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光纤传输的基本理论光纤传输的基本理论返回主目录光纤结构光纤结构光纤如何导光？光纤如何导光？如何分析光纤传输？如何分析光纤传输？ 几何光学法几何光学法几何光学法几何光学法 麦克斯韦波动方程法麦克斯韦波动方程法麦克斯韦波动方程法麦克斯韦波动方程法 根据全反射原理全反射原理， 存在一个临界角θc • •当θ<θc时，相应的光线将在交界面发生全反射而返回纤芯， 并以折线的形状向前传播，如光线1根据斯斯奈奈尔尔(Snell)定律定律得到 n0sinθ=n1sinθ1=n1cosψ1 (1.1) • •当θ=θc时，相应的光线将以ψc入射到交界面，并沿交界面向前传播(折射角为90°)， 如光线2， • •当θ>θc时，相应的光线将在交界面折射进入包包包包层层层层并逐渐消失，如光线3 由此可见，只有在半锥角为θ≤θθ≤θc的圆锥内入射的光束才能在光纤中传播 Acceptance angle: (接受角接受角)定义临界角θc的正弦为数数数数值值值值孔孔孔孔径径径径(Numerical Aperture, NA)。

根据定义和斯奈尔定律斯奈尔定律斯奈尔定律斯奈尔定律 NA=n0sinθc=n1cosψc ， n1sinψc =n2sin90 °(1.2)n0=1，由式（）经简单计算得到 式中Δ=(n1-n2)/n1为纤芯纤芯纤芯纤芯与包层包层包层包层相对折射率差相对折射率差相对折射率差相对折射率差 NANA表示光纤接收和传输光的能力表示光纤接收和传输光的能力表示光纤接收和传输光的能力表示光纤接收和传输光的能力NANA越大越好，越大越好，越大越好，越大越好，or or 越小越好？越小越好？越小越好？越小越好？NA(或θc)越大，光纤接收光的能力越强，从光源到光纤的耦合效率耦合效率耦合效率耦合效率越高 对于无损耗光纤，在θc内的入射光都能在光纤中传输 NA越大， 纤芯对光能量的束缚越强，光纤抗弯曲性能越好; 但NA越大，经光纤传输后产生的信号畸变越大，因而限制了信息传输容量限制了信息传输容量限制了信息传输容量限制了信息传输容量 所以要根据实际使用场合，选择适当的NA (1.3)我要提问！！！时时时时间间间间延延延延迟迟迟迟 根据图，入射角为θ的光线在长度为L(ox)的光纤中传输，所经历的路程为l(oy)， 在θ不大的条件下，其传播时间即时间延迟时间延迟时间延迟时间延迟为 式中c为真空中的光速。

由式(2.4)得到最最大大入入射射角角(θ=θc)和最小入射角最小入射角(θ=0)的光线之间时间延迟时间延迟时间延迟时间延迟差差近似为 (1.4)(5.5) 这种时间延迟差在时域产生脉冲展宽脉冲展宽脉冲展宽脉冲展宽，或称为信号畸变信号畸变信号畸变信号畸变 由此可见，突变型多模光纤突变型多模光纤突变型多模光纤突变型多模光纤的信号畸变是由于不同入射角的光线经光纤传输后，其时间延迟时间延迟时间延迟时间延迟不同而产生的 式中，n1和n2分别为纤纤芯芯中中心心和包包层层的折射率， r和a分别为径径向向坐坐标标和纤纤芯芯半半径径，Δ=(n1-n2)/n1为相相对对折折射射率率差差，g为折折射射率率分布指数分布指数 g g→∞→∞， (r/a)→0(r/a)→0的极限条件下，式(2.6)表示突突变变型型多多模模光光纤纤的折射率分布 g g=2=2，n(r)按平方律(抛物线)变化，表示常规渐渐变变型型多多模模光光纤纤的折射率分布具有这种分布的光纤，不同入射角的光线会聚在中心轴线的一点上，因而脉冲展宽减小 2. 渐变型多模光纤渐变型多模光纤 渐渐变变型型多多模模光光纤纤具有能减减小小脉脉冲冲展展宽宽、、增增加加带带宽宽的的优优点点。

