391227一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解(提高).doc

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系一知识讲解(提高)【学习目标】1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范 围；2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用【要点梳理】要点一、一元二次方程根的判别式1. 一元二次方程根的判别式 2 2 2一元二次方程 ax bx c = 0(a = 0)中，b -4ac叫做一元二次方程 ax bx 0(a = 0)的根的判别式，通常用“厶”来表示，即厶二b2 _4ac(1 )当厶>0时，一元二次方程有 2个不相等的实数根；(2) 当厶=0时，一元二次方程有 2个相等的实数根；(3) 当厶<0时，一元二次方程没有实数根 •要点诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a,b.c的值；③计算b2 -4ac的值；④根据b2 -4ac的符号判定方程根的情况.2. 一元二次方程根的判别式的逆用在方程 ax2 ■ bx ■ c = 0 a = 0 中，(1) 方程有两个不相等的实数根 -b2 -4ac > 0；(2) 方程有两个相等的实数根 ―b2 -4ac=0；(3) 方程没有实数根 =b2 -4ac < 0.要点诠释：(1) 逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为 0这一条件；(2) 若一元二次方程有两个实数根则 b2 -4ac > 0.要点二、一元二次方程的根与系数的关系1•一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程ax2 • bx • c = 0(a = 0)的两个实数根是x1? x2,当0且X1X2 0 , X2 ■ 0时，两根同为正数;那么x1 - x2cx1x2 .a注意它的使用条件为 a丰0, A > 0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系 数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商2. 一元二次方程的根与系数的关系的应用(1) 验根•不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2) 已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3) 不解方程，可以利用根与系数的关系求关于 xi、X2的对称式的值•此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①X12 x； = (x1 x2 )2 _2皿2 ；X1X2x1 x2X1 Lx2 '③ X| X22 X]2X^ = X1x2 (x1 x2)；④ X2 2X12X12X22(x1 x2) -2x1x2X1 x2 % x2⑤(X1 —X2)2 =(X1 X2)2 —4X1X2 ；2⑥化 k)(x2 k)二 x1x2 k(x1 x?) k ；⑦ |X1 -X2 F [(X1 -X2)2 = , (X1 X2)2 -4x1X2 ；1 1 x2 x| + = 2 2 2 2X1 X2 X1 x2(x1 x2)^2x1x2(g2⑨ M -X2 二 (X1 -X2)2 (X1 X2)2 -4X1X2 ；⑩ |X1 | |X2 ^＜；(| X1 | | X2 I)2 二■, x； x； +2 I X1 LI X2 I f(X1 X2)2 - 2X1X2 2|x^ Ux2| •(4) 已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数打 匕为根的一元二次方程是；二j : ■ ■. ■ II .(5) 已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围;(6) 利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号_2设一元二次方程 ax bx c =0(^" 0)的两根为x1、x2，则①当0且x1x2 0时，两根同号.当0且X1X2 0 , Xi X2 :: 0时，两根同为负数.②当△> 0且x1x2 ：：：0时，两根异号.当厶> 0且X1X2 ：：0 , Xi X2 0时，两根异号且正根的绝对值较大；当厶> 0且x1x2 ::: 0， x1 x2 ::: 0时，两根异号且负根的绝对值较大.