_学年高中数学第章立体几何初步__柱锥台的体积学案北师大版必修.docx

7．2　柱、锥、台的体积柱体、锥体、台体的体积公式(1)棱柱和圆柱的体积公式V柱体＝Sh(S为柱体的底面积，h为柱体的高)．(2)棱锥和圆锥的体积公式V锥体＝Sh(S为锥体的底面积，h为锥体的高)．(3)棱台和圆台的体积公式V台体＝(S上＋S下＋)h (S上，S下分别为台体的上、下底面积，h为台体的高)．1．对于三棱锥在求体积时，底面固定吗？怎样确定哪个面为底面？[答案]　不固定，三棱锥的任何一个面都可以作为它的底面，关键是哪个底面的面积和相应的高容易求出，就选哪个面为底面．2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)锥体的体积等于底面积与高之积．(　　)(2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．(　　)[答案]　(1)×　(2)√题型一棱柱、棱锥、棱台的体积【典例1】　(1)如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为(　　)A. B.C. D.(2) 棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则该棱台的体积是(　　)A．18＋6 B．6＋2C．24 D．18[思路导引]　(1)三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积，分别求A到平面B1BC1的距离及三角形B1BC1的面积，然后代入体积公式．(2)直接代入棱台的体积公式即可．[解析]　(1)三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积，三棱锥A－B1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝.(2)V＝(S＋＋S′)h＝×(2＋＋4)×3＝6＋2.故选B.[答案]　(1)A　(2)B(1)常见的求几何体体积的方法①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．(2)求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．[针对训练1]　(1)如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．(2)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积．[解]　(1)设AB＝a，AD＝b，AA′＝c，∴VC－A′D′D＝CD·S△A′D′D＝a·bc＝abc，∴剩余部分的体积为VABCD－A′B′C′D′－VC－A′D′D＝abc－abc＝abc，∴棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.(2)如图，在三棱台ABC－A′B′C′中，取上、下底面的中心分别为O′，O，BC，B′C′的中点分别为D，D′，则DD′是梯形BCC′B′的高．所以S侧＝3××(20＋30)×DD′＝75DD′.又因为A′B′＝20 cm，AB＝30 cm，则上、下底面面积之和为S上＋S下＝×(202＋302)＝325(cm2)．由S侧＝S上＋S下，得75DD′＝325，所以DD′＝(cm)，O′D′＝×20＝(cm)，OD＝×30＝5(cm)，所以棱台的高h＝O′O＝＝＝4(cm)．由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V＝(S上＋S下＋)＝×＝1900(cm3)．题型二圆柱、圆锥、圆台的体积【典例2】　(1)一个圆锥的轴截面(过圆锥顶点和底面直径的截面)是面积为的等边三角形，则该圆锥的体积为(　　)A．3π B.π C. D.π(2)已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是________．[思路导引]　(1)通过题设条件分别求出圆锥的底面半径及高，进而求体积．(2)通过题设条件分别求出圆台的高是本题的关键．[解析]　(1)设圆锥底面圆的半径为r，则圆锥的高为r.由题意，得×(2r)2＝，得r＝1，所以该圆锥的体积V＝π×12×＝π.(2)设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h，则S上＝πr2＝π，S下＝πR2＝4π，∴r＝1，R＝2，S侧＝π(r＋R)l＝6π，∴l＝2，∴h＝，∴V＝π(12＋22＋1×2)×＝π.[答案]　(1)B　(2)π棱(圆)柱、棱(圆)锥和棱(圆)台的体积或表面积计算，首先明确它们的底面、斜高(母线)和高等，而这些量往往需要根据问题的条件，从侧棱(母线)、斜高、底面边长(半径)、高等基本量的关系中获得．[针对训练2]　如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都相等，这时圆柱、圆锥的体积之比为________．[解析]　设圆柱和圆锥的底面半径为R，则V柱＝πR2·2R＝2πR3，V锥＝πR2·2R＝πR3，故V柱∶V锥＝2πR3∶πR3＝3∶1.[答案]　3∶1题型三与三视图有关的表面积和体积【典例3】　某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3. [思路导引]　先由三视图还原作出直观图，再代入公式计算，注意锥体与柱体两者的体积公式的区别．[解析]　由三视图可得该几何体是由一个长、宽、高分别为4、4、2的长方体和一个棱长为2的正方体组合而成的，故表面积为S＝4×4×2＋4×2×4＋2×2×4＝80(cm2)，体积为V＝4×4×2＋2×2×2＝40(cm3)．[答案]　80　40解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据．[针对训练3]　某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)A．180 B．200 C．220 D．