渐变型光纤折射率分布的普遍公式为n1［1-Δ］=n2  r≥a 0≤r≤an(r)= (2.6) 由于渐渐渐渐变变变变型型型型多多多多模模模模光光光光纤纤纤纤折射率分布是径向坐标r的函数，纤芯各点数值孔径数值孔径数值孔径数值孔径不同.局部数值孔径局部数值孔径NA(r)和最大数值孔径最大数值孔径最大数值孔径最大数值孔径NANAmaxmax 渐变折射率光纤的纤芯可以看作是一组层与层之间有细微渐变折射率光纤的纤芯可以看作是一组层与层之间有细微的折射率变化的薄层的折射率变化的薄层, 其中在中心轴线处的层具有的折射率其中在中心轴线处的层具有的折射率为为n1，在包层边界的折射率为，在包层边界的折射率为n2这也是制造商如何来制造这也是制造商如何来制造光纤的方法光纤的方法 图 1.5 渐变型多模光纤的光线传播原理 射线方程的解射线方程的解射线方程的解射线方程的解  式中，ρ为特定光线的位置矢量， s为从某一固定参考点起的光线长度选用圆柱坐标(r, φ，z)，把渐渐变变型型多多模模光光纤纤的子午面(r - z)示于图。

如式(1.6)所示，一般光纤相相对对折折射射率率差差都很小，光线和中心轴线z的夹角也很小，即sinθ≈θ由于折射率分布具有圆圆圆圆对对对对称称称称性性性性和沿沿沿沿轴轴轴轴线线线线的的的的均均均均匀匀匀匀性性性性，n与φ和z无关在这些条件下， 式(1.7)可简化为(1.8) 射线方程的解射线方程的解射线方程的解射线方程的解 用几几几几何何何何光光光光学学学学方方方方法法法法分析渐渐渐渐变变变变型型型型多多多多模模模模光光光光纤纤纤纤要求解射线方程， 射线方程一般形式为(1.7) 解这个二阶微分方程， 得到光线的轨迹光线的轨迹光线的轨迹光线的轨迹为 r(z)=C1sin(Az)+C2 cos(Az) (1.10) 式中，A= ， C1和C2是待定常数，由边界条件确定 设光线以θ0从特定点(z=0, r=ri)入射到光纤，并在任意点(z, r)以θ*从光纤射出 由方程(1.10)及其微分得到(1.9)C2= r (z=0)=ri C1= (1.11)把式(1.6)和g=2代入式(1.8)得到  由图的入射光得到dr/dz=tanθi≈θi≈θ0/n(r)≈θ0/n(0)， 把这个近似关系代入式 (1.11) 得到 由出射光线得到dr/dz=tanθ≈θ≈θ*/n(r)，由这个近似关系和对式(2.10)微分得到 θ*=-An(r)risin(Az)+θ0 cos(Az) (1.12b) 取n(r)≈n(0)，由式(2.12)得到光线轨迹光线轨迹的普遍公式为把C1和C2代入式(1.10)得到 r(z)=ricos(Az)+ (1.12a) r θ* =cos(Az) -An(0) sin(Az) cos(Az) r1 这个公式是自聚焦透镜自聚焦透镜自聚焦透镜自聚焦透镜的理论依据。

1.13) 由此可见，渐渐渐渐变变变变型型型型多多多多模模模模光光光光纤纤纤纤的光线轨迹是传输距离z的正弦函数，对于确定的光纤，其幅度的大小取决于入射角θ0， 其周期Λ=2π/A=2πa/ ， 取决于光纤的结构参数(a, Δ)， 而与入射角θ0无关  自自自自聚聚聚聚焦焦焦焦效效效效应应应应 为观察方便，把光线入射点移到中心轴线(z=0, ri=0)，由式(1.12)和式(1.13)得到(1.14a) θ*=θ0cos(Az) (1.14b) 这说明不同入射角相应的光线， 虽然经历的路程不同，但是最终都会聚在P点上，见图和图1.2(b)， 这种现象称为自自自自聚焦聚焦聚焦聚焦(Self-Focusing)(Self-Focusing)效应效应效应效应  渐渐渐渐变变变变型型型型多多多多模模模模光光光光纤纤纤纤具有自自自自聚聚聚聚焦焦焦焦效效效效应应应应，不仅不同入射角相应的光线会聚在同一点上，而且这些光线的时间延迟时间延迟也近似相等 1.2.2 光纤传输的波动理论光纤传输的波动理论 波动理论是一种比几何光学方法更为严格的分析方法，其严格性在于： (1)从光波的本质特性─电磁波出发，通过求解电磁波所遵从的麦克斯韦方程，导出电磁场的场分布,具有理论上的严谨性； (2) 未作任何前提近似，因此适用于各种折射率分布的单模和多模光波导。