要点诠释：(1) 利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的 厶•一些考试中, 往往利用这一点设置陷阱；(2) 若有理系数一元二次方程有一根 a亠，则必有一根a — b ( a , b为有理数).【典型例题】类型一、一元二次方程根的判别式 的应用21 ( 2015?梅州)已知关于 X的方程x +2x+a - 2=0.(1) 若该方程有两个不相等的实数根，求实数 a的取值范围；(2) 当该方程的一个根为 1时，求a的值及方程的另一根.【思路点拨】2(1已知方程有两个不相等的实数根，即判别式 △ =b - 4ac> 0.即可得到关于 a的不等式，从而求得a的范围.(2)设方程的另一根为 X1,根据根与系数的关系列出方程组，求出 a的值和方程的另一根.【答案与解析】解：(1)v b2- 4ac= (- 2) 2- 4X1X (a- 2) =12 - 4a> 0,解得：av 3.••• a的取值范围是av 3;(2)设方程的另一根为 X1，由根与系数的关系得：]1“严-2’则a的值是-1，该方程的另一根为-3.【总结升华】 熟练掌握一元二次方程根的判别式与根之间的对应关系.举一反三：【高清ID号：388522 关联的位置名称(播放点名称)：判别含字母系数的方程根的情况 ---例2 (2)】 【变式】(2015?张家界)若关于X的一元二次方程kx2-4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是( )A. 1 B. 0,1 C. 1,2 D. 1,2,3【答案】A.提示：根据题意得： △ =16 - 12k为，且k老，解得：k< ,且kz0.则k的非负整数值为1.Wz.已知关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+1 = 0有实数根，则m的取值范围是 5【答案】m "且nz 145【解析】 因为方程（m-1）x2 • x • 1 =0有实数根，所以 △二12-4（m-1） =-4m • 5 _ 0 ,解得m ,4同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为 0，即（m -1） = 0 ,5m的取值范围是m " 且1.4【总结升华】 注意一元二次方程的二次项系数不为 0,即（m -1） = 0, mz 1.举一反三:【高清ID号：388522关联的位置名称（播放点名称）：利用根的判别式求字母范围 ---例4（ 1）】【变式】2 k已知：关于x的方程kx （k 1）x ■40有两个不相等的实数根，求k的取值范围.【答案】类型二、元二次方程的根与系数的关系的应用设x1、x2是方程2x - 6x -1=0的两根,不解方程，求下列各式的值:X2丿YX2r 1(1 ]X1 + —X2 +_1 X2丿1 X1丿【答案与解析】2 2 2(1) X1 X2 ； ( 2) (X1 -X2)；【思路点拨】由一元二次方程根与系数的关系，易得 x x2 — , X<| L x2 = - 1，要求xf x|,（X] ~'X2）2 ,2 2的值，关键是把它们化成含有 x-i x2、捲L x2的式子.由一元二次方程根与系数的关系知1，所以2(1)2Xix| = ( X-I x2)2X| ■ X? , x X2 =2(2)(Xi -X2)22 (Q=(捲+x2) -4x1x2 = !——2-4 -1I 2丿(3)i ¥ i )x^— x2 十一=%x2+2 +、X2 A Xi-i 2【总结升华】2ax举一反三：【高清ID号:%x2-i 2一2 二一解此类问题关键是把它们化成含有Xi L X2的式子.若一兀二次方程bx • c = 0(a = 0)的两个实数根是 Xi, X2，那么Xi x^ -b388522关联的位置名称（播放点名称）:根与系数的关系c%x2 :a【变式】不解方程，求方程22x • 3x -4 = 0的两个根的（i）平方和;（2）倒数和.i3【答案】（i） ; （2）44. 求作一个【答案与解析】元二次方程，使它的两根分别是方程5x2 2x-3=0各根的负倒数.设方程5x22x - ^ = 0的两根分别为xi、X2,元二次方程根与系数的关系,得 xi x2设所求方程为y2亠py亠q = 0 ,由一元二次方程根与系数的关系得iiyi ：y2:XiX2它的两根为yi、从而 p = -(yi y2)Xi丿、L2Xi X2 ~ 5XiX2 _35X2 丿 xix22 2 5 2故所求作的方程为y y 0，即3y •2y_5=0 .3 3【总结升华】 所求作的方程中的未知数与已知方程中的未知数要用不同的字母加以区别.同时“以两个2数心-上为根的一元二次方程是 ;'"-f - . ”可以用这种语言形式记忆2x -和x+积=0”，或“减和加积”，此处的一次项系数最容易出现符号上的错误.。