斐波那契数列与黄金分割.doc

斐波那契数列斐波那契数列 斐波纳契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……在数 学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2) （n>=2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此， 美国数学会从1960年代起出版了《斐波纳契数列》季刊，专门刊载这方面的研究成果 定定义义 斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34…… 这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和 斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）， 自然中的斐波那契数列 生于公元1170年，卒于1240年，籍贯是比萨他被人称作“比萨的列昂纳多”1202年，他撰写 了《珠算原理》（Liber Abacci）一书他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人他 的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列 昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西 里和普罗旺斯研究数学。

通通项项公式公式递递推公式推公式斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、…… 如果设 F(n）为该数列的第 n 项（n∈N+）那么这句话可以写成如下形式：F(1) = 1，F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)， 显然这是一个线性递推数列 通通项项公式公式斐波那契数列通项公式 （见上图）（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例 ） 注：此注：此时时 a1=1， ，a2=1， ，an=a(n-1)+a(n-2)（ （n>=3,n∈ ∈N*） ） 通通项项公式的推公式的推导导 方法一：利用特征方程（方法一：利用特征方程（线线性代数解法）性代数解法） 线性递推数列的特征方程为：X^2=X+1 解得 X1=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2 则 F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n∵F⑴=F⑵=1 ∴C1*X1 + C2*X2 C1*X1^2 + C2*X2^2 解得 C1=√5/5，C2=-√5/5∴F(n)=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（√5表示根号5） 方法二：方法二：待定系数法构造等比数列1（初等代数解法） 设常数 r，s。

使得 F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)] 则 r+s=1， -rs=1 n≥3时，有F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)] F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)] F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)] ……F⑶-r*F⑵=s*[F⑵-r*F⑴] 联立以上 n-2个式子，得：F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F⑵-r*F⑴] ∵s=1-r，F⑴=F⑵=1 上式可化简得：F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1） 那么： F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1） = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2） = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3） ……= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F⑴ = s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1）。

（这是一个以 s^(n-1）为首项、以 r^(n-1）为末项、r/s 为公比的等比数列的各项的和）[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s） =(s^n - r^n)/(s-r） r+s=1， -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2，r=(1-√5)/2 则 F(n)=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}方法三：方法三：待定系数法构造等比数列2（初等代数解法） 已知 a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3），求数列{an}的通项公式 解 ：设 an-αa(n-1)=β（a(n-1)-αa(n-2））得 α+β=1 αβ=-1 构造方程 x^2-x-1=0，解得 α=(1-√5)/2，β=(1+√5)/2或 α=(1+√5)/2，β=(1-√5)/2 an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1- √5)/2*a1)`````````1 an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2- (1+√5)/2*a1)`````````2。

由式1，式2，可得 an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3 an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4 将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2，化简得 an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}与黄金分割与黄金分割关系关系 有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的而且当 n 趋向 于无穷大时，后一项与前一项的比值越来越逼近黄金分割0.618.（或者说后一项与前一项的 比值小数部分越来越逼近黄金分割0.618、前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618） 1÷1=1，2÷1=2，3÷2=1.5，5÷3=1.666...，8÷5=1.6，…………，89÷55=1.6181818…，…………23 3÷144=1.618055…75025÷46368=1.6180339889…... 越到后面，这些比值越接近黄金比. 证证明明a[n+2]=a[n+1]+a[n] 两边同时除以 a[n+1]得到：a[n+2]/a[n+1]=1+a[n]/a[n+1]。