•Maxwell方程组•求解思路•模式的概念•光纤模场求解•MAXWELL’S EQUATIONS•∇ · B = 0 •∇ · D = ρ•∇×E = −∂B/∂t •∇×H = J +∂D/∂t• From the first line, the normal components of D and B are continuous across a dielectric interface• From the second line, the tangential components of E and H are continuous across a dielectric interface分析思路分析思路麦克斯韦方程组波动方程 （亥姆赫兹方程）特征方程 本征解传输特性分析分离变量分离变量•电矢量与磁矢量分离: 可得到只与电场强度E(x,y,z,t)有关的方程式及只与磁场强度H(x,y,z,t)有关的方程式；•时、空坐标分离: 亥姆霍兹方程，是关于E(x,y,z)和H(x,y,z)的方程式；•空间坐标纵、横分离：波导场方程，是关于E(x,y)和H(x,y)的方程式；•边界条件：在两种介质交界面上电磁场矢量的E(x,y)和H(x,y)切向分量要连续。

麦克斯韦方程组波动方程 ？•电矢量与磁矢量分离: 可得到只与电场强度E(x,y,z,t)有关的方程式及只与磁场强度H(x,y,z,t)有关的方程式；时、空坐标分离：亥姆霍兹方程，是关于E(x,y,z)和H(x,y,z)的方程式•单色波：矢量的Helmholtz方程空间坐标纵、横分离：得到关于E(x,y)和H(x,y)的方程式；用纵向场表示横向场 波动光学方法的最基本方程它是一个典型的本征方程当给定波导的边界条件时，求解波导场方程可得本征解及相应的本征值通常将本征解定义为“模式”模式的概念从而光场可表示为分离的形式：式中 为相移常数，也称为传播常数； 和 都是复矢量，有幅度、相位和方向，表示了 和 沿光纤横截面的分布，称为模式场特征解—模式 根据偏微分方程理论，对于给定的边界条件，简化的麦克斯韦方程组有无穷多个离散的特征解，并可进行排序每一个特征解为： 一个特征解为一个模式，光纤中总的光场分布则是这些模式的线性组合：一系列模式可以看成是一个光波导的场分布的空间谱模式的基本特性稳定性：一个模式沿纵向传输时，其场分布形式不变，即沿z方向有稳定的分布。

有序性：模式是波动方程的一系列特征解，是离散的、可以排序的排序方法有两种：一种是以传播常数 的大小排序， 越大，序号越小；另一种是以两个自变量 排序，所以有两列序号叠加性：光波导中总的场分布是这些模式的线性叠加正交性：一个正规光波导的不同模式之间满足正交关系模式的基本特征模式的基本特征•每一个模式对应于沿光波导轴向传播的一种电磁波；•每一个模式对应于某一本征值并满足全部边界条件；•模式具有确定的相速群速和横场分布•模式是波导结构的固有电磁共振属性的模式是波导结构的固有电磁共振属性的表征给定的波导中能够存在的模式及其性质是已确定了的，外界激励源只能激励起光波导中允许存在的模式而不会改变模式的固有性质•数学表达式：•物理意义：–光波导中所有模式（导模、漏摸、辐射摸）相互正交，模式独立载运光能量，光波场总功率等于各个模式携带功率的迭加；–光波导实际场分布可以表示为各个模式本征函数的迭加模式正交归一性模式正交归一性模式命名模式命名•根据场的纵向分量Ez和Hz的存在与否，可将模式命名为：• (1)横电磁模(TEM)： Ez＝0，Hz＝0；• (2)横电模(TE)： Ez＝0，Hz≠0；• (3)横磁模(TM)： Ez≠0，Hz＝0；• (4)混杂模(HE或EH)：Ez≠0，Hz≠0。