240[解析]　几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，腰为5的等腰梯形，故两个底面面积的和为×(2＋8)×4×2＝40，四个侧面面积的和为(2＋8＋5×2)×10＝200，所以直四棱柱的表面积为S＝40＋200＝240.[答案]　D1．若长方体的长、宽、高分别为3 cm、4 cm、5 cm，则长方体的体积为(　　)A．27 cm3 B．60 cm3C．64 cm3 D．125 cm3[解析]　V＝3×4×5＝60 cm3，选B.[答案]　B2．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为(　　)A．3 B．4 C．5 D．6[解析]　由题意，V＝(π＋2π＋4π)·h＝7π，所以h＝3.选A.[答案]　A3．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于(　　)A．π B．2π C．4π D．8π[解析]　设圆柱母线长为l，底面半径为r，由题意得解得∴V圆柱＝πr2l＝2π.[答案]　B4．已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为(　　)A．6 B．12 C．24 D．48[解析]　正四棱锥的斜高h′＝＝4，S侧＝4××6×4＝48.[答案]　D空间几何体体积计算常用方法与技巧空间几何体的体积公式在实际生活中有着广泛的应用，但在具体求解过程中，仅仅记住公式是远远不够的，还要把握图形的内在因素，掌握一些常见的求解策略，灵活选择恰当的方法进行求解．1．分割补形求解当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用时，可以采用“分割”或“补形”的方法，化复杂的几何体为简单的几何体(柱、锥、台、球)，利用各简单几何体的体积和或差求解．【示例1】　如图所示，在三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1－ABC、三棱锥B－A1B1C、三棱锥C－A1B1C1的体积之比．[思路分析]　如图，三棱锥B－A1B1C可以看作棱台减去三棱锥A1－ABC和三棱锥C－A1B1C1后剩余的几何体，然后相比即可．[解]　[题后反思]　三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可由锥体的体积求柱体和台体的体积．在立体几何中，通过分割或补形，将原几何体割成或补成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积，这是求体积的重要思路与方法．[针对训练1]　如图所示，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF＝2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′－EFQ的体积(　　)A．与点E，F的位置有关B．与点Q的位置有关C．与点E，F，Q的位置都有关D．与点E，F，Q的位置均无关，是定值[解析]　因为点Q到平面A′EF的距离为正方体的棱长4，A′到EF的距离为正方体的棱长4，所以VA′－QEF＝VQ－A′EF＝××2×4×4＝，是定值，因此与点E，F，Q的位置均无关．[答案]　D2．等积转换求解对于一个几何体，可以从不同的角度去看待它，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理，求原几何体的体积．【示例2】　如图所示的三棱锥O－ABC为长方体的一角，其中OA，OB，OC两两垂直，三个侧面OAB，OAC，OBC的面积分别为1.5 cm2,1 cm2,3 cm2，求三棱锥O－ABC的体积．[思路分析]　三棱锥O－ABC的底面和高不易求解，可以转换视角，将三棱锥O－ABC看作C为顶点，△OAB为底面．由三棱锥C－OAB的体积得出三棱锥O－ABC的体积．[解]　设OA，OB，OC的长分别为x cm，y cm，z cm，则由已知可得解得于是V三棱锥O－ABC＝V三棱锥C－OAB＝S△OAB·OC＝××1×3×2＝1(cm3)．[题后反思]　利用等积法求几何体的体积时，在保证几何体的体积不变的情况下，可以变换几何体的底面与及相应的高，例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．[针对训练2]　如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，求三棱锥D1－EDF的体积．[解]　VD1－EDF＝VF－DD1E＝S△D1DE·AB＝××1×1×1＝.课后作业(十五)学业水平合格练(时间20分钟)1．正方体的表面积为96，则正方体的体积为(　　)A．48 B．64 C．16 D．96[解析]　设正方体的棱长为a，则6a2＝96，∴a＝4.∴其体积V＝a3＝43＝64.故选B.[答案]　B2．圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其体积为(　　)A．15π B．30 π C．12π D．36π[解析]　设圆锥的高为h，如图，则h＝＝4.所以其体积V＝Sh＝×π×32×4＝12π.故选C.[答案]　C3.如图，在正方体中，四棱锥S－ABCD的体积占正方体体积的(　　)A. B.C. D．不确定[解析]　由于四棱锥S－ABCD的高与正方体的棱长相等，底面是正方形，根据柱体和锥体的体积公式，得四棱锥S－ABCD的体积占正方体体积的，故选B.[答案]　B4.如图，ABC－A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C－AA′B′B的体积是(　　)A. B.C. D.[解析]　∵VC－A′B′C′＝VABC－A′B′C′＝，∴VC－AA′B′B＝1－＝.[答案]　C5.如图，在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　)A.π B.π　 C.π D．2π[解析]　由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个。