（课标专用 5年高考3年模拟A版）高考数学 第三章 导数及其应用 2 导数的应用试题 文-人教版高三数学试题.docx

导数的应用挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点利用导数研究函数的单调性①了解函数单调性和导数的关系;②能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)2017课标全国Ⅱ,21,12分导数与函数的单调性不等式恒成立求参数范围★★★2016课标全国Ⅰ,12,5分利用函数单调性求参数范围不等式恒成立求参数范围2014课标Ⅱ,11,5分利用函数单调性求参数范围不等式恒成立求参数范围利用导数研究函数的极值与最值①了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;②会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)2018课标全国Ⅰ,21,12分导数与函数单调性、极值、最值不等式的证明★★★2017课标全国Ⅲ,21,12分利用最值证明不等式导数与函数单调性2015课标Ⅱ,21,12分利用导数求函数最值导数与函数单调性2014课标Ⅱ,3,5分函数极值存在的充要条件利用导数为零判断极值点是否存在导数的综合应用利用导数解决实际问题、函数的零点(方程的根)的问题、不等式问题以及恒成立(存在性)问题2018课标全国Ⅱ,21,12分函数的零点导数与函数的单调性★★★2014课标Ⅱ,21,12分零点个数的证明利用导数几何意义求切线方程2015课标Ⅰ,21,12分不等式的证明零点个数问题分析解读　　函数的单调性是函数的一条重要性质,也是高中阶段研究的重点.一是直接用导数研究函数的单调性、求函数的最值与极值,以及实际问题中的优化问题等,这是新课标的一个新要求.二是把导数与函数、方程、不等式、数列等知识相联系,综合考查函数的最值与参数的取值,常以解答题的形式出现.本节内容在高考中分值为17分左右,属难度较大题.破考点【考点集训】考点一　利用导数研究函数的单调性1.(2018河南、河北重点高中第二次联考,6)若函数f(x)=ex-(a-1)x+1在(0,1)上递减,则a的取值范围是(　　)　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 A.(e+1,+∞) B.[e+1,+∞)C.(e-1,+∞) D.[e-1,+∞)答案　B　2.(2018河南信阳一模,15)已知定义在R上的可导函数f(x)满足f '(x)<1,若f(2-m)-f(m)>2-2m,则实数m的取值范围是　　　　. 答案　(1,+∞)3.(2017天津红桥期中联考,21)已知函数f(x)=x3-ax-1.(1)若f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出a的取值范围;若不存在,试说明理由.解析　(1)f '(x)=3x2-a,要使f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,需3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立,即a≤3x2在(-∞,+∞)上恒成立,∴a≤0.因此当 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增时,a 的取值范围是(-∞,0].(2)存在.若f(x)在(-1,1)上单调递减,则对于任意 x∈(-1,1),不等式f '(x)=3x2-a≤0 恒成立,即 a≥3x2,又 x∈(-1,1)时,3x2<3,∴a≥3,∴存在实数a,使函数 f(x)在(-1,1)上单调递减,实数a的取值范围是[3,+∞).考点二　利用导数研究函数的极值与最值1.(2018广东珠海二中期中,15)已知x0是函数f(x)=x3-12x的极小值点,则x0=　　　　. 答案　22.(2017湖南郴州三模,14)已知奇函数f(x)=exx-1(x>0),h(x)(x<0),则函数h(x)的最大值为　　　　. 答案　1-e3.(2018湖北荆州一模,20)已知函数f(x)=-x2+ax-ln x(a∈R).(1)若函数f(x)是单调递减函数,求实数a的取值范围;(2)若函数f(x)在区间(0,3)上既有极大值又有极小值,求实数a的取值范围.解析　(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f '(x)=-2x+a-1x=-2x2+ax-1x(x>0).∵函数f(x)是单调递减函数,∴f '(x)≤0对x∈(0,+∞)恒成立,∴-2x2+ax-1≤0对x∈(0,+∞)恒成立,即a≤2x+1x对x∈(0,+∞)恒成立.∵2x+1x≥22x·1x=22当且仅当2x=1x,即x=22时取“=”,∴a≤22.(2)∵函数f(x)在(0,3)上既有极大值又有极小值,∴f '(x)=-2x2+ax-1x=0在(0,3)上有两个相异实根,即2x2-ax+1=0在(0,3)上有两个相异实根,令g(x)=2x2-ax+1,则Δ>0,00,g(3)>0,得a<-22或a>22,00,a<193,∴220,设函数f(x)=eλx-x.