阶跃折射率光纤中的场解阶跃折射率光纤中的场解•数学模型•圆柱坐标系中的波导场方程•边界条件•本征解与本征值方程•本征值与模式分析数学模型数学模型•数学模型：阶跃折射率分布光纤是一种理想的数学模型，即认为光纤是一种无限大直圆柱系统，芯区半径a，折射率为n1；包层沿径向无限延伸，折射率为n2光纤材料为线性、无损、各向同性的电介质图 2.6 光纤中的圆柱坐标  六个场分量：Er，Eφ，Ez，Hr，Hφ，Hz 但并不是相互独立的，横向分量由两个纵向分量唯一确定 式中，E和H分别为电电电电场场场场和磁磁磁磁场场场场在直角坐标中的任一分量， c为光速选用圆柱坐标(r，φ，z)，使z轴与光纤中心轴线一致， 如图所示 将式(2.18)在圆柱坐标中展开，得到电场的z分量Ez 的波波波波动方程动方程动方程动方程为(2.18a)(2.18b)(2.19)1. 波动方程和电磁场表达式波动方程和电磁场表达式 设光纤没有损损耗耗，折折射射率率n变化很小，在光纤中传播的是角频率为ω的单单色色光光，电磁场与时间t的关系为exp(jωt)，则标标标标量量量量波动波动波动波动方程(Helmholtz方程)为  磁场分量磁场分量磁场分量磁场分量Hz的方程和式(2.19)完全相同，不再列出。

解方程(2.19)，求出Ez 和Hz，再通过麦麦麦麦克克克克斯斯斯斯韦韦韦韦方方方方程程程程组组组组求出其他电磁场分量，就得到任意位置的电场电场电场电场和磁场磁场磁场磁场  变变量量分分离离法法： 把Ez(r, φ, z)分解为Ez(r)、Ez(φ)和Ez(z)从物理概念出发，可直接写出Ez(φ)和Ez(z)的形式设光沿光纤轴向(z轴)传输，其传输常数为β，则Ez(z)应为exp(-jβz) 由于光纤的圆圆圆圆对对对对称称称称性性性性，Ez(φ)应为方方方方位位位位角角角角φ φ的周期函数， 设为exp( jvφ)，v为整数 现在Ez(r)为未知函数，利用这些表达式， 电场z分量可以写成 Ez(r,φ, z)=Ez(r)ej(vφ-βz) (2.20) 把式(2.20)代入式(2.19)得到 式中，k=2π/λ=2πf /c=ω/c，λ和f为光的波长和频率 这样就把分析光纤中的 电电电电 磁磁磁磁 场场场场 分分分分 布布布布，归结为求解 贝贝贝贝 塞塞塞塞 尔尔尔尔( (Bessel)Bessel)方方方方程程程程(2.21)。

贝贝贝贝塞塞塞塞尔尔尔尔(Bessel)(Bessel)方方方方程程程程有有有有不不不不同同同同的的的的解解解解，，，，取什么解要根据物理意义来确定取什么解要根据物理意义来确定取什么解要根据物理意义来确定取什么解要根据物理意义来确定 设 纤 芯 (0≤r≤a)折 射 率 n(r)=n1， 包 层 (r≥a)折 射 率n(r)=n2，实际上突变型多模光纤突变型多模光纤突变型多模光纤突变型多模光纤和常规单模光纤单模光纤单模光纤单模光纤都满足这个条件 为求解方程(2.21)，引入无量纲参数u u, w w和V V (2.21) 因为光光光光能能能能量量量量要要要要在在在在纤纤纤纤芯芯芯芯(0≤r≤a)(0≤r≤a)中中中中传传传传输输输输，，，， 在在在在r=0r=0处处处处，，，，电电电电磁磁磁磁场场场场应应应应为为为为有有有有限限限限实实实实数数数数；在在在在包包包包层层层层(r≥a)(r≥a)，，，，光光光光能能能能量量量量沿沿沿沿径径径径向向向向r r迅迅迅迅速速速速衰衰衰衰减减减减，，，，当当当当r→∞r→∞时时时时，，，， 电磁场应消逝为零电磁场应消逝为零电磁场应消逝为零电磁场应消逝为零。

