信号与线性系统分析--第二章课件.ppt

2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应一一. .微分方程的经典解法微分方程的经典解法n阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程微分方程的微分方程的全解全解由由齐次解齐次解yh(t)和和特解特解yp(t)组成组成 y(t)=yh(t)+yp(t) 齐次解齐次解齐次解由齐次微分方程求得齐次解由齐次微分方程求得 y(n)(t)+an1y(n1)(t)+a0y(t)=0 1 y(n)(t)+an1y(n1)(t)+a0y(t)=0 齐次解是形如齐次解是形如Ce t函数函数的线性组合的线性组合将将Ce t代入上式并整理后可得代入上式并整理后可得 n+an1 n1+a0 =0上式称为微分方程的特征方程，其上式称为微分方程的特征方程，其n个根称为微分方程个根称为微分方程的的特征根特征根yh(t)的函数形式完全由的函数形式完全由n个特征根个特征根 i(i=1,2,n)决定 i可为单根或重根可为单根或重根 i可为实数或复数，微分方程为实常系数时，总是以共可为实数或复数，微分方程为实常系数时，总是以共轭复数的形式出现轭复数的形式出现2若齐次方程的若齐次方程的n个特征根均为实单根，则其齐次解个特征根均为实单根，则其齐次解 e tCcos( t)+Dsin( t) 或或 Ae tcos( t+ ) 单共轭复根单共轭复根 1, 2=j (Cr1tr1+Cr2tr2+C0)e tr重实根重实根 Ce t单实根单实根 齐次解齐次解yh(t)特征根特征根 r重共轭复根重共轭复根3 特解特解特解的函数形式与特解的函数形式与f(t)的形式有关，以及的形式有关，以及f(t)与特征根的与特征根的形式是否相同有关。

形式是否相同有关 Pcos( t)+Qsin( t) 或或 Ae tcos( t+ ) cos t或或sin t Pe t ( i) 或或 e tPrtr+Pr1tr1+P0e t Pmtm+Pm1tm1+P0 ( i 0) 或或 trPmtm+Pm1tm1+P0tm特解特解yp(t)f(t)4 f(t)为常数为常数1时，则特解为时，则特解为b0/a0考察函数考察函数f(t)在在t 0时作用，则全解的定义域时作用，则全解的定义域0， ) 全解由齐次解和特解组成，待定常数由初始条件全解由齐次解和特解组成，待定常数由初始条件y(0)、y(1)(0)、y(n1)(0)确定例：例：微分方程为微分方程为 y(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求： 当当f(t)=2et，t 0；y(0)=2，y(0)=1时的全解时的全解解：特征方程为解：特征方程为 2+5 +6=( +2)( +3)=0特征根为特征根为2、3，微分方程的，微分方程的齐次解齐次解 yh(t)=C1e2t+C2e3t当当f(t)=2et(t 0)时，时，特解特解为为 yp(t)=Pet5将将yp(t)、yp(t)、yp(t)和和f(t)代入微分方程得代入微分方程得 Pet+5(Pet)+6Pet=2et所以所以P=1，则特解为，则特解为yp(t)=Pet=et微分方程的全解微分方程的全解 y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e2t+C2e3t+et其一阶导数为其一阶导数为 y(t)=2C1e2t3C2e3tet令令t=0，并代入初始值，并代入初始值y(0)=2、y(0)=1得得 y(0)=C1+C2+1=2 y(0)=2C13C21=1解得解得C1=3、C2=2，由此得，由此得 y(t)=3e2t2e3t+et t 06线性常系数微分方程求解过程：线性常系数微分方程求解过程：n n阶线性常系数微分方程阶线性常系数微分方程求特征根求特征根得齐次解得齐次解yh(t)得微分方程解得微分方程解得特解得特解yp(t)确定确定yp(t)的形式的形式求待定系数求待定系数P、Q得全解式，根据初始得全解式，根据初始值求待定系数值求待定系数C、D7例：例：微分方程为微分方程为 y(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)。

