必修五3.1不等关系与不等式.pdf

3.1 不等关系与不等式一、知识要点★ 1. 比较原理：两实数之间有且只有以下三个大小关系之一： a>b;a

由以上不等关系，可得不等式组：500 600 4000300x yx yxy★题型 2 用 : 比较法两个数的大小例 2. 比较 a mb m与 ab（其中 0b a ， 0m ）的大小【解题思路】作差整理 , 定符号解析： ( ) ( ) ( )( ) ( )a m a b a m a b m m b ab m b b b m b b m，∵ 0b a ， 0m ，∴ ( ) 0( )m b ab b m，所以 a m ab m b．变式训练1. 设 a=2－ 5 ， b= 5 － 2， c=5－ 2 5 ，则 a、 b、 c 之间的大小关系为 ____________. 2. 如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多 19 km，那么在 8 天内它的行程就超过 2 200 km，如果它每天行驶的路程比原来少 12 km，那么它行驶同样的路程得花 9 天多的时间，这辆汽车原来每天行驶的路程 (km) 范围是 ________________. ★题型 3：验证或推导简单不等式的有关结论例 3. 已知： m＞ n， a＜ b，求证： m－ a＞ n－ b. 【解题思路】以不等式的性质为基础，进行推导证法一：由 m＞ n 知 m－ n＞ 0，由 a＜ b 知 b－ a＞ 0. ∴（ m－ a）－（ n－ b）＝（ m－ n）＋（ b－ a）＞ 0 m－ a＞ n－ b；证法二：∵ a＜ b ∴－ a＞－ b又∵ m＞ n ∴ m＋（－ a）＞ n＋（－ b）∴ m－ a＞ n－ b. 例 4. 已知下列三个不等式① 0ab ; ② c da b; ③ bc ad , 以其中两个作为条件 , 余下一个作结论 , 则可组成几个正确命题 . 【解题思路】以比较法为基础进行变形[ 解析 ](1) 对②变形 0c d bc ada b ab, 由 0,ab bc ad 得②成立 , ∴①③ ② . (2) 若 0, 0bc adabab, 则 bc ad , ∴①② ③ .(3) 若 , 0bc adac bdab, 则 0ab , ∴①②③ . 综上所述可组成 3 个正确命题 . 变式训练 . 1.. 若 a＜ b＜ 0，则下列不等式不能 ．． 成立的是A.a1 ＞b1 B.2 a＞ 2bC.| a| ＞ | b| D.（21 ） a＞（21 ） b2. 已知四个条件，① b＞ 0＞ a ② 0＞ a＞ b ③ a＞ 0＞ b ④ a＞ b＞ 0 能推出ba11 成立的有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个解析：运用倒数法则， a＞ b， ab＞ 0ba11 ，②、④正确 . 又正数大于负数，故选Ｃ . ★题型 4. 用比较法证函数的单调性例 5. （广东省揭阳二中 2009 届高三上学期期中考试）已 知 函 数 ( )f x 的 定 义 域 为 , 0x x R x且 对 定 义 域 内 的 任 意 1x 、 2x ， 都 有1 2 1 2( ) ( ) ( ) , 1 ( ) 0 , ( 2 ) 1 .f x x f x f x x f x f且 当 时（ 1）求证： ( )f x 是偶函数；（ 2）求证： ( )f x 在 (0, ) 上是增函数；（ 3）解不等式 2(2 1) 2.f x【解题思路】证明抽象函数的单调性通常是用单调性的定义结合比较法 . 解析； （ 1）证明 因对定义域内的任意 1x 、 2x 都有1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ), , 1f x x f x f x x x x令 ，则有( ) ( ) (f x f x f ,, 2 分又令 1 2 1, 2 ( 1) (1)x x f f得再令 1 2 1, (1) 0, ( 1) 0,x x f f得 从 而于是有 ( ) ( ), ( )f x f x f x所 以 是 偶 函 数 ．（ 2）设 21 2 1 2 1 110 ( ) ( ) ( ) ( . )xx x f x f x f x f xx， 则2 21 11 1( ) ( ) ( ) ( ),x xf x f x f fx x由于 21 210 , 1,xx xx所 以 从而 21( ) 0xfx，故 1 2 1 2( ) ( ) 0 ( ) ( ), ( ) (0, )f x f x f x f x f x， 即 所 以 在 上 是 增 函 数 ． （ 3 ） 由 于(2) 1, 2 1 1 (2) (2) (4),f f f f所 以于是待解不等式可化为 2( 2 1) ( 4 )f x f ， 结合（ 1） （ 2）已证结论，可得上式等价于22 1 4x解得 10 10 , 02 2x x x且 ．★题型 5. 用比较法处理数列中的不等关系 . 例 6. 已知数列 { }na 满足 1 2nna na，且 0na 。

