平面向量的线性运算(原卷版).doc

→ 1 2→ → →－ 1 n 1 nn 2 3 3 41 21 21 1 2 21 21 2专题一平面向量的线性运算1．向量的线性运算向量运算加法减法数乘(1)|λa|＝|λ||a|， (2)当 λ＞0 时，几何表示首尾相接指向终点起点重合 指向对顶点起点重合 指向被减向量λa 与 a 的方向相同； 当 λ＜0 时， λa 与 a 的方向相反； 当 λ＝0 时，λa＝0坐标表示a＝(x ，y ) 1 1b＝(x ，y ) 2 2a＋b＝(x ＋x ，y ＋y )1 2 1 2a－b＝(x －x ，y －y ) λa＝(λx ，λy )1 2 1 2 1 12．多边形法则一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A A ＋ A A ＋A A ＋…＋A A ＝A A ，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．3．平面向量基本定理定理：如果 e ，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，存在唯一的 一对实数 λ ，λ ，使 a＝λ e ＋λ e ，其中，不共线的向量 e ，e 叫作表示这一平面内所有向量的一组基底， 记为{e ，e }．4．“爪”子定理→ m → n → →形式 1： ABC 中，D 是 BC 上的点，如果|BD |＝m，|DC |＝n，则AD＝ AC＋ AB，其中AD，m＋n m＋n→ → → 1 → →AB，AC知二可求一．特别地，若 D 为线段 BC 的中点，则AD＝ (AC＋AB)．2A ABmmnD nC BλD1－λC形式1形式2→ → → → → → → →形式 2： ABC 中，D 是 BC 上的点，且BD＝λBC，则AD＝λAC＋(1－λ)AB，其中AD，AB，AC知二→ 1 → →可求一．特别地，若 D 为线段 BC 的中点，则AD＝ (AC＋AB)．2→ →形式 1 与形式 2 中AC与AB的系数的记忆可总结为：对面的女孩看过来(歌名，原唱任贤齐)考点一 向量的线性运算→ → → →BC)－AC＝ AB＋ (AC －AB )－ AC＝ AB－ AC．【方法总结】利用平面向量的线性运算把一个向量表示为两个基向量的一般方法→ → →向量AD＝f(AB，AC)的确定方法→ → →(1)在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”子定理完成向量AD用AB，AC的表示．(2)若所给图形比较特殊(正方形、矩形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形等)，则可→ → → → → →通过建系将向量坐标化，从而得到AD＝f(AB，AC)与AD＝g(AB，AC)的方程组，再进行求解．【例题选讲】→ →[例 1](1)(2015·全国Ⅰ)设 D 为△ABC 所在平面内一点，BC＝3CD，则( )→ 1 → 4 → → 1 → 4 →A．AD＝－ AB＋ AC B．AD＝ AB－ AC3 3 3 3→ 4 → 1 → → 4 → 1 →C．AD＝ AB＋ AC D．AD＝ AB－ AC3 3 3 3→ → → → 1 → → 1 → → 4 → 1 → 1 → 4 →答案 A 解析 AD＝AC＋CD＝AC＋ BC＝AC＋ (AC－AB)＝ AC－ AB＝－ AB＋ AC，故选 A．3 3 3 3 3 3→ →(2) (2014·全国Ⅰ)设 D，E，F 分别 ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则EB＋FC＝( )→ 1 → → 1 →A．AD B． AD C．BC D． BC2 2→ → 1 → → 1 → → 1 → → →答案 A 解析 EB＋FC＝ (AB＋CB)＋ (AC＋BC)＝ (AB＋AC)＝AD，故选 A．2 2 2(3) (2018·全国Ⅰ) ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则EB＝( )3 → 1 → 1 → 3 → 3 → 1 → 1 → 3 →A． AB－ AC B． AB－ AC C． AB＋ AC D． AB＋ AC4 4 4 4 4 4 4 4→ 1 → → → → 1 → →答案 A 解析 ∵E 是 AD 的中点，∴EA＝－ AD，∴EB＝EA＋AB＝－ AD＋AB，又知 D 是 BC 的2 2→ 1 → → → 1 → → → 3 → 1 →中点，∴AD＝ (AB＋AC)，因此EB＝－ (AB＋AC)＋AB＝ AB－ AC．