随机过程教学课件：第六章 平稳随机过程.ppt
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第六章：平稳随机过程v严平稳过程的定义v宽平稳过程的定义v平稳过程的数字特征v平稳过程自相关函数的性质v时间平均和集合平均的概念v平稳过程遍历性定义v遍历性判定定理v遍历性应用举例 严平稳过程的定义设{X(t),t∈T}是随机过程，如果对任意常数τ和正整数n， t1,t2, …,tn∈T，t1+τ,t2+τ, …,tn+τ ∈T，(X(t1),X(t2), …,X(tn))与(X(t1+τ),X(t2+τ), …,X(tn+τ))有相同的联合分布，则称{X(t),t∈T}为严平稳过程或侠义平稳过程严平稳过程的统计特征是由有限维分布函数决定的，在实际应用中难以确定 宽平稳过程的定义设{X(t),t∈T}是随机过程，如果1.{X(t),t∈T}是二阶矩过程；2.对任意t∈T，mX(t)=EX(t)=常数；3.对任意s,t ∈T，RX(s,t)=E[X(s)X(t)]=RX(s-t)则称{X(t),t∈T}为广义平稳过程，简称为宽平稳过程 均值：mX(t)=E[X(t)];均方值： φ X(t)=E[X2(t)]；方差：D[X(t)]=E[X2(t)]-[E(X(t))]2= φX(t)-mX2(t);自相关函数：RX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]；协方差函数：Cov(t1,t2)=RX(t1,t2)-mX(t1)mX(t2)平稳过程的数字特征 对于宽平稳随机过程X(t)的一维分布F1(X1,t1)=F1(X1,t1+ ε)，若令ε=-t1，则F1(X1,t1)=F1(X1,0)=F1(X1)因此宽平稳随机过程的一维分布函数与时间无关，其在任何时刻的统计规律相等。
若随机过程X(t)平稳，则其均值、均方值和方差均为常数 对于宽平稳随机过程X(t)的二维分布F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;t1+ ε,t2+ ε)，若令ε=-t1，则F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2;0,t2-t1)，令t2-t1= τ ，则F2(X1,X2;t1,t2)=F2(X1,X2; τ)随机过程X(t)的自相关函数平稳过程的自相关函数是时间τ的单变量函数 例题1：设Y是随机变量，试分别考虑X(t)=Y和X(t)=tY的平稳性例题2：设{Xn，n=0, ±1, ±2, …}是实的互不相关随机变量序列，且E[Xn]=0,D[Xn]=σ2试讨论随机序列的平稳性 例题3：设S(t)是一周期为T的函数， θ在(0,T)上均匀分布，称X(t)=S(t+θ)为随机相位周期过程，讨论其平稳性例题4：X(t)只取+I和-I，且P{X(t)=+I}=P{X(t)=-I}=1/2，而正负号在(t,t+ τ)的变化次数N(t,t+τ)是随机的，且事件AK={N(t,t+τ)=k}的概率为试讨论X(t)的平稳性 联合平稳过程设{X(t),t∈T}和{Y(t),t∈T}是两个平稳过程，若它们的互相关函数 和 仅与τ有关，而与t无关，则称X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程。
当两个平稳过程X(t)，Y(t)是联合平稳时，则它们的和也是平稳过程 设{x(t),t∈T}为平稳过程，则其相关函数具有下列性质：1. 2. 3. 4. RX(τ)是非负定的，即对任意实数t1,t2, …,tn及复数a1,a2, …,an，有5. 若X(t)是周期为T的周期函数，即X(t)=X(t+T)，则RX(τ)=RX(τ+T)；6. 若X(t)是不含周期分量的非周期过程，当|τ|→∞时，X(t)与X(t+τ)相互独立，则平稳过程自相关函数的性质 收敛性概念收敛性概念对于概率空间(Ω,F,P)上的随机序列{Xn}每个试验结果e都对应一序列，如果该序列对每个e都收敛，则称随机序列{Xn}处处收敛，处处收敛，即满足称二阶矩随机序列{Xn(e)}以概率1收敛于二阶矩随机变量X(e)，即或称{Xn(e)}几乎处处收敛于X(e)，及作称二阶矩随机序列{Xn(e)}依概率收敛于二阶矩随机变量X(e)，若对于任给ε>0，有记作 设有二阶矩随机序列{Xn}和二阶矩随机变量X，若有成立，则称{Xn}均方收敛于X，记作称二阶矩随机序列{Xn}依分布收敛于二阶矩随机变量X，若{Xn}相应的分布函数列{Fn(x)}，在X的分布函数F(x)的每一个连续点处，有记作a.em.sPd不收敛 定理6.3设{Xn},{Yn},{Zn}都是二阶矩随机序列，U为二阶矩随机变量，{Cn}为常数序列，a,b,c为常数，令l.i.mXn=X，l.i.mYn=Y，l.i.mZn=Z， 则有1. 2. 3. 4. 5. 6. 定理6.2设{Xn}为二阶矩随机序列，则{Xn}均方收敛的充要条件为下列极限存在：定义6.6设有二阶矩过程{X(t),t∈T}，若对每一个t∈T，有则称X(t)在t点均方连续，记作若T中一切点都均方连续，则称X{t}在T上均方连续。
定理6.5二阶矩过程{X(t)，t∈T}在t点均方连续的充要条件为相关函数RX(t1,t2)在点(t,t)处连续 均方导数定义6.7设{X(t),t∈T}为二阶矩过程，若存在另一个随机过程X’(t)，满足则称X(t)在t点均方可微，记作定理6.6二阶矩过程{X(t),t∈T}在t点均方可微的充要条件微相关函数RX(t1,t2)在点(t,t)的广义二阶导数存在二阶矩过程的相关函数RX(t1,t2)的广义二阶矩导数记作 均方积分定义6.8设{X(t),t∈T}为二阶矩过程，f(t)为普通函数，其中T=[a,b]，如果当Δn→0时，Sn均方收敛于S，即则称f(t)X(t)在区间[a,b]上均方可积，记作定理6.7f(t)X(t)在区间[a,b]上均方可积的充要条件为存在二阶矩过程X(t)在区间[a,b]上均方可积的充要条件为RX(t1,t2)在[a,b]×[a,b]上可积 定理6.8设f(t)X(t)在区间[a,b]上均方可积，则有1. 2. 定理6.9设{X(t),t∈T}为二阶矩过程在区间[a,b]上均方连续，则在均方意义下存在，且随机过程{Y(t), t∈T}在区间[a,b]上均方可微，且有Y’(t)=X(t)。
时间平均和集合平均概念集合平均mX是随机过程的均值，即任意时刻的过程取值的统计平均时间平均
