一个整数的约数个数与约数和的计算方法.doc

一个整数的约数个数与约数和的计算方法,两数的最大公约数与最小公倍数之间的关系,分数的最小公倍数.涉及一个整数的约数,以及若干整数最大公约数与最小公倍数的问题,其中质因数分解发挥着重要作用．1.数 360 的约数有多少个?这些约数的和是多少?【分析与解】 360 分解质因数:360=2×2×2×3×3×5=2 3×32×5；360 的约数可以且只能是 2a×3b×5c,(其中 a,b,c 均是整数,且 a 为 0～3,6 为 0～2,c 为 0～1)．因为 a、b、c 的取值是相互独立的,由计数问题的乘法原理知,约数的个数为(3+1)×(2+1)×(1+1)=24．我们先只改动关于质因数 3 的约数,可以是 l,3,32,它们的和为(1+3+3 2),所以所有 360 约数的和为(1+3+32)×2y×5w；我们再来确定关于质因数 2 的约数,可以是 l,2,22,23,它们的和为(1+2+2 2+23)，所以所有 360 约数的和为(1+3+3 2)×(1+2+22+23)×5w；最后确定关于质因数 5 的约数,可以是 1,5,它们的和为(1+5),所以所有 360 的约数的和为(1+3+3 2)×(1+2+22+23)×(1+5)．于是,我们计算出值:13×15×6=1170．所以,360 所有约数的和为 1170．评注:我们在本题中分析了约数个数、约数和的求法.下面我们给出一般结论：I.一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加 1 后所得的乘积.如:1400 严格分解质因数后为 23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24 个.(包括 1 和它自身)Ⅱ.约数的和是在严格分解质因数后,将 M 的每个质因数最高次幂的所有约数的和相乘所得到的积．如：21000=2 3×3×53×7,所以 21000 所有约数的和为(1+2+2 2+23)×(1+3)×(1+5+52+53)×(1+7)=74880．2.一个数是 5 个 2,3 个 3,6 个 5,1 个 7 的连乘积.这个数有许多约数是两位数,那么在这些两位数的约数中,最大的是多少?【分析与解】 设这个数为 A,有 A=25×33×56×7,99=3×3×11,98=2×7×7,97 均不是 A 的约数,而 96=25×3 为 A 的约数,所以 96 为其最大的两位数约数．3.写出从 360 到 630 的自然数中有奇数个约数的数．【分析与解】 一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加 1后所得的乘积.如:1400 严格分解质因数后为 23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24 个.(包括 1 和它自身)如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加 1 后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除 0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数． 由以上分析知,我们所求的为 360～630 之间有多少个完全平方数?18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在 360～630 之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252．即 360 到 630 的自然数中有奇数个约数的数为 361,400,441,484,529,576,625．4.今有语文课本 42 册,数学课本 112 册,自然课本 70 册,平均分成若干堆,每堆中这 3 种课本的数量分别相等.那么最多可分多少堆?【分析与解】 显然堆数是 42 的约数,是 112 的约数,是 70 的约数.即为 42,112,70 的公约数,有(42,112,70)=14．所以,最多可以分成 14 堆．5.加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成 6 个零件,第二道工序每名工人每小时可完成 10 个零件,第三道工序每名工人每小时可完成 15 个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?【分析与解】 为了使生产均衡,则每道工序每小时生产的零件个数应相等,设第一、二、三道工序上分别有 A、B、C 个工人,有 6A=10B=15C=k,那么 k 的最小值为 6,10,15 的最小公倍数,即[6,10,15]=30．所以 A=5,B=3,C=2,则三道工序最少共需要 5+3+2=10 名工人．6.有甲、乙、丙 3 人,甲每分钟行走 120 米,乙每分钟行走 100 米,丙每分钟行走 70 米.如果 3 个人同时同向,从同地出发,沿周长是 300 米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3 人又可以相聚?【分析与解】 设在 x 分钟后 3 人再次相聚,甲走了 120x 米,乙走了 lOOx 米,丙走了 70x 米,他们 3人之间的路程差均是跑道长度的整数倍．即 120x-100x,120x-70x,lOOx-70x 均是 300 的倍数,那么 300 就是 20x,50x,30x 的公约数．有(20x,50x,30x):300,而(20x,50x,30x)=x(20,50,30)=lOx,所以 x=30．即在 30 分钟后,3 人又可以相聚．7.3 条圆形跑道,圆心都在操场中的旗杆处,甲、乙、内 3 人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步.开始时,3 人都在旗杆的正东方向,里圈跑道长 千米,中圈跑道长 千米,外圈跑道长 千米.甲每151438小时跑 3 千米,乙每小时跑 4 千米,丙每小时跑 5 千米.问他们同时出发,几小时后,3 人第一次同时回12到出发点?