若 a[n+1]/a[n]的极限存在，设其极限为 x， 则 lim[n->；；∞](a[n+2]/a[n+1])=lim[n->；；∞](a[n+1]/a[n])=x所以 x=1+1/x 即 x=x+1 所以极限是黄金分割比.. 特性特性平方与前后平方与前后项项 从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项 之积少1 如：第二项1的平方比它的前一项1和它的后一项2的积2少1，第三项2的平方比它的前一项1 和它的后一项3的积3多1 （注：奇数奇数项项和偶数和偶数项项是指是指项项数的奇偶数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如从数列第二 项1开始数，第4项5是奇数，但它是偶数项，如果认为5是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通） 证证明明经计算可得：[f(n)]^2-f(n-1)f(n+1)=(-1)^(n-1)与集合子集与集合子集 斐波那契数列的第 n 项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数求和求和f(0)+f⑴+f⑵+…+f(n)=f(n+2)-1 奇数奇数项项求和求和f⑴+f⑶+f⑸+…+f(2n-1)=f(2n） 偶数偶数项项求和求和f⑵+f⑷+f⑹+…+f(2n) =f(2n+1)-1 平方求和平方求和[f(0)]^2+[f⑴]^2+…+[f(n)]^2=f(n）·f(n+1） 加减求和加减求和f(0)-f⑴+f⑵-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]-1 和和项项数公式数公式f(n+m)=f(n+1)·f(m)+f(n)·f(m-1)。

奇数奇数项项与前后的平方与前后的平方f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2 偶数偶数项项与前后的平方与前后的平方f(2n+1)=[f(n)]^2+[f(n+1)]^2. 隔隔项项关系关系3f(n)=f(n+2)+f(n-2）f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1，且 n≥1] 两倍两倍项项关系关系f(2n)/f(n)=f(n-1)+f(n+1) 应应用用生活中斐波那契生活中斐波那契 斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、 某些花朵的花瓣数（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅膀，超越数 e（可以推出更多），黄金 矩形、黄金分割、等角螺线，十二平均律等斐波那契数与植物花瓣 3………………………百合和蝴蝶花 5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花8………………………翠雀花 13………………………金盏 和玫瑰 21………………………紫宛 34、55、89……………雏菊 斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现例如，在树木的枝干上选一片叶子，记 其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那些叶子正对的位置，则其间的叶 子数多半是斐波那契数。

叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回叶子在一个 循回中旋转的圈数也是斐波那契数在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源 自希腊词，意即叶子的排列）比多数的叶序比呈现为斐波那契数的比黄金分割黄金分割 随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887..… 杨辉杨辉三角三角 将杨辉三角左对齐，成如图所示排列，将同一斜行的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、…… 公式表示如下：f⑴=C(0,0)=1 f⑵=C(1,0)=1f⑶=C(2,0)+C(1,1)=1+1=2 f⑷=C(3,0)+C(2,1)=1+2=3 f⑸=C(4,0)+C(3,1)+C(2,2)=1+3+1=5 f⑹=C(5,0)+C(4,1)+C(3,2)=1+4+3=8 F⑺=C(6,0)+C(5,1)+C(4,2)+C(3,3)=1+5+6+1=13 …… F(n)=C(n-1,0)+C(n-2,1)+…+C(n-1-m,m) (m2），每段的长度不小于1cm，如果其中任意三小段 都不能拼成三角形，则 n 的最大值为多少？ 分析：由于形成三角形的充要条件是任何两边之和大于第三边，因此不构成三角形的条件就 是任意两边之和不超过最大边。

截成的铁丝最小为1，因此可以放2个1，第三条线段就是2（为 了使得 n 最大，因此要使剩下来的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻2段之和）， 依次为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各数之和为143，与144相差1，因此可以取最后 一段为56，这时 n 达到最大为10 我们看到， “每段的长度不小于1”这个条件起了控制全局的作用，正是这个最小数1产生了斐 波那契数列，如果把1换成其他数，递推关系保留了，但这个数列消失了这里，三角形的三 边关系定理和斐波那契数列发生了一个联系 在这个问题中，144>143，这个143是斐波那契数列的前 n 项和，我们是把144超出143的部分 加到最后的一个数上去，如果加到其他数上，就有3条线段可以构成三角形了 影视作品中的斐波那契数列 斐波那契数列在欧美可谓是尽人皆知，于是在电影这种通俗艺术中也时常出现，比如在风靡 一时的《达芬奇密码》里它就作为一个重要的符号和情节线索出现，在《魔法玩具城》里又是 在店主招聘会计时随口问的问题可见此数列就像黄金分割一样流行可是虽说叫得上名， 多数人也就背过前几个数，并没有深入理解研究在电视剧中也出。