2 4 4 4(4)如图，在△ABC 中，点 D 在 BC 边上，且 CD＝2DB，点 E 在 AD 边上，且 AD＝3AE，则用向量AB， AC表示CE为( )2 → 8 → 2 → 8 → 2 → 7 → 2 → 7 →A． AB＋ AC B． AB－ AC C． AB＋ AC D． AB－ AC9 9 9 9 9 9 9 9→ → → 1 → → 1 →答案 B 解析 由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得CE＝AE－AC＝ AD－AC＝ (AB＋3 31 → → 1é→ 1 → → ù → 2 → 8 →3 3ë 3 û 9 9(5)如图所示，下列结论正确的是( )ï æ ö è ø2 2 ï î 2æ ö è ø 4 æ ö è ø 4 1 1 ì æ ö4 4－ a＋b ，∴í1 èø 4 î ï 1 1 1 1 1 → 3 3 → 3 → 3 1 → 3①PQ＝ a＋ b；②PT＝ a－b；③PS＝ a－ b；④PR＝ a＋b．2 2 2 2 2 2A．①②B．③④C．①③D．②④→ 3 3 →答案 C 解析 ①根据向量的加法法则，得PQ＝ a＋ b，故①正确；②根据向量的减法法则，得PT2 23 3 → → → 3 3 3 1 → → → 3 3＝ a－ b，故②错误；③PS＝PQ＋QS＝ a＋ b－2b＝ a－ b，故③正确；④PR＝PQ＋QR＝ a＋ b－b＝ 2 2 2 2 2 2 2 23 1a＋ b，故④错误，故选 C．2 2→ 1 → → 1 → → →(6)如图所示， ABO 中，OC＝ OA，OD＝ OB，AD 与 BC 相交于 M，设OA＝a，OB＝b． 则用 a4 2→和 b 表示向量OM＝___________．答案1 3 OM ＝ a ＋ b7 7解析设 OM ＝ ma ＋ nb ，则 AM ＝ OM － OA ＝ ma ＋ nb － a ＝ (m － 1)a ＋1 1nb． AD ＝ OD － OA ＝ OB － OA ＝－a＋ b．又∵A、M、D 三点共线，∴ AM 与 AD 共线．∴存在实数2 2ìm－1＝－t，1 1t，使得 AM ＝t AD ，即(m－1)a＋nb＝t －a＋ b ．∴(m－1)a＋nb＝－ta＋ tb．∴í tn＝ ，消去 t1 1得，m－1＝－2n，即 m＋2n＝1．①．又∵ CM ＝ OM － OC ＝ma＋nb－ a＝ m－ a＋nb，CB ＝ OB － OC41 1 1 ＝b－ a＝－ a＋b．又∵C、M、B三点共线，∴ CM 与 CB 共线．∴存在实数 t ，使得 CM ＝t CB ，∴ m－4 4a＋nb＝t 3＋ b．71 11 ïm－ ＝－ t1，n＝t .1消去 t1 3 1得，4m＋n＝1，②．由①②得 m＝ ，n＝ ，∴ OM ＝ a7 7 7→ → → 1另解 因为 A，M，D 三点共线，所以OM＝λ OD＋(1－λ )OA＝ λ b＋(1－λ )a，①，因为 C，M，B22 2 2 2 1 2 í î 2 1 1 2 AB＋ BE ＝ a＋ b．由AF＝AD＋DF，令DF＝sDC，又AD＝ (a＋b)，DF＝tAE，则AF＝t(AB＋BE)＝tì 2 2í t 1－sî 1 3 4 1 2 1→ →→ → 1 → → 1 → → 4 → → → → 1 → 4æ 1 öè ø 2 三点共线，所以→ → → 1－λOM ＝ λ OB ＋ (1 － λ ) OC ＝ λ b ＋ ( )a ， ② ，由 ①② 可得4ìλ ＝λ ， 1 21－λ 1－λ ＝ ，4解得ìíî6λ ＝ ，73λ ＝ .7→ 1 3 故OM＝ a＋ b．7 7(7)在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，点 E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线与 CD 交于 → → →点 F，若AC＝a，BD＝b，则AF＝( )1 1 2 1 1 1 1 2A． a＋ b B． a＋ b C． a＋ b D． a＋ b4 2 3 3 2 4 3 3→ 1 → 1 → 1 → 1 → 1 → 1 →答案 B 解析 如图，根据题意，得AB＝ AC＋ DB＝ (a－b)，AD＝ AC＋ BD＝ (a＋b)．令AF＝2 2 2 2 2 2→ → → → æ→ 3 → ö t t → → → → → → 1 → sè 4 ø 2 4 2 2s → s＋1 1－sa－ b，所以AF＝ a＋ b，所以 2 2 2故选 B．t s＋1＝ ，＝ ，4 2ìs＝ ， 解方程组得íît＝ ，3→ 2 1 把 s 代入即可得到AF＝ a＋ b，3 3→ → → → 1→ → 1 1 1 1 另解 如图，AF＝AD＋DF，由题意知，DE∶BE＝1∶3＝DF∶AB，故DF＝ AB，则AF＝ a＋ b＋ (3 2 2 3 2a－ b)＝ a＋ b．2 3 3(8)在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别是 BC，CD 的中点，DE 交 AF 于 H，记AB，BC分别为 a，b， 则AH＝( )2 4 2 4 2 4 2 4A． a－ b B． a＋ b C．－ a＋ b D．－ a－ b5 5 5 5 5 5 5 5→ 1 → 1 →答案 B 解析 如图，过点 F 作 BC 的平行线交 DE 于 G，则 G 是 DE 的中点，且GF＝ EC＝ BC，2 4∴GF＝ AD，易 AHD∽△FHG，从而HF＝ AH，∴AH＝ AF，AF＝AD＋DF＝b＋ a，∴AH＝ b＋ a4 4 5 2 52 4＝ a＋ b，故选 B．5 5。