纳维斯托克斯方程.doc

纳维－斯托克斯方程纳维－斯托克斯方程（Navier-Stokes equations），以克劳德-路易·纳维(Claude-Louis Navier)和乔治·加布里埃尔·斯托克斯命名，是一组描述像液体和空气这样的流体物质的方程这些方程建立了流体的粒子动量的变化率(加速度)和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力(类似于摩擦力)以及引力之间的关系这些粘滞力产生于分子的互相作用，能告诉我们液体有多粘这样，纳维-斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡她们是最有用的一组方程之一，由于它们描述了大量对学术和经济有用的现象的物理过程它们可以用于模拟天气，洋流，管道中的水流，星系中恒星的运动，翼型周边的气流它们也可以用于飞行器和车辆的设计，血液循环的研究，电站的设计，污染效应的分析，等等纳维-斯托克斯方程依赖微分方程来描述流体的运动这些方程，和代数方程不同，不谋求建立所研究的变量（譬如速度和压力）的关系，而是建立这些量的变化率或通量之间的关系用数学术语来讲，这些变化率相应于变量的导数这样，最简朴状况的0粘滞度的抱负流体的纳维-斯托克斯方程表白加速度（速度的导数，或者说变化率）是和内部压力的导数成正比的。

这表达对于给定的物理问题的纳维-斯托克斯方程的解必须用微积分的协助才干获得实用上，只有最简朴的状况才干用这种措施解答，而它们的确切答案是已知的这些状况一般波及稳定态（流场不随时间变化）的非湍流，其中流体的粘滞系数很大或者其速度很小（小的雷诺数）对于更复杂的情形，例如厄尔尼诺这样的全球性气象系统或机翼的升力，纳维-斯托克斯方程的解必须借助计算机这自身是一种科学领域，称为计算流体力学虽然湍流是平常经验中就可以遇到的，但此类问题很难求解一种$1,000,000的大奖由克雷数学学院于5月设立，奖给对于可以协助理解这一现象的数学理论作出实质性进展的任何人目录· 1 基本假设 o 1.1 随体导数o 1.2 守恒定律 § 1.2.1 持续性方程§ 1.2.2 动量守恒· 2 方程组 o 2.1 一般形式 § 2.1.1 方程组的形式§ 2.1.2 闭合问题· 3 特殊形式 o 3.1 牛顿流体o 3.2 宾汉（Bingham）流体o 3.3 幂律流体o 3.4 不可压缩流体· 4 参看· 5 参照文献· 6 外部链接基本假设在解释纳维-斯托克斯方程的细节之前，我们必须一方面对流体的性质作几种假设第一种假设是流体是持续的。

这强调它不涉及形成内部的空隙，例如，溶解的气体的气泡，并且它不涉及雾状粒子的聚合另一种必要的假设是所有波及到的场，所有是可微的，例如压强，速度，密度，温度，等等该方程从质量，动量，和能量的守恒的基本原理导出对此，有时必须考虑一种有限的任意体积，称为控制体积，在其上这些原理很容易应用该有限体积记为，而其表面记为该控制体积可以在空间中固定，也也许随着流体运动这会导致某些特殊的成果，我们将在下节看到随体导数运动流体的属性的变化，譬如大气中的风速的变化，可以有两种不同的措施来测量可以用气象站或者气象气球上的风速仪来测量显然，第一种状况下风速仪测量的速度是所有运动的粒子通过一种固定点的速度，而第二种状况下，仪器在测量它随着流体运动时速度的变化同样的论证对于密度、温度、等等的测量也是成立的因此，当作微分时必须辨别两种状况第一种状况称为空间导数或者欧拉导数第二种状况称为实质或拉格朗日导数例子请参看随体导数条目随体导数定义为算子（operator）：其中是流体的速度方程右边的第一项是一般的欧拉导数（也就是在静止参照系中的导数）而第二项表达由于流体的运动带来的变化这个效应称为移流（advection）L的守恒定律在一种控制体积上的积分形式是：由于Ω是共动的，它随着时间而变化，因此我们不能将时间导数和积分简朴的互换。

由于这个体现式对于所有成立，它可以简化为：对于不是密度的量（因而它不必在空间中积分），给出了对的的共动时间导数守恒定律主条目：守恒定律NS方程可以从守恒定律通过上述变换导出，并且需要用状态定律来闭合在控制体积上，使用上述变换，下列的量视为守恒：· 质量· 能量· 动量· 角动量持续性方程质量的守恒写作：其中是流体的密度在不可压缩流体的状况 不是时间或空间的函数方程简化为：动量守恒动量守恒写作：注意是一种张量，代表张量积我们可以进一步简化，运用持续性方程，这成为：我们可以认出这就是一般的F=ma方程组一般形式方程组的形式纳维-斯托克斯方程的一般形式是：有关动量守恒张量代表施加在一种流体粒子上的表面力（应力张量）除非流体是由象旋涡这样的旋转自由度构成，是一种对称张量一般来讲，我们有如下形式：其中是法向约束，而是切向约束迹 在流体处在平衡态时为0这等价于流体粒子上的法向力的积分为0我们再加上持续性方程：对于处在平衡的液体，的迹是3p其中p是压强最后，我们得到：其中是的非对角线部分闭合问题这些方程是不完整的要对它们进行完备化，必须对的形式作某些假设例如在抱负流体的状况分量为0用于完备方程组的方程是状态方程。