【分析与解】 甲跑完一圈需 小时,乙跑一圈需 小时,丙跑一圈需123146则他们同时回到出发点时都跑了整数圈,所以经历的时间为 , , 的倍数,即它们的公倍35840 350数．而 .213,62,1564所以,6 小时后,3 人第一次同时回到出发点.评注:求一组分数的最小公倍数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最小公倍数作为新分数的分子,将分母的最大公约数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最小公倍数；求一组分数的最大公约数,先将这些分数化为最简分数,将分子的最大公约数作为新分数的分子,将分母的最小公倍数作为新分数的分母,这样得到的新分数即为所求的最大公约数.8.甲数和乙数的最大公约数是 6 最小公倍数是 90.如果甲数是 18,那么乙数是多少？【分析与解】 有两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两数的乘积.有它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为 6×90=540，则乙数为 540÷18=30．9.A,B 两数都仅含有质因数 3 和 5,它们的最大公约数是 75.已知数 A 有 12 个约数，数 B 有 10 个约数，那么 A,B 两数的和等于多少?【分析与解】 方法一:由题意知 A 可以写成 3×52×a，B 可以写成 3×52×6,其中 a、b 为整数且只含质因子 3、5.即 A:31+x×52+y,B=31+m×52+n,其中 x、Y、m、n 均为自然数(可以为 0)由 A 有 12 个约数,所以[(1+x)+1]×[ (2+y)+1]=(2+x)×(3+y)=12，所以 .对应 A 为 31+2×52=675,31+1×52+1=1125,或 31+0×52+4=46875； 20xy04y或由 B 有 10 个约数,所以[(1+m)+1]×[(2+n)+l]=(2+m)×(3+n):10,所以 .对应 B 为02mn31+0×52+2=1875．只有(675,1875)=75,所以 A=675,B=1875．那么 A,B 两数的和为 675+1875=2550．方法二:由题中条件知 A、B 中有一个数质因数中出现了两次 5,多于一次 3,那么,先假设它出现了N 次 3,则约数有:(2+1)×(N+1)：3×(N+1)个12 与 10 其中只有 12 是 3 的倍数,所以 3(N+1)=12,易知 N=3,这个数是 A，即 A=33×52=675．那么 B 的质数中出现了一次 3,多于两次 5,则出现了 M 次 5,则有:(1+1)×(M+1)=2(M+1)=10，M=4.B=3×5 4=1875．那么 A,B 两数的和为 675+1875=2550．10.有两个自然数,它们的和等于 297,它们的最大公约数与最小公倍数之和等于 693.这两个自然数的差等于多少?【分析与解】 设这两数为 a,b,记 a=(a,b)q1,b=(a,b)q2．它们的和为:a+b=(a,b)ql+(a,b)q2=(a,b)(q1+q2)=297………①它们的最大公约数与最小公倍数的和为：[a,b]+(a,b)=(a,b)qlq2+(a,b)=(a,b)(qlq2+1)=693，且(q1,q2)=1.………………………………………………………………②综合①、②知(a,b)是 297,693 的公约数,而(297，693)=99,所以(a,b)可以是 99,33,1l,9,3,1．:(a,b)=99,则(q1+q2)=3,(qlq2+1)=7,即 qlq2=6=2×3,无满足条件的 ql,q2；第 一 种 情 况:(a,b)=33,则(q1+q2)=9,(q1q2+1)=21,即 q1q2=20=22×5,则 ql=5,q2=4 时满足,第 二 种 情 况a=(a,b)q1=33×5=165,b=(a,b)q2=33×4=132,则 a-b=165-132=33；:(a,b)=11,则(q1+q2)=27,(q1q2+1)=63,即 2=62=2×31,无满足条件的 q1,q2；第 三 种 情 况一一验证第四种情况，第五种情况，第六种情况没有满足条件的 q1q2．所以,这个两个自然数的差为 33．11.两个不同自然数的和是 60，它们的最大公约数与最小公倍数的和也是 60.问这样的自然数共有多少组?【分析与解】 设这两数为 a,b,记 a=(a,b)q1,b=(a,b)q2．它们的和为:a+b=(a,b)q1+(a,b)q2=(a,b)(ql+q2)=60…………①它们的最大公约数与最小公倍数的和为：[a,b]+(a,b)=(a,b)q1q2+(a,b)=(a,b)(q1q2+1)=60，且(q1,q2)=1…………………………………………………………………②联立①、②有(ql+q2)=(q1q2+1),即 ql+q2-qlq2=1,(ql-1)(1-q2)=0,所以 ql=1 或 q2=1．即说明一个数是另一个数的倍数,不妨记 a=kb(k 为非零整数)，有 ,即 确定，则 k 确定，则 kb 即 a 确定60, 60abkabk, 160kb 60 的约数有 2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60 这 11 个，b 可以等于2，3，4，5，6，10．12，15，20，30 这 10 个数，除了 60，因为如果 6=60，则(k+1)=1，而 k 为非零整数．对应的 a、b 有 10 组可能的值，即这样的自然数有 10 组．进一步，列出有(a,b)为(58,2),(57,3),(56,4),(55,5),(54,6),(50,10)，(48,12),(45,15),(40,20),(30,30)．评注:如果两个自然数的和等于这两个数最大公约数与最小公倍数的和，那么这两个数存在倍数关系．12.3 个连续的自然数的最小公倍数是 9828,那么这 3 个自然数的和等于多少?【分析与解】 若三个连续的自然数中存在两个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数乘积的一半；若三个连续的自然数中只存在一个偶数,那么它们的最小公倍数为三个数的乘积．则当 a,a+。