解决变力做功问题的方法.doc

解决变力做功问题的方法解决变力做功问题的方法在高中阶段求变力做功的一般方法是运用动能定理或功能原理求解，但是在不知物体初、 末位置的速度时，上述方法却无能为力．只有将变力转化为恒力，依据功的定义式 Ｗ＝Ｆｓｃｏｓθ 求解．为此笔者总结了下面 5 种将变力转化为恒力计算功的方法．现结合例 题讨论如下．一、等效代换法例例 1 1 如图 1 所示，质量为ｍ的物体，静止于水平地面的Ａ点，用质量不计的细绳系住，通 过距地面高为ｈ的无摩擦定滑轮对物体施加恒定拉力Ｆ，使物体由Ａ点运动到Ｂ点．求此过程中 拉力Ｆ做的功．分析与解分析与解 物体从Ａ运动到Ｂ的过程中，绳上拉力的方向时刻变化，因而在物体位移方向上 的分力大小是变化的．从图 1 可以看出，此变力使物体在水平方向上移动时所做的Ｗ，等效于恒 力Ｆ的功．力Ｆ的作用点由ａ移动到ｂ时，力Ｆ对绳所做的功为ＷＦ．即 图 1 Ｗ＝ＷＦ＝Ｆｓａｂ＝ＦｓＡＣ＝Ｆｈ［（1／ｓｉｎα）－（1／ｓｉｎβ）］．特点：变力对物体做功，若通过关联点（作用点）等效于某一恒力做功时，可用公式 Ｗ＝Ｆｓｃｏｓθ 直接求解．二、微元求和法例例 2 2 如图 2 所示，某人用力Ｆ转动半径为Ｒ的转盘，力Ｆ的大小不变，但方向始终与 过力的作用点的转盘的切线一致，则转动转盘一周该力做多少功．图 2 分析与解分析与解 在转动转盘一周过程中，力Ｆ的方向时刻变化，但每一瞬时力Ｆ总是与该瞬时的 速度同向（切线方向），即Ｆ在每瞬时与转盘转过的极小位移 Δｓ同向．这样，无数瞬时的极 小位移 Δｓ１，Δｓ２，Δｓ３…Δｓｎ都与当时的Ｆ方向同向．因而在转动一周过程中，力Ｆ做 的功应等于在各极小位移段所做功的代数和．即Ｗ＝ＦΔｓ１＋ＦΔｓ２＋…ＦΔｓｎ＝Ｆ（Δｓ１＋Δｓ２＋Δｓ３＋…Δｓｎ）＝Ｆ2πＲ．特点：变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时，可把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用Ｗ＝Ｆｓｃｏｓθ 计算功，而且变力所做功 应等于变力在各小段所做功之和．三、平均力等效法若问题中的变力与位移成线性关系，即Ｆ＝ｋｓ＋ｂ，其Ｆ-ｓ图象如图 3 所示．则图 中阴影部分的图 3 面积大小在数值上等于变力所做功的大小，即Ｗ＝［（Ｆ１＋Ｆ２）／2］（ｓ２－ｓ1）．也就是 说，变力Ｆ由Ｆ１线性地变化到Ｆ２的过程中所做的功等于该过程的平均力 ＝（Ｆ１＋Ｆ２）／2 所做的功．例例 3 3 某人用竖直向上的力匀速提起长为Ｌ、质量为ｍ的置于地面上的铁链，求将铁链从提 起到刚提离地面时，提力所做的功．如图 4 所示．图 4分析与解分析与解 铁链被提升过程中所需提力方向不变，大小随离地高度均匀地从 0 增大到 ｍｇ．平均提力 ＝0＋ｍｇ／2＝（1／2）ｍｇ，提力通过的位移为Ｌ，因此，提力所做的功为Ｗ＝ ·Ｌ＝（1／2）ｍｇＬ．说明：此题也可将铁链质量集中于其重心，从提起到刚离开地面，铁链重心上升Ｌ／2，运 用功能原理求解．特点：变力与位移成线性关系时，才可用平均力等效变力用公式Ｗ＝Ｆｓｃｏｓθ 计算 功．四、与势能相关的变力（如弹簧弹力、电场力等）做功例例 4 4 （1997 年高考题）在方向水平的匀强电场中，一图 5 长为ｌ不可伸长的不导电细线的 一端连着一个质量为ｍ的带电小球，另一端固定于Ｏ点，把小球拉起到使细线与场强平行的位置， 然后无初速释放，已知小球摆到最低点的另一侧，线与竖直方向夹角为 θ，如图 5 所示，求小 球经过最低点时，细绳对小球的拉力．图 5分析分析 小球从释放到达最低点另一侧的最高位置过程中，只有重力与电场力做功．这些力与 各时刻小球的极小位移的夹角时刻变化，但由于它们做功只与物体初末位置有关，而与运动路径 无关．所以 ＷＧ＝ｍｇｌｃｏｓθ，Ｗ电＝－ｑＥｌ（1＋ｓｉｎθ）．说明：与势能相关的变力做功，由于其与物体运动路径无关，只由物体初、末位置决定，所 以可由相应的势能变化根据功能原理求解．五、耗散力做功在曲线运动或往复运动中，滑动摩擦力（耗散力）的大小不变但方向可变，在计算此耗散力 做功时，可将其“视为”恒力做功，其功等于力和路程的乘积，而不是力和位移的乘积．例例 5 5 如图 6，ＡＢ与ＣＤ为两个斜面，分别与一个光滑的圆弧形图 6 轨道相切，圆弧的圆 心角为 θ，半径为Ｒ，质量为ｍ的物块在距地面高为ｈ的Ａ处无初速滑下，若物块与斜面的动摩擦因数 为 μ，求物块在斜面上（除圆弧外）共能运动多长路程．图 6分析与解分析与解 物块在斜面ＡＢ和ＣＤ上往复运动，摩擦力的方向会发生变化，由于摩擦阻力做 功，物块每次上滑的高度都在降低．当物块在Ｂ点或Ｃ点速度为零时，便在光滑曲面上往复运动， 高度不再变化．设物块在斜面上（除圆弧外）运动的总路程为ｓ，以Ａ为初位置，Ｂ或Ｃ为末位置，由动能 定理，有ＷＧ＋Ｗｆ＝0， 即 ｍｇ（ｈ－ｈ′）－μｍｇｓｃｏｓ（θ／2）＝0，ｓ＝［ｈ－Ｒ（1－ｃｏｓ（θ／2））］／μｃｏｓ（θ／2）．。