根据这些特点，式(2.23a)的解应取v阶贝贝贝贝塞塞塞塞尔尔尔尔函函函函数数数数Jv(ur/a)，而式(2.23b)的解则应取v阶修正的贝塞尔函数贝塞尔函数贝塞尔函数贝塞尔函数Kv(wr/a) u2=a2(n21k2 -β2) (0≤r≤a) w2=a2(β2-n22k2) (r≥a) V2=u2+w2=a2k2(n21-n22) 利用这些参数， 把式(2.21)分解为两个贝塞尔微分方程贝塞尔微分方程贝塞尔微分方程贝塞尔微分方程： (2.22)(0≤r≤a) (r≥a) (2.23a)(2.23b)图2.7 （a)贝赛尔函数；（b)修正的贝赛尔函数Jv(u)0432102 4 6 8 10 uv=1v=0v=2(a)(b)v=11 2 3 4 5 wkv(w)因此，在纤纤纤纤芯芯芯芯和包包包包层层层层的电电电电场场场场Ez(r, φ, z)和磁磁磁磁场场场场Hz(r, φ, z)表达式为 Ez1(r, φ, z) (0

Jv(u)和Kv(w)如图所示，Jv(u)类似振幅衰减的正弦曲线，Kv(w)类似衰减的指数曲线 式(2.24)表明，光纤传输模式的电磁场分布和性质取决于特征参数u u、w w和β β的值 u和w决定纤芯和包层横向(r)电磁场的分布，称为横横横横向向向向传传传传输输输输常常常常数数数数；β决定纵向(z)电磁场分布和传输性质，所以称为( (纵纵纵纵向向向向) )传传传传输输输输常数常数常数常数圆柱坐标系下纵向分量与横向分圆柱坐标系下纵向分量与横向分量的关系量的关系 2. 特征方程和传输模式特征方程和传输模式 由式(2.24)确定光纤传输模式的电磁场分布和传输性质， 必须求得u u, w w和β β的值 由式(2.22)看到，在光纤基本参数n1、n2、a和k已知的条件下， u u和w w只和β β有关利用边界条件，导出β满足的特征方程， 就可以求得β β和u u、w w的值  由式(2.24)确定电电电电磁磁磁磁场场场场的纵纵纵纵向向向向分分分分量量量量Ez和Hz后，就可以通过麦克斯韦方程组导出电磁场横向分量电磁场横向分量电磁场横向分量电磁场横向分量Er、Hr和Eφ、Hφ的表达式。

因为电电电电磁磁磁磁场场场场强强强强度度度度的切向分量在纤纤纤纤芯芯芯芯包包包包层层层层交界面连续，在r=a处应该有 Ez1=Ez2 Hz1=Hz2 Eφ1=Eφ2 Hφ1=Hφ2 (2.25) 由式(2.24)可知，Ez和Hz已自动满足边界条件边界条件边界条件边界条件的要求 由Eφ和Hφ的边界条件边界条件边界条件边界条件导出β满足的特征方程特征方程特征方程特征方程为 这是一个超越方程，由这个方程和式(2.22)定义的特征参数V联立，就可求得β值 但数值计算十分复杂，其结果示于图 图中纵坐标的传输常数β取值范围为  n2k≤β≤n1k (2.27)(2.26) 横坐标的V V称为归一化频率归一化频率归一化频率归一化频率， 根据式(2.22) (2.29) 图中每一条曲线表示一个传传传传输输输输模模模模式式式式的β随V的变化， 所以方程(2.26)又称为色散方程色散方程色散方程色散方程。

