胡不归光程时间最短.doc

费马原理与费马原理与““胡不归胡不归””问题问题费马（Fermat，1601—1665）是法国的数学家，生于法国南部波蒙镇， 以律师为职业，长期任图卢兹议会议员.他自幼谦虚好静，喜欢博览 群书，不仅精于数国语言与文学，而且十分爱好自然科学，其中特 别是数学，著作有《平面及空间位置理论导言》《求最大和最小值 的方法》等.在物理学上，费马在研究了光的反射现象与折射现象后，推广了亚 历山大的海洛（Hero）原理，即在公元 100 年左右海洛证明的：从 A 点发出的光经镜面反射到另一点 B 时，光所走的路径是 AB 两点 间最短的路径.费马在推广海洛的结论时，把光的折射现象也包括进 去，于 1650 年提出了光传播时的最小时间原理，即光从 A 点到达 B 点，光束所走的路径是费时最少的路径.他把光的直进、反射、折射 定律等几何光学定律，概括成一个统一的原理.费马原理现在的表述 是：光线由一点传播到另一点，其间无论受到多少次反射或折射， 光均沿着光程为极值的路径传播.费马原理所提供的寻找光束路径的基本方法，为解决在当时已经流 传千年的“胡不归”问题开辟了蹊径，在今天许多高中学生在学完 了折射定律之后，都渴望知道，耐人寻味的“胡不归”问题它是怎 样被解决的.古老的“胡不归”传说，说的是：从前有一个身在 A 地当学徒的小 伙子，当他得悉在家乡 B 地的年老父亲病危的消息后，便立即向掌 柜告了假借了些钱启程赶路，由于思念心切，他挑选了全是沙砾地 带的直线路径 AB（如图 1 所示），他认为走近路必定最省时，因此， 他放弃了沿驿道 AC 先走一程的想法.当他气喘吁吁地来到父亲跟前 时，老人刚刚咽了气，小伙子不觉失声痛哭.邻舍闻声前来劝慰，有人告诉小伙子，老人在弥留之际，还不断喃喃地叨念“胡不归？胡 不归？……”.并且深为怜惜地问道：“你为什么不向掌柜借用一下 马车，沿驿道先走一程呢？”由上述古老的传说，引起人们的思索，若小伙子要提前抵达家门， 这是否有可能呢？倘若有可能，则又应该选择一条什么样的路线呢？ 这就是曾经风靡千年的“胡不归”问题.费马在解决“胡不归”问题时，把小伙子看作光粒子，光粒子就是 其物理模型，然而，根据光的折射定律建立其数学模型，非常巧妙 地解决了“胡不归”问题.下面，笔者就上述“胡不归”问题，运用光的折射定律作一简单的 解答.我们设想从 A 点发出的一束光（代替小伙子）先与两媒质（驿道跟 沙砾地带）界面 AC（即驿道）成一很小的角度入射到 D 点，此时光 速为 v1，然后折射入第二种媒质（沙砾地带）到达 B 点，此过程中 光速为 v2，假定此光束沿 ADB 路线传播是符合折射定律的路径，过 入射示，根据折射定律有：光束由 A→D、D→B，总共所需时间为：又若此束光从 A 点发出，沿 AB 直线，以速率 v2传播（即小伙子所 走的实际路线），其所需时间为：为了比较 t1与 t2，先过 A 点作 DB 的平行线 AL，再过 D、B 两点作 AL 的垂线，分别交于 D′点和 B′点，如图 3 所示.显然在三角形△ADD′中，∠ADD′=r，∠DD′A=α，由正弦定律可得：由（1）（4）两式可得：再将上式代入（2）式消去 v1，并注意到 DB=D′B′，则：比较（3）（5）两式，因在直角△ABB′中，AB＞AB′，最后可得：t1＜t2上述最后结果表明：小伙子可能找出一条合适的路径，从而提前抵 达家门.。