求：当求：当f(t)=e2t，t 0；y(0)=1，y(0)=0时的全解时的全解解：微分方程的齐次解解：微分方程的齐次解 yh(t)=C1e2t+C2e3t当当f(t)=e2t (t 0) ，其，其特解特解为为 yp(t)=P1te2t+P0e2t将将yp(t)、yp(t)、yp(t)和和f(t)代入微分方程，得代入微分方程，得P1=1则特解为则特解为 yp(t)=te2t+P0e2t微分方程的全解微分方程的全解y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e2t+C2e3t+te2t+P0e2t =(C1+P0)e2t+C2e3t+te2t =C1e2t+C2e3t+te2t8其一阶导数为其一阶导数为 y(t)=2C1e2t3C2e3t+e2t2te2t令令t=0，并代入初始值，并代入初始值y(0)=1、y(0)=0得得 y(0)=C1+C2=1 y(0)=2C13C2+1=0解得解得C1=2、C2=1，由此得，由此得 y(t)=2e2te3t+te2t t 0例例：微微分分方方程程为为 y(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求求：当当f(t)= 10cost，t 0；y(0)=2，y(0)=0时的全解。

时的全解解：微分方程的齐次解解：微分方程的齐次解 yh(t)=C1e2t+C2e3t当当f(t)=10cost (t 0)，其特解形式为，其特解形式为 yp(t)=Pcost+Qsint9将将yp(t)、yp(t)、yp(t)和和f(t)代入微分方程，求得特解代入微分方程，求得特解 yp(t)=cost+sint最后可得全解为最后可得全解为 y(t)=2e2te3t+cost+sint t 0若若f(t)=ejt=cost+jsint，微微分分方方程程解解为为yp(t)，则则根根据据线线性性性质，当性质，当f(t)=cost时，解为时，解为Reyp(t)上例中，可令上例中，可令f(t)=10ejt，得解为，得解为 yp(t)=(1j)ejt=cost+sint+j(sintcost) 求微分方程也就是确定解的形式与全部待定系数求微分方程也就是确定解的形式与全部待定系数 解解的的形形式式根根据据表表21和和表表22确确定定，待待定定系系数数由由初初始始条件求出条件求出10用算子方法求微分方程用算子方法求微分方程11二二. 关于关于0与与0+的初始值的初始值用微分方程表达动态系统时，则用微分方程表达动态系统时，则f(t)为系统输入，为系统输入，y(t)为系统输出。

为系统输出将时间轴分成两段，以将时间轴分成两段，以t=0为界，左段的右端点记为为界，左段的右端点记为0，右段的左端点记为，右段的左端点记为0+解微分方程时，确定解的待定系数需要一组解微分方程时，确定解的待定系数需要一组初始条初始条件件y(j)(0+)(j=0,1,2,n1) y(j)(0)(j=0,1,2,n1)反映了系统的历史情况而与激反映了系统的历史情况而与激励无关，称这些值为励无关，称这些值为初始状态初始状态0与与0+的引入是由于系统输出不连续，引起的引入是由于系统输出不连续，引起y(j)(0+)和和y(j)(0)产生差异表现为系统中出现产生差异表现为系统中出现 (t)函数函数12例：微分方程为例：微分方程为 y(t)+2y(t)+y(t)=f(t)+2f(t)，已知已知y(0)=1，y(0)=1；f(t)= (t)求y(0+)和和y(0+) 解：将输入解：将输入f(t)代入微分方程得代入微分方程得 y(t)+2y(t)+y(t)= (t)+2 (t) (1)由上式可设由上式可设 y(t)=a (t)+r0(t) (2) y(t)=a (t)+b (t)+r1(t) (3) y(t)=a (t)+b (t)+c (t)+r2(t) (4)将将式式(2)、(3)、(4)代代入入式式(1)，由由方方程程左左右右系系数数相相等等可可得得到到a=1，b=2，c=5。