1）求数列 { }na 的通项公式；（ 2） 数列 { }na 是否存在最大项？若存在最大项， 求出该项和相应的项数； 若不存在， 说明理由解题思路】先由递推关系求通项公式，再用比较法判断数列的单调性解： （ 1）由 1 2nna na得 2 2 1 0n na na - 由一元二次方程求根公式得 2 4 4 12nn na n n∵ 0na ∴ 1na n n(2) 解：∵ 1na n n ∴ 1 2 11nna n na n n( 2 1)( 2 1)( 1 )( 2 1)( 1 )( 1 )n n n n n nn n n n n n12 1n nn n∵ n N , ∴ 1 2 1n n n n ∴ 1 1nnaa，∵ 0na∴ 1 ,n na a n N 即 1 2 3 1n na a a a a∴数列 { }na 有最大项，最大项为第一项 1 2 1a 变式训练1. 已 知 )( xf 是 定 义 在 ]1,1[ 上 的 奇 函 数 ， 且 1)1(f ， 若 a 、 b ]1,1[ ， 0ba ， 有0)()(babfaf ；（ 1） 、判断函数 )( xf 在 ]1,1[ 上的单调性，并证明你的结论；（ 2） 、若 )( xf ≤ 122 amm 对所有的 x ]1,1[ 、 a ]1,1[ 恒成立，求实数 m 的取值范围。

2. 已知等差数列 { an} 的公差大于 0，且 a3， a5 是方程 x2－ 14x＋ 45＝ 0 的两根，数列 { bn} 的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝ 1－ 12 bn. (1) 求数列 { an} 、 { bn] 的通项公式；(2) 记 cn＝ anbn，求证： cn ＋ 1≤ cn. 三、巩固训练1、已知 a b ， c d ，且 c 、 d 不为 0 ，那么下列不等式成立的是（ ）A． ad bc B ． ac bc C ． a c b d D ． a c b d2、下列命题中正确的是（ ）A．若 a b ，则 2 2ac bc B ．若 a b ， c d ，则 a c b dC．若 0ab ， a b ，则 1 1a bD ．若 a b ， c d ，则 a bc d3、下列命题中正确命题的个数是（ ）①若 x y z ，则 xy yz ；② a b ， c d ， 0abcd ，则 a bc d；③若 1 1 0a b，则 2ab b ；④若 a b ，则 11b ba a．A． 1 B． 2 C ． 3 D． 44、如果 0a ， 0b ，则下列不等式中正确的是（ ）A． 1 1a bB． a b C． 2 2a b D ． a b5、下列各式中，对任何实数 x 都成立的一个式子是（ ）A． 2lg 1 lg 2x x B ． 2 1 2x x C ． 2 1 11xD ． 1 2xx6、若 a 、 b 是任意实数，且 a b ，则（ ）A． 2 2a b B． 1baC ． lg 0a b D ． 1 12 2a b7、如果 a R ，且 2 0a a ，那么 a ， 2a ， a ， 2a 的大小关系是（ ）A． 2 2a a a a B． 2 2a a a aC． 2 2a a a a D． 2 2a a a a8、若 23 1x x ， 22 x x ，则（ ）A． B ． C ． D ．9、若 2x 或 1y ， 2 2 4 2x y x y ， 5 ，则 与 的大小关系是（ ）A． B． C． D．10、不等式① 2 2 2a a ，② 2 2 2 1a b a b ，③ 2 2a b ab 恒成立的个数是（ ）A． 0 B． 1 C． 2 D． 311、已知 0a b ， 0b ，那么 a ， b ， a ， b 的大小关系是（ ）A． a b b a B． a b a bC． a b b a D． a b a b12 、 给 出 下 列 命 题 ： ① 2 2a b ac bc ； ② 2 2a b a b ； ③ 3 3a b a b ； ④2 2a b a b ．其中正确的命题是（ ）A．①② B．②③ C ．③④ D．①④13、已知实数 a 和 b 均为非负数，下面表达正确的是（ ）A． 0a 且 0b B ． 0a 或 0bC． 0a 或 0b D ． 0a 且 0b14、已知 a ， b ， c ， d 均为实数，且 0ab ， c da b，则下列不等式中成立的是（ ）A． bc ad B． bc ad C． a bc dD． a bc d15、若 23 1f x x x ， 22 1g x x x ，则 f x ， g x 的大小关系是（ ）A． f x g x B． f x g xC． f x g x D．随 x 值的变化而变化16、 某一天 2 4 小时内两艘船均须在某一码头停靠一次， 为了卸货的方便， 两艘船到达该码头的时间至少要相差两小时，设甲、乙两船到达码头的时。