时结论正确；等）时结论正确； 验证初始条件验证初始条件（（2 2））假假设设n=kn=k时时结结论论正正确确，，在在假假设设之之下下，，证证明明n=k+1n=k+1时时结结论论也也正确；正确； 假设推理假设推理（（3 3）由（）由（1 1）、（）、（2 2）得出结论）得出结论. . 点题点题找准起点奠基要稳用上假设递推才真写明结论才算完整一、复习引入：一、复习引入：1、数学归纳法是一种完全归纳法数学归纳法是一种完全归纳法 ，，它是在可它是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用运用““有限有限”的手段，来解决的手段，来解决““无限无限”的问的问题 2 2、它克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺、它克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到足，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷一般、由有限到无穷. .数学归纳法的核心思想数学归纳法的核心思想例例1、是否存在常数、是否存在常数a、、b,使得等式使得等式: 对一切正整数对一切正整数n都成立都成立,并证明你的结论并证明你的结论.解解:令令n=1,2,并整理得并整理得以下用数学归纳法证明以下用数学归纳法证明:(1)当当n=1时时,由上面解法知结论正确由上面解法知结论正确.(1)数学归纳法证明等式问题：数学归纳法证明等式问题：二、数学归纳法应用举例：二、数学归纳法应用举例：(2)假设当假设当n=k时结论正确时结论正确,即即:则当则当n=k+1时时,故当故当n=k+1时时,结论也正确结论也正确.根据根据(1)、、(2)知知,对一切正整数对一切正整数n,结论正确结论正确.例例2、已知正数数列、已知正数数列{an}中中,前前n项和为项和为sn,且且 用数学归纳法证明用数学归纳法证明:证证:(1)当当n=1时时, =1,结论成立结论成立.(2)假设当假设当n=k时时,结论成立结论成立,即即则当则当n=k+1时时,故当故当n=k+1时时,结论也成立结论也成立.根据根据(1)、、(2)知知,对一切正整数对一切正整数n,结论都成立结论都成立.(2)数学归纳法证明整除问题：数学归纳法证明整除问题：例例1、用数学归纳法证明、用数学归纳法证明: 当当n为正偶数时为正偶数时,xn-yn能被能被x+y整除整除.证证:(1)当当n=2时时,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被即能被x+y整除整除,故命故命 题成立题成立.(2)假设当假设当n=2k时时,命题成立命题成立,即即x2k-y2k能被能被x+y整除整除.则当则当n=2k+2时时,有有 都能被都能被x+y整除整除.故故x2k+2-y2k+2能被能被x+y整除整除,即当即当n=2k+2时命题成立时命题成立.由由(1)、、(2)知原命题对一切正偶数均成立知原命题对一切正偶数均成立.例例2、用数学归纳法证明、用数学归纳法证明: 能被能被8 整除整除.证证:(1)当当n=1时时,A1=5+2+1=8,命题显然成立命题显然成立.(2)假设当假设当n=k时时,Ak能被能被8整除整除,即即 是是8的倍数的倍数.那么那么:因为因为Ak是是8的倍数的倍数,3k-1+1是偶数即是偶数即4(3k-1+1)也是也是8的倍数的倍数,所以所以Ak+1也是也是8的倍数的倍数,即当即当n=k+1时时,命题成立命题成立.由由(1)、、(2)知对一切正整数知对一切正整数n, An能被能被8整除整除.例例3、求证、求证:x3n-1+x3n-2+1能被能被x2+x+1整除整除.证证:(1)当当n=1时时, x3n-1+x3n-2+1= x2+x+1,从而命题成立从而命题成立.(2)假设当假设当n=k时命题成立时命题成立,即即x3k-1+x3k-2+1能被能被 x2+x+1整除整除则当则当n=k+1时时,x3(k+1)-1+x3(k+1)-2+1=x3k+2+x3k+1+1=x3(x3k-1+x3k-2+1)-x3+1= x3(x3k-1+x3k-2+1)-(x-1)(x2+x+1)因为因为x3k-1+x3k-2+1、、x2+x+1都能被都能被x2+x+1整除整除,所以上式右边能被所以上式右边能被x2+x+1整除整除.