图 2.8 若干低阶模式归一化传输常数随归一化频率变化的曲线 01234560b1n1n2b / kHE11TE01HE31TM01HE21EH11EH12HE41EH21TM02TE02HE22V对于每个确定的v值，可以从特征方程(2.26)求出一系列β值，每个β值对应一定的模式，具有特定的电磁场电磁场电磁场电磁场分布 当v=0时，电电电电磁磁磁磁场场场场可分为两类一类只有Ez、Er和Hφ分量，Hz=Hr=0，Eφ=0， 这类在传输方向无磁场的模式称为横横横横磁磁磁磁模模模模(波)，记为TM0μ 另一类只有Hz、Hr和Eφ分量，Ez=Er=0，Hφ=0，这类在传输方向无电场的模式称为横电模横电模横电模横电模(波)，记为TE0μ 当v≠0时，电磁场六个分量都存在，这些模式称为混混混混合合合合模模模模( (波波波波) ) 混合模也有两类， 一类Ez

第二个下标μ是贝塞尔函数的根按从小到大排列的序数， 称为径向模数径向模数径向模数径向模数 波动方程和特征方程的精确求解都非常繁杂，一般要进行简化 大多数通信光纤的纤芯与包层相对折射率差Δ都很小(例如Δ<0.01)，因此有n1≈n2≈n和β=nk的近似条件这种光纤称为弱导光纤弱导光纤弱导光纤弱导光纤，对于弱导光纤β满足的本征方程可以简化为（2.30） 由此得到的混合模HEv+1μ和EHv-1μ(例如HE31和EH11)传输常数β相近，电磁场电磁场电磁场电磁场可以线性叠加 用直角坐标代替圆柱坐标，使电磁场由六个分量简化为四个分量，得到Ey、 Hx、 Ez、 Hz或与之正交的Ex、Hy、Ez、Hz这些模式称为线性偏振线性偏振线性偏振线性偏振(Linearly Polarized)(Linearly Polarized)模模模模，并记为LPvμ LP0μ即HE1μ，LP1μ由HE2μ和TE0μ、TM0μ组成，包含4重简并， LPvμ(v>1)由HEv+1μ和EHv-1μ组成，包含4重简并 LP01 HE11LP11 HE21 TM01 TE01 LP02 HE12LP12 HE22 TM02 TE02LP03 HE13LP13 HE23 TM03 TE030~2.4052.405~3.8323.832~5.5205.520~7.0167.016~8.6548.654~10.173低阶模式低阶模式V值范围值范围表表2.2 低阶（低阶（v=0和和v=1）模式和相应的）模式和相应的V值范围值范围图 2.9 四个低阶模式的电磁场矢量结构图  3. 模式数量模式数量•V值How can we calculate the number of modes?For a large number (>20), the following formula for a step-index fiber can be applied: •For a graded-index fiber the formula is : Calculate the number of modes for a graded-index optical fiber if its core diameter d=62.5um, its numerical aperture NA=0.275, and its operating wavelength=1300nm 4.单模条件和截止波长单模条件和截止波长单模条件和截止波长单模条件和截止波长 传输模式数目随V值的增加而增多。

当V值减小时，不断发生模式截止模式截止模式截止模式截止， 模式数目模式数目模式数目模式数目逐渐减少 特别值得注意的是当时，只有HE11(LP01)一个模式存在，其余模式全部截止 HE11称为基模基模基模基模，由两个偏振态简并而成 由此得到单模传输条件单模传输条件单模传输条件单模传输条件为 V=2.405 或λc= 由式(2.36)可以看到，对于给定的光纤(n1、n2和a确定)，存在一个临临临临界界界界波波波波长长长长λcλc，当λ<λc时，是多模传输，当λ>λc时，是单模传输，这个临界波长λc称为截止波长截止波长截止波长截止波长由此得到(2.36) 5. 光强分布和模场半径光强分布和模场半径光强分布和模场半径光强分布和模场半径 通常单模光纤单模光纤单模光纤单模光纤基模HE11的电磁场分布可近似为高斯分布高斯分布高斯分布高斯分布 式中，A为场的幅度，r为径向坐标，w0为高斯分布1/e点的半宽度，称为模场半径模场半径模场半径模场半径 实际单模光纤单模光纤单模光纤单模光纤的模场半径模场半径模场半径模场半径w0是用测量确定的 Ψ(r)=A exp (2.37)。