再如，压强可以重要是密度和温度的函数规定解的变量是速度的各个分量，流体密度，静压力，和温度流场假定为可微并持续，使得这些平衡得以用偏微分方程体现这些方程可以转化为涡度和流函数这些次变量的威尔金森方程组解依赖于流体的性质（例如粘滞度、比热、和热导率），并且依赖于所研究的区域的边界条件的分量是流体的一种无穷小元上面的约束它们代表垂直和剪切约束是对称的，除非存在非零的自旋密度所谓非牛顿流体是就是其中该张量没有特殊性质使得方程的特殊解浮现的流体特殊形式这些是问题的特定的常用简化，有时解是已知的牛顿流体主条目：牛顿流体在牛顿流体中，如下假设成立:其中是液体的粘滞度其中为简化书写，对脚标使用了爱因斯坦求和商定不采用简化书写的完整形式非常繁琐，分别为：动量守恒：质量守恒：由于密度是一种未知数，我们需要另一种方程能量守恒：其中：假设一种抱负气体：上面是一种６个方程６个未知数的系统u， v， w， T， e 以及　）宾汉（Bingham）流体主条目：宾汉流体在宾汉流体中，我们有稍微不同的假设：那些流体在开始流动之前可以承受一定的剪切牙膏是一种例子幂律流体主条目：幂律流体这是一种抱负化的流体，其剪切应力，，由下式给出不可压缩流体主条目：不可压缩流体其纳维－斯托克斯方程(Navier-Stoke equation)为动量守恒和质量守恒。

其中，对不可压缩牛顿流体来说，只有对流项(convective terms)为非线性形式对流加速度(convective acceleration)来自于流体流动随空间之变化所产生的速度变化，例如：当流体通过一种渐缩喷嘴(convergent nozzle)时，流体产生加速之状况由于此项的存在，对于暂态运动中的流体来说，其流场速度变化不再单是时间的函数，亦与空间有关此外一种重要的观测重点，在于黏滞力(viscosity)在流场中的以流体速度作拉普拉斯运算来体现这暗示了在牛顿流体中，黏滞力为动量扩散(diffusion of momentum)，与热扩散方程非常类似是散度，是克罗内克记号若在整个流体上均匀，动量方程简化为（若 这个方程称为欧拉方程；那里的重点是可压缩流和冲击波）如果目前再有为常数，我们得到如下系统：持续性方程（假设不可压缩性）：N-S方程的简化版本采用《不可压缩流》，Ronald Panton所著第二版注意纳维－斯托克斯方程仅可近似描述液体流，并且在非常小的尺度或极端条件下，由离散的分子和其她物质（例如悬浮粒子和溶解的气体）的混合体构成的真实流体，会产生和纳维－斯托克斯方程所描述的持续并且齐性的液体不同的成果。

依赖于问题的纳森数，记录力学也许是一种更合适的措施但是，纳维－斯托克斯方程对于很大范畴的实际问题是有效的，只要记住她们的缺陷是天生的就可以了参看· 雷诺数· 马赫数· 雷诺平均纳维－斯托克斯方程参照文献· Inge L. Rhyming Dynamique des fluides, 1991 PPUR.· Polyanin A.D., Kutepov A.M., Vyazmin A.V., Kazenin D.A., Hydrodynamics, Mass and Heat Transfer in Chemical Engineering, Taylor & Francis, London, . ISBN 0-415-27237-8.外部链接· 克雷数学研究院纳维-斯托克斯方程大奖 o 该问题的正式命题· 纳维-斯托克斯方程的一种推导· 纳维-斯托克斯方程的推导· NASA有关纳维-斯托克斯方程的网页· 纳维-斯托克斯方程（某些精确解），位于EqWorld:数学方程的世界查 · 论 · 编持续介质力学基本定律质量守恒、动量守恒、能量守恒、熵不等式固体力学固体、胡克定律、杨氏模量、弹性、体积模量、泊松比、形变、剪切模量、应力、塑性、有限应变理论、无限小应变理论、粘弹性、流变学流体力学流体、流体静力学、黏度、表面张力、流体动力学、牛顿流体、非牛顿流体科学史牛顿、斯托克斯、纳维、柯西、胡克、伯努利。