山西省部分学校2024-2025学年高三8月开学联考 数学试卷（含解析）.docx

数学试卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D.2.样本数据26，34，24，20，30，40，22，24，50的中位数和极差分别为（ ）A.30，24 B.26，30 C.24，30 D.26，243.已知复数z在复平面内所对应的点为，则（ ）A. B. C. D.4.已知函数的图像关于直线对称，则（ ）A. B. C. D.5.已知抛物线的焦点为F，为C上一点，则（ ）A. B.5 C.6 D.6.已知函数是奇函数，则（ ）A. B.0 C.1 D.7.已知递增等比数列的公比为q，且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.8.已知在三棱锥中，除PC外其他各棱长均为2，且二面角的大小为.若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.已知双曲线，则C的（ ）A.焦点在y轴上 B.焦距为3C.离心率为 D.渐近线为10.小明上学有时乘公交车，有时骑自行车，他各记录了100次乘公交车和骑自行车上学所用的时间，经数据分析得到：乘公交车平均用时20min，样本标准差为6；骑自行车平均用时24min，样本标准差为2.已知若随机变量，则.假设小明乘公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则（ ）A.B.C.若某天有28min可用小明要想尽可能不迟到应选择骑自行车D.若某天有25min可用，小明要想尽可能不迟到应选择乘公交车11.已知的三边长分别为2，3，，O为内一点，且满足.设，，，则（ ）A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知展开式中x的系数为80，则______.13.已知函数在区间有零点，则a的取值范围是______.14.设，且，记M为，，…，中最大的数，则M的最小值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（13分）已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求的单调区间和极值.16.（15分）如图，直三棱柱的高为6，，，E，F分别为AB，的中点。

G为上一点，且.（1）证明：平面；（2）求直线EG与平面所成角的正切值.17.（15分）某同学进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5，且每次投篮是否命中相互独立.若该同学投篮3次，记其中命中的次数为X.（1）求X的分布列与期望；（2）已知有大小相同的红球和黄球各个，从中随机取3个球，记其中红球的个数为Y，若用的值近似表示，且满足误差的绝对值不超过0.01，求n的最小值.18.（17分）已知椭圆过点，且C的右焦点为.（1）求C的方程；（2）设过点的一条直线与C交于P，Q两点，且与线段AF交于点S.（i）证明：S到直线FP和FQ的距离相等；（ii）若的面积等于的面积，求Q的坐标.19.（17分）“割圆术”是利用圆的外切或内接正多边形逼近圆并由此求圆周率的一种方法.设，圆的外切和内接正边形的周长分别为和，其中.（1）若的半径为1，求的外切正边形的面积；（2）证明：；（3）设，，证明：数学参考答案1.【答案】c【解析】因为，且，故.2.【答案】B【解析】将样本数据按从小到大的顺序排列，第1个数为20，第5个数为26，第9个数为50，故样本数据的中位数为26，极差为.3.【答案】D【解析】，，，故4.【答案】C【解析】根据题意有，当k取1时，.5.【答案】B【解析】将代入C，解得，由抛物线的定义可知.6.【答案】A【解析】，若是奇函数，则，即恒成立，故.7.【答案】B【解析】方法1：设，由，可得，设，则，故在单调递增，在单调递减，在单调递增，当时，应在区间存在零点，因为，故只需，即；当时，应有大于1的零点，因为，且当时，，故对于任意均存在大于1的零点，故的取值范围是.方法2：因，所以.因等比数列递增，所以当时，，即；当时，.所以的取值范围为.设，则，故在单调递减，在单调递增，所以的取值范围是.8.【答案】A【解析】方法1：如图，设，分别为，的中点，连接，，，且，是边长为的等边三角形，则球心必段上，其中，设球的半径为，因为，即.解得，故球的表面积为.方法2：如图，设，分别为，的中点，连接，，，则球心必段上，且.设在直线上的射影为，则为正的重心，且底面.所以，，所以，，故球的表面积为.9.【答案】AC（选对一项给3分）【解析】的标准方程为，故焦点在轴上，，，，故焦距为，离心率为，渐近线为，故A，C正确.10.【答案】BCD（选对一项给2分，选对两项给4分）【解析】根据题意知，，故A错误，B正确；若有28min可用，分别设随机变量，的平均数和方差为，，，.则故，小明要想尽可能不迟到应选择骑自行车，故C正确；若有可用，则，，因为，，故，小明要想尽可能不迟到应选择乘公交车，故D正确.11.【答案】BCD（选对一项给2分，选对两项给4分）【解析】，故A错误；不妨设，，，由余弦定理可知，故，，设，，，则，又因为，故，所以，故B正确；由余弦定理可知，，同理，，故，，故C正确；，故D正确.12.【答案】-2【解析】因为的系数为，故.13.【答案】【解析】方法1：令，当时，，当且仅当时取等，且，所以若在区间有零点，则的取值范围是.方法2：根据条件知，，，，解得，即a的取值范围是.14.【答案】6【解析】，因为，故，所以所以的最小值为6，当，且时成立.15.（13分）【解析】（1）根据题意有， 2分故切线的斜率. 3分又，故切点坐标为. 4分所以曲线在点处的切线方程为. 6分（2）由（1）知，当时，；当时，；当时，.所以的单调递增区间是，；单调递减区间是. 9分当时，取得极大值； 11分当时，取得极小值. 13分16.（15分）【解析】（1）如图，延长，交于点，连接交于点，连接.因为为的中点，且，故为的中点. 1分过作，交于点，因为为的中点，故，，因为，故. 3分又因为，故，故，， 5分因为平面，平面，所以平面. 7分（2）以为坐标原点，直线为轴，直线为轴，直线为轴建立坐标系，则，，，，故，，且记. 10分设平面的法向量为，则不妨取，则. 13分所以， 14分所以直线与平面所成角的正弦值为，正切值为. 15分17.（15分）【解析】（1）根据题意有，其中， 1分， 2分， 3分， 4分的分布列为： 5分方法1：所以 7分方法2：因为，故. 7分（2）根据题意有. 10分由（1）可知，故应满足. 13分解得. 14分故n的最小值为20. 15分18.（17分）【解析】（1）根据題意有， 1分且由椭圆的几何性质可知， 2分所以，. 3分所以的方程为. 4分（2）（i）显然的斜率存在，设的方程为，代入的方程有：，其中. 6分设，，则，， 7分若到直线和的距离相等，则直线平分，且易知轴，故只需满足直线与的斜率之和为0.设，的斜率分别为，，则：， 10分代入，，有，故命题得证. 12分（ii）由（i）知直线平分，即. 13分因为的面积等于的面积，故，即，故. 14分故，，段的垂直平分线上. 15分易知线段的垂直平分线为，与的方程联立有，故的坐标为或. 17分19.（17分）【解析】（1）根据题设可知，故外切多边形每一条边所对的圆心角为. 1分当的半径时，有. 3分所以圆的外切正边形的面积为. 4分（2）方法1：设的半径为，的内接正边形每一条边所对的圆心角为，则由几何关系可知，且，. 6分故， 7分且，得. 8分所以，即. 10分方法2：设的半径为，则，， 6分所以 9分，即. 10分（3）方法1：在（2）的条件下由几何关系可知，故，又，故. 12分由（2）可知，且，故，故.14分由（2）可知， 15分又，故. 16分因为，且由得，故.综上，. 17分方法2：由（2）可知，11分又，故.故.设，则，单调递减，故当时，，此时.所以。