(1)当λ=1时,求函数f(x)的极值;(2)若对任意x∈(0,+∞),不等式f(x)≥0恒成立,求λ的最小值.解析　(1)当λ=1时,f(x)=ex-x,求导得f '(x)=ex-1.令f '(x)<0,即ex<1,解得x<0;令f '(x)>0,即ex>1,解得x>0.从而,函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)无极大值,只有极小值,且极小值为f(0)=e0-0=1.(2)因为当x>0时,f(x)≥0⇔eλx≥x⇔λx≥ln x⇔λ≥lnxx,从而结合题意可知:λ≥lnxxmax.令g(x)=lnxx(x>0).因为g'(x)=1-lnxx2,所以易知:当00,函数g(x)单调递增;当x>e时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减.于是,当x=e时,函数g(x)取得最大值.故g(x)max=g(e)=1e.故λ≥1e,所以λmin=1e.3.(2019届河南濮阳模拟,21)已知函数f(x)=ax-1x-ln x,其中a∈R.(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点P(1, f(1))处的切线方程;(2)若对任意x≥1,都有f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.解析　(1)当a=1时, f(x)=x-1x-ln x,则f(1)=0,对f(x)求导得f '(x)=1+1x2-1x,所以f '(1)=1,所以曲线y=f(x)在点P(1, f(1))处的切线方程为y=x-1.(2)f(x)=ax-1x-ln x的导数为f '(x)=ax2-x+ax2,若a≤0,则当x>1时,x-1x>0,ln x>0,可得f(x)<0,不满足题意;若a>0,则当Δ=1-4a2≤0,即a≥12时, f '(x)≥0恒成立,可得f(x)在[1,+∞)上单调递增,而f(1)=0,所以当x≥1时,都有f(x)≥0,满足题意;当Δ>0,即00,所以有00.①当a=0时,h(x)在定义域(0,+∞)上恒大于0,h(x)没有零点.②当a<0时,h'(x)=x-ax,则h'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,所以h(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,因为h(1)=12>0,h(e1a)=12e2a-1<0,所以h(x)有1个零点.③当a>0时,h'(x)=x-ax=x2-ax=(x+a)(x-a)x,当x∈(0,a)时,h'(x)<0,h(x)在(0,a)上为减函数,当x∈(a,+∞)时,h'(x)>0,h(x)在(a,+∞)上为增函数,所以当x=a时,h(x)取极小值,也是最小值,h(a)=12a-aln a=12a(1-ln a).当a∈(0,e)时,h(a)=12a(1-ln a)>0,h(x)没有零点;当a=e时,h(a)=12a(1-ln a)=0,h(x)有1个零点x=a;当a∈(e,+∞)时,h(a)=12a(1-ln a)<0,因为h(1)=12>0且h(a)<0,所以方程h(x)=0在区间(0,a)内有一解,因为当x>1时,x-ln x>0,所以x>ln x,则h(x)=12x2-aln x>12x2-ax.因为2a>a>1,所以h(2a)>12(2a)2-2a2=0,所以h(x)=0在区间(a,+∞)内有一解,所以方程h(x)=0在区间(0,+∞)内有两解.综上所述,当a∈[0,e)时,y=f(x)-g(x)+12没有零点,当a<0或a=e时,y=f(x)-g(x)+12有1个零点,当a>e时,y=f(x)-g(x)+12有2个零点.炼技法【方法集训】方法1　利用导数求函数的单调区间1.(2018河南信阳二模,9)已知定义在R上的函数f(x)=13ax3+x2+ax+1有三个不同的单调区间,则实数a的取值范围是(　　)　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.[-1,0)∪(0,1]C.(-1,1) D.(-1,0)∪(0,1)答案　D　2.(2019届山东烟台模拟,10)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+da<23b在R上是单调递增函数,则c2b-3a的最小值是(　　)A.1 B.2 C.3 D.4答案　A　3.(2019届陕西渭南模拟,21)已知函数f(x)=ln x-ax2-bx.(1)若a=-1,函数f(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围;(2)f(x)的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)(x10),∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴f '(x)=1x+2x-b≥0对x∈(0,+∞)恒成立,即b≤1x+2x对x∈(0,+∞)恒成立,∴只需b≤1x+2xmin.∵x>0,∴1x+2x≥22,当且仅当x=22时,取。