即即 y(t)= (t)+r0(t)13 y(t)= (t)2 (t)+r1(t) y(t)= (t)2 (t)+5 (t)+r2(t)对对y(t)等式两边从等式两边从0到到0+积分积分得得 y(0+)=y(0) 2= 1同理，对同理，对y(t)等式两边从等式两边从0到到0+积分积分得得 y(0+)=y(0)+5=4对比对比y(0)=1，y(0)=114三三三三. . . . 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应 零输入零输入响应响应yzi(t)：激励：激励f(t)=0，仅由初始条件，仅由初始条件y(j)(0+)(j=0,1,2,n1)所引起的响应所引起的响应 零状态零状态响应响应yzs(t)：初始状态：初始状态y(j)(0)=0，仅由输入信号，仅由输入信号f(t)所引起的响应所引起的响应LTI系统的全响应为系统的全响应为 y(t)=yzi(t)+yzs(t) yzi(t)为齐次方程的解，为齐次方程的解，yzs(t)为非齐次方程的解为非齐次方程的解当特征根为单根时，用经典解法求解分别有当特征根为单根时，用经典解法求解分别有 则全响应为则全响应为 15初始状态和初始条件之间关系初始状态和初始条件之间关系:全响应的各阶导数为全响应的各阶导数为 y(j)(t)=yzi(j)(t)+yzs(j)(t) ( j=0,1,2,n1 )分别令分别令t=0和和t=0+代入上式得代入上式得 y(j)(0)=yzi(j)(0)+yzs(j)(0) y(j)(0+)=yzi(j)(0+)+yzs(j)(0+) 对于因果系统：对于因果系统： yzs(j)(0)=0对于连续系统：对于连续系统： yzi(j)(0+)=yzi(j)(0)因此因此 y(j)(0)=yzi(j)(0)=yzi(j)(0+) y(j)(0+)=y(j)(0)+yzs(j)(0+)当输入是在当输入是在t=t0时刻接入，则把式中时刻接入，则把式中0换为换为t0。

16系统的全响应为系统的全响应为强迫响应：由激励信号确定的响应形式当输入信号含有阶跃函数或有始的周期函数时，系当输入信号含有阶跃函数或有始的周期函数时，系统的全响应可分解为统的全响应可分解为瞬态响应瞬态响应和和稳态响应稳态响应 自由响应：由系统本身的特性确定的响应形式17例例：微分方程为：微分方程为 y(t)+3y(t)+2y(t)=2f (t)+6f(t)；初始状态初始状态y(0)=2，y(0)=1；输入函数；输入函数f(t)= (t)求零输入响应和零状态响应求零输入响应和零状态响应解：解：(1) 零输入响应零输入响应yzi(t)零输入响应满足齐次方程零输入响应满足齐次方程 y(t)+3y(t)+2y(t)=0 输入为输入为0，则有，则有yzi(0+)=y(0)=2，yzi(0+)=y(0)=1特征根为特征根为1，2，则零输入响应为，则零输入响应为 yzi(t)=Czi1et+Czi2e2t代入初始值解得代入初始值解得Czi1=5，Czi2=3，所以系统的零输入响，所以系统的零输入响应为应为 yzi(t)=5et3e2t 18(2) 零状态响应零状态响应yzs(t)当当f(t)= (t)时，系统零状态响应满足方程时，系统零状态响应满足方程 yzs(t)+3yzs(t)+2yzs(t)=2 (t)+6 (t) yzs(0)=yzs(0)=0t=0处，处，yzs(t)含有含有 (t)，yzs(t)有跃变，有跃变，yzs(t)应连续。

应连续对方程两边从对方程两边从0到到0+积分得积分得 yzs(0+)yzs(0)+3yzs(0+)yzs(0)=2所以所以 yzs(0+)=0， yzs(0+)=2在在t0的区间，方程应为的区间，方程应为 yzs(t)+3yzs(t)+2yzs(t)=6显然有显然有 yzs(t)=Czs1et+Czs2e2t+3 t 019代入初始值可求得代入初始值可求得Czs1=4，Czs。