即当即当n=k+1时时,命题成立命题成立.根据根据(1)、、(2)知知,对一切正整数对一切正整数n,命题成立命题成立.例例1、平面内有、平面内有n (n 2)条直线，任何两条都不平行，任条直线，任何两条都不平行，任何三条不过同一点，问交点的个数何三条不过同一点，问交点的个数 为多少为多少?并证明并证明.当当n=k+1n=k+1时：第时：第k+1k+1条直线分别与前条直线分别与前k k条直线各交于条直线各交于一点，共增加一点，共增加k k个点，个点，由由1 1）、）、2 2）可知，对一切）可知，对一切n∈Nn∈N原命题均成立。

原命题均成立证明：证明：1 1））n=2n=2时：两条直线交点个数为时：两条直线交点个数为1,1, 而而f(2)= f(2)= ××2 2××(2-1)=1, ∴(2-1)=1, ∴命题成立命题成立 ∴ ∴k+1k+1条直线交点个数条直线交点个数= =f(k)+k= k(k-1)+kf(k)+k= k(k-1)+k = k(k-1+2)= k(k+1)= (k+1)[(k+1)-1]=f(k+1), = k(k-1+2)= k(k+1)= (k+1)[(k+1)-1]=f(k+1), 即当即当n=k+1n=k+1时命题仍成立时命题仍成立2 2）假设）假设n=k(k∈Nn=k(k∈N,k≥2,k≥2) )时，时，k k条直线交点个数为条直线交点个数为 f(k)= k(k-1),f(k)= k(k-1),(3)数学归纳法证明几何问题：数学归纳法证明几何问题：练习练习:凸凸n边形有边形有f(n)条对角线条对角线,则凸则凸n+1边形的对角线边形的对角线 的条数的条数f(n+1)=f(n)+_________.n-1(4)数学归纳法证明不等式问题：数学归纳法证明不等式问题：例例1、用数学归纳法证明、用数学归纳法证明:证证:(1)当当n=2时时, 左边左边= 不等式不等式 成立成立.(2)假设当假设当n=k(k≥2)时不等式成立时不等式成立,即有即有: 则当则当n=k+1时时,我们有我们有:即当即当n=k+1时时,不等式也成立不等式也成立.由由(1)、、(2)原不等式对一切原不等式对一切 都成立都成立. 例例2、证明不等式、证明不等式:证证:(1)当当n=1时时,左边左边=1,右边右边=2, 不等式显然成立不等式显然成立.(2)假设当假设当n=k时不等式成立时不等式成立,即有即有:则当则当n=k+1时时,我们有我们有:即当即当n=k+1时时,不等式也成立不等式也成立.根据根据(1)、、(2)可知可知,原不等式对一切正整数都原不等式对一切正整数都 成立成立.例例3、求证、求证:证证:(1)当当n=1时时,左边左边= ,右边右边= ,由于由于 故不等式成立故不等式成立. (2)假设假设n=k( )时命题成立时命题成立,即即 则当则当n=k+1时时,即当即当n=k+1时时,命题成立命题成立.由由(1)、、(2)原不等式对一切原不等式对一切 都成立都成立. 例例4、已知、已知x>  1，，且且x 0，，n N，，n 2．．求证：求证：(1+x)n>1+nx.左边左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2；；右边右边=1+(k+1)x．．因为因为kx2＞＞0，，所以左边＞右边，即所以左边＞右边，即(1+x)k+1>1+(k+1)x．．这就是说，原不等式当这就是说，原不等式当n=k+1时也成立．时也成立．根据根据(1)和和(2)，原不等式对任何不小于，原不等式对任何不小于2的自然数的自然数n都成立都成立.证明证明：： （（1）当）当n=2时，左＝时，左＝(1＋＋x)2=1+2x+x2 ∵∵ x 0，，∴∴ 1+2x+x2>1+2x=右右 ∴∴n=1时不等式成立时不等式成立（（2）假设）假设n=k时，不等式成立，即时，不等式成立，即 (1+x)k>1+kx当当n=k+1时，因为时，因为x>  1 ，，所以所以1+x>0，，于是于是例例5、已知、已知 求证求证 : . 证证:(1)当当n=2时时, , 不等式成立不等式成立.(2)假设当假设当n=k(k≥2)时不等式成立时不等式成立,即即则当则当n=k+1时时, 有有:即当即当n=k+1时时,不等式成立不等式成立.由由(1),(2)所证不等式对一切所证不等式对一切 都成立都成立. 。