转化思想在数学解题中的应用.doc

转化思想在数学解题中的应用谢全苗客观事物在不断地运动变化，事物之间在互相转化反映在数学上的转化思想就是在处理问题时，把待解决或难解决的问题，通过某种转化，变为一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题的解决波利亚指出：“解题过程就是不断变更题目的过程”转化思想就是要求我们换一个角度去看，换一种方式去想，换一种语言去讲，换一种观点去处理，以使问题朝着有利于解决方向不断变更，从不同的角度和特征出发，把同一问题用不同的形式在不同的水平上转化出来转化就如同“翻译”，通过“翻译”，不仅使我们对能解决的问题不再停留在解决的层面上，而且让我们能站得更高、看得更清、想得更好、表叙得更简洁，做到既知道有几种解法，又明白以怎样方向入手去解才是最简下面举例说明1 换一个角度去看例1 若正数a、b满足，则ab的取值范围是__________1999年全国高考题）分析 本题有多种解法，此题若由直接推出ab的取值范围是走不通的，现在只能换一个角度，用转化的思想，由于a、b是正数，显然成立，当且仅当a=b时取等号把等式转化为关于ab的不等式，这是关键的一步解不等式（舍去），所以即ab的取值范围是[9，例2 如图1，已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，点E分有向线段AC所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A，B为焦点，当时，求双曲线的离心率e的取值范围。

2000年全国高考试题）分析 一看到这个题，不要说当年一些普通考生望题兴叹，就是一些基础不错的考生也没了头绪，这不但是由于它是一个双参数范围问题，而且是在未知双曲线方程的情况下来求离心率e的取值范围，再加上大家期望要用上的已知条件：，又是大家在日常解题中着实有点感到后怕的“点E分有向线段AC所成的比”这时，一些思维灵活，能换一个角度去看的学生就有了用武之地：他们首先看到题设中无系无方程，因此，用分而治之的策略，从建立坐标系，确立方程的形式入手：如图1，以AB的垂直平分线为y轴，以AB所在直线为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴因为双曲线过C、D，且以A，B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称，并设双曲线方程为，则离心率在做好这一基础性工作的前提下，如何由λ的范围来求e的范围就成了解决本题的思维核心，他们看到这个双参数问题中，λ和e既互相制约，又在一个矛盾中统一（统一在一个方程里），这是考查学生在解题某个阶段视哪一个为主元，哪一个为辅元，而在解题另一个阶段，又需要主辅互换，反客为主，真是个考查辩证思维，灵活转化的绝妙压轴题题虽难，但也正是考生一显身手，展示自己思维能力的好地方，也是与众考生一决高下的分水岭。

因此，他们根据λ的范围已知这一条件，进而确立：先视λ为主元，再视e为主元，找出两个参数之间的关系，将问题转化为已知范围，再解不等式，由此求出参数e的范围这样一个整体的思路和思维策略于是，他们先视λ为主元，找λ的关系式：依题意，记A（－c，0），C（），E（），其中为双曲线的半焦距，h是梯形的高由定比分点公式得：但在如何再视e为主元，找出两个参数之间的关系时，又一次体现思维水平的层次性视角1 视点C、E为直线AC与双曲线的交点，这时，虽能把方程代入这一常规思路虽正确，解题方向也不错，但要用上这一方程不但难，而且繁，在应试的情况下当然应另辟蹊径思路敏锐的学生在不代前就暂时放弃了视觉2 视点C、E在双曲线上，将C、E的坐标和代入曲线的方程，得 ①② 由①得：③将③式代入②式整理得：所求双曲线的离心率e的取值范围是视觉3 视AC、AE为点C、E到焦点A的距离，由焦半径公式得：而AC、AE同号，从而所以由题设所以双曲线的离心率e的取值范围是这里同是C、E二点，但由于解题转化思想的运用，从不同的视角出发，使解题的切入点和解题的方向各不相同，对同一问题解答所用的知识、方法也不同其中视角二下的方法比较简单，而视角三下的方法，运用焦半径公式来解，在简捷中更显得灵活，真是：“横看成岭侧成峰，远近高低无一同”。

2 换一种方式去想例3 试求常数m的范围，使曲线的所有弦都不能被直线垂直平分分析 本题看上去并不难，就两句话，但真做起来却不容易，难在习惯的思维方式难以直接将“所有弦都不能被直线垂直平分”的题意转化为数学关系式因此，解决本题的关键是换一种方式去想，这里从正面思考遇到困难，应从反面去探索不能”的反面是“能”，被直线垂直平分的弦的两端点关于此直线对称，于是问题转化为“抛物线上存在两点关于直线对称，求m的取值范围，”再求出m取值集的补集即为原问题的解解 设抛物线上两点关于直线对称，于是有：消去得：因为存在使上式恒成立，所以即恒成立，因为恒成立，所以，所以时，抛物线上存在两点关于直线对称所以当的所有弦都不能被直线垂直平分例4 已知圆C：和两个定点A（－1，0），B（1，0），点P为圆C上的动点，过点P的圆C的切线为l，点A关于l的对称点为A”，求|A”B|的最大值分析 本题一般都是按常规方式去思考，即采用纯解析法：首先求出点A”的轨迹方程，再利用两点间距离公式去求|A”B|的表达式（要运用点A”的轨迹方程将二元函数的最值问题转化为一元函数的最值问题），进而求出|A”B|的最大值这里所用的纯解析法虽然思路很直接，但求出点A”的轨迹方程是一个难点，遗撼的是这个难点既很难突破，又运算量大，过程繁琐。

若能换一种方式去想，看到平面向量的几何计算灵活方便，运用平面向量的运算法则合理安排运算，使问题的解决变得简洁解 如图2，设AA”与直线l交于点Q，连结OP，OQ，由O，Q分别为AB，AA”的中点，得，且又l，OP⊥l，故OP//AA”设，，由题意，得，即因为m>0，所以当m=1时，所以此时，点P的坐标为（0，±2），切线方程为，点A”的坐标为（－1，±4）3 换一种观点去处理例5 已知锐角α，β，满足，求证：分析 对于本题求证，我们总是用纯三角观点来处理，力图用降次，和积互化等三角变换去实现问题解决，但却常常不是较繁，就是失去解题的方向，如果我们能换一种观点去处理，则会让整个证题过程别开生面这里是用方程观点，视已知式为方程来处理解 将已知等式视为关于的一元二次方程，变形得：即因为，所以所以因为4 换一种语言去表述例6 对任意函数f(x)，，可按图3构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据，经数列发生器输出；②若，则数列发生器结束工作；若，则将反馈回输入端，再输出，并依此规律继续下去现定义（1）若输入，则由数列发生器产生数列，请写出的所有项；（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据的值；（3）若输入时，产生的无穷数列满足对任意正整数n均有；求的取值范围。

分析 此题属于富有新意，综合性、抽象性较强的题目由于其表述确是陌生，不易理解，由题意难以直接转化出数学关系式，因此，需要换一种语言，将题意条件转化为数学语言，即将其表述的文意转化为数学语言，这是解题的关键，这就要求我们慎读题意，把握主脉，体会数学转换解 （1）因为f(x)的定义域所以数列只有三项，（2）因为，所以x=1或x=2即故当（3）解不等式，得x<－1或1

若是等价转化，则所得的解就是原问题的解，数学中之所以特别重视充要条件，就是因为利用它便于等价转化；若是非等价转化，这要视情况而定，如不等式在用于证明不等式时用的往往是推出特性，而用于解不等式，则要求同解变形，只有这样，才能使转化在规范、灵活、简洁的前提下保证转化的有效性，提高解题的正确性。