“生活中的优化问题举例”导学案.doc

用导数解决数学问题课 题生活中的优化问题举例课 型新授时 间11/ 3 /课程标准1、理解生活中常遇到的求利润最大、用料最省、效率最高等三大求最值问题（即称优化问题）的含义；2、掌握利用导数工具求三大优化问题的方法和步骤重点难点1、把三类求最值问题合理转化为相应的数学问题；2、熟练应用导数的知识灵活求解相应的最值问题一、问题导学例1、海报版面尺寸的设计• 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128d,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？思考与总结：1、本题是那一类优化问题：2、该问题应该转化为哪一类数学模型：3、你有哪几种求解方法：求解过程：练习：1、一条长为L的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？ 2、一边长为a的正方形铁片，铁片的四角截取四个边长都为x的小正方形，然后做成一个无盖的方盒1）试把方盒的容积V表示为x的函数；（2）x为多大时，方盒的容积V最大？例2、饮料瓶大小对饮料公司利润的 影响（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？背景知识：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料。

瓶子的制造成本是 分，其中 r 是瓶子的半径，单位是厘米.已知每出售1 ml 的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm.问题(１)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？　　(２)瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？思考与总结：1、本题是那一类优化问题：2、该问题应该转化为哪一类数学模型：3、你有哪几种求解方法：求解过程：练习：1、圆柱形金属饮料罐容积一定时，它的高与半径应怎样选择，才能使材料最省？2、用铁丝弯成一个（如图）上面是半圆、下面是矩形的图形，其面积是为使所用的材料最省，底宽应怎样多少？例3、磁盘的最大存储量问题阅读课本中例3的“磁盘的最大存储量问题”的知识背景思考：（1）计算机是如何储存、检索信息的：（2）磁盘的结构如何：（3）如何使一个圆环状的磁盘储存尽可能多的信息：解答如下问题：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R的环形区域1）是不是r越小，磁盘的存储量越大？（2）r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不储存任何信息）？二、问题探究问题：归纳生活中的优化问题的“思想方法与步骤”实际生活中的很多优化问题的解决都可归结为寻求一个量的最值问题,一个量的最值问题转化为数学问题通常都是求一个函数的最值问题,而函数的最值问题的解决导数是一个强有力的工具.1、利用导数解决优化问题的基本思路：流程图生活中的优化问题用函数表示数学问题用导数解决函数问题优化问题的答案建立数学模型解决数学模型作答答 2、解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工具。

三．合作交流1. 一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD的面积为定值S时，使得湿周l=AB+BC+CD最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h和下底边长b.分析:设法把湿周l=AB+BC+CD求出来,这是关键解：由梯形面积公式，得S= (AD+BC)h,其中AD=2DE+BC，DE=h,BC=b∴AD=h+b, ∴S=①∵CD=,AB=CD.∴l=×2+b②由①得b=h,代入②,∴l=l′==0,∴h=, 当h<时，l′<0,h>时，l′>0.∴h=时，l取最小值，此时b=.2、、两村距输电线（直线）分别为 和（如图），长. 现两村合用一台变压器供电. 问变压器设在何处,输电线总长 最小.分析:法一:这是一个几何最值问题,本题可用对称性技巧获得解决. 法二:只要能把 AE+BE代数化,问题就易解决解 设如图，并设输电线总长为.则有, ,解得和(舍去). 答： ……3、某造船公司年最高造船量是20艘. 已知造船x艘的产值函数R(x)=3700x + 45x2–10x3(单位：万元), 成本函数为C(x) = 460x + 5000 (单位：万元). 又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf (x)定义为: Mf (x) = f (x+1) – f (x). 求:（提示：利润 = 产值 – 成本）(1)利润函数P(x) 及边际利润函数MP(x);(2)年造船量安排多少艘时, 可使公司造船的年利润最大?(3)边际利润函数MP(x)的单调递减区间, 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？四、深化提高1、已某知商品生产成本C与产量q的函数关系为，单价p与产量q的函数关系为.求产量q为何值时，利润L最大？2、某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满；房间的单价每增加10元，就会有一个房间空闲。

如果游客居住房间，宾馆每间每天需花费20元的各种维护费用房间定价多少时，宾馆利润最大？3、已知某商品进价为a元/件，根据以往经验，当售价是b()元/件时，可卖出c件.市场调查表明，当售价下降10%时，销量可增加40%现决定一次性降价，销售价为多少时，可获得最大利润？五、本章小结1、知识方面：2、数学思想与方法方面：六、当堂检测1、用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边的长比另一边的长多0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？最大容积是多少？2、已知某养猪场每年的固定成本是20000元，每年最大规模的养猪量是400头每养一头猪成本增加100元如果收入函数是（q是猪的数量）,每年养多少头猪可使总利润最大？总利润是多少？（可使用计算器）学习反思：学习反思：学习反思：学习反思：学习反思：学习反思：学习反思：。