数学分析第四章函数的连续性.doc

第四章 函数的连续性(计划课时：1 2 时)§1 函数的连续性 ( 2时 )一． 函数在一点的连续性：1． 连续的直观图解：由图解引出解析定义.2. 函数在一点连续的定义: 设函数在点某邻域有定义.定义 (用) 定义 (“”定义.) 定义 (用) 先定义和例1 函数在点连续.例2 函数在点连续. 例3 函数在点连续.注: 若函数在点连续,则,又因,从而,即在的连续点处极限符号与函数符号可交换运算的次序. 3. 单侧连续: 定义单侧连续, 并图解.Th1 (单、双侧连续的关系)例4 讨论函数在点的连续或单侧连续性.二.间断点及其分类: 图解介绍间断点的分类.跳跃间断点和可去间断点统称为第一类间断点, 其他情况 即或中至少有一个不存在称为第二类间断点.例5 讨论函数的间断点类型.例6 延拓函数 使在点连续.例7 讨论函数的间断点类型.例8讨论函数的间断点类型.例9讨论Dirichlet函数和Riemann函数的连续性. 三．区间上的连续函数：开区间上连续， 闭区间上连续, 按段连续. Ex [1]P73 1—5. / §2 连续函数的性质一、连续函数的局部性质:叙述为Th 1—4.1. 局部有界性：2. 局部保号性：3. 四则运算性质：4. 复合函数连续性：Th 4 若函数在点连续,函数在点连续,且,则复合函数在点连续. ( 证 )注: Th 4 可简写为 例1 求极限 例2 求极限: ⑴ ⑵ 例3 求极限 的连续性见后.二、闭区间上连续函数的基本性质:1. 最值性: 先定义最值.Th 5 ( 最值性 )系 ( 有界性 ) 2. 介值性: 定义介值.Th 6 ( 介值性 )连续函数的值域, 连续的单调函数的值域.系 ( 零点定理 )例4 证明: 若为正整数,则存在唯一正数,使得(称为的次正根(即算术根),记作).例5 设在上连续,满足,证明:使得.二. 反函数的连续性:Th 7 若函数在上严格递增( 或减 )且连续, 则其反函数在相应的定义域或上连续. ( 证 )关于函数等的连续性 Ex [1]P80—81 1—10 四． 函数的整体连续性 —— 一致连续：1． 连续定义中对的依赖性 ：例6 考查函数在区间上的连续性.对 作限制 就有 对 , 取 这里与有关, 有时特记为.本例中不存在可在区间上通用的, 即不存在最小的( 正数 ).例6 考查函数在区间 上的连续性.本例中可取得最小的, 也就是可通用的 该却与无关, 可记为.2. 一致连续性:定义 ( 一致连续 ) 顺便介绍一致连续与连续的关系.用定义验证一致连续的方法: 对, 确证存在. 为此, 从不失真地放大式 入手, 使在放大后的式子中, 除因子之外, 其余部分中不含有和, 然后使所得式子, 从中解出例8 验证函数 在内一致连续.例9 验证函在区间 内一致连续.证 例10 若函数在有限区间内一致连续, 则在内有界.3. 一致连续的否定: 否定定义.例11 证明函数在区间内非一致连续.证法一 ( 用一致连续的否定定义验证 ) 取 取与 便有 但 证法二 ( 用例10的结果 ).4. Lipschitz连续与一致连续:定义Lipschitz连续.例12 函数在区间I上连续, 在I上一致连续. ( 证 )但函数在区间I上一致连续时, 未必有在I上连续. 例如: 函数在区间内一致连续. 为证明在区间内一致连续, 先证明不等式: 有不等式 事实上, 时, 同理, 时, 有利用该不等式, 为使 只要 却不是连续. 事实上, 倘存在>, 使对 有 则当时，应成立 但若取 就有 矛盾.5. 一致连续的判定:Th 8 ( Cantor ) 若函数在闭区间上连续, 在上一致连续.例13 见[1]P80例10. Ex [1]P102 8，9，10. §3 初等函数的连续性回顾基本初等函数中, 已证明了连续性的几个函数. 指数函数和对数函数的连续性. ( 证 )一. 初等函数的连续性:Th1 一切基本初等函数都在其定义域上连续.Th2 任何初等函数在其有定义的区间上是连续的.註: 初等函数的连续区间和间断点: 初等函数的间断点是其连续区间的开端点. 闭端点是其单侧连续点.例1 求函数的连续区间和间断点.解 的连续区间为: 、、和. 间断点为: 和. 在点右连续 .二. 利用函数的连续性求极限:例2 例3 作倒代换例4 解 I = 例5 解 I = Ex [1]P84 1，2； 友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。