近世代数课件--5.3 扩域.ppt

§3.代数扩域上一节的结果告诉我们，把域 上一个超越元或一个代数 元添加于 所得到的单扩域的结构完全不同．我们有以下事实：设 是 的一个扩域，并且 含有 上的超越元．那么总存在 的一个子域 ，使得 是由添加 上的超越元于而得到的，而 只含 上的代数元．这一事实的证明已超出本书的范围．这个事实告诉 我们，一个扩域可以分成两部分：一个超越的、一 个代数的部分．我们以下将不再讨论超越的扩域， 而只对代数的扩域作一些进一步的研究．，定义 若域 的一个扩域 的每一个元都是 上的一 个代数元，那么 叫做 的一个代数扩域（扩张）．我们首先提出以下问题：假定 是添加集合 与 域所得的扩域，并且 的元都是 上的代数元，那 么 的元是否都是 上的代数元？为了解答这个问题，我们需要扩域的次数这一个概念．假定 是域 的一个扩域．那么对于 的加法 和到 的乘法来说， 作成 上的一个向量空间 ，或 者有一个维数 ， 是正整数； 或者是一个无限维空间．定义 若是域 的一个扩域 作为 上的向量空间 有维数 ，那么 叫做扩域 在 上的次数，记做 ．这时 叫做域 的一个有限扩域；否则 叫做域 的一个无限扩域． 关于扩域的次数我们有重要的定理１ 令 是域 的有限扩域，而 是 的有限 扩域．那么 也是 的有限扩域，并且证明 设 ， ，而 ， ，… ， 是向量 空间 在域 上的一个基， ， ，…， 是向量空 间 在域 上的一个基．看 的元（ １，２，…， ； １，２，…， ）我们只须证明，这 个元是向量空间 在域 上的 一个基．设那么，由 于对于 来说线形无关，我们得（ １，２，…， ）但 对于 来说线形无关，因而（ １，２，…， ； １，２，…， ）这就是说，以上 的个 的元 对于 来说线形 无关．现在假定 是 的一个任意元．因为 是 上的 的一个基，又由于 是 上的 的一个基，这样，我们有这就证明了， 是向量空间 在域 上的一个基 ．证完．推论１ 令 是域，其中后一个是前一个的有限扩 域．那么以下等式成立：现在我们证明下述几个定理来解答前面提出的问题．定理２ 令 是域 的一个单代数扩域．那么 是 的一个代数扩域．证明 令 在 上的极小多项式的次数是 ．由 Ⅴ，２，定理２， 的每一个元都可以唯一地 表成的形式．这就是说，元１， ，…， 作成 上的向量 空间 的一个基，因此 是 的一个 次有限扩域 ．令 是 的一个任意元．那么１， ， ，…， 这 个元对于 来说相形相关．因此，在 中存在不都等于 零的 个元 ， ，…， ，能使这就是说， 的任意元都是 上的代数元，而 是 的 代数扩域．证完．由定理２的证明可以得到以下两个重要事实．推论２ 令 是 域的一个单代数扩域，而 在 上的极小多项式的次数是 ．那么 是 的一个 次 扩域．推论３ 域 的有限扩域一定是 的代数扩域．定理３ 令 ，其中每一个 都是域 上的代数元．那么 是 的有限扩域，因而是 的代数扩域．证明 我们用归纳法．由定理２，当 的时候，定理成立．假定，当我们只添加 个元 ， ，…， 于时 ，定理成立，也就是说，假定 是的有限扩 域．现在来看 的情形．我们知道，由于 是 上的代数元，所以它也是 上 的代数元．因此 是 的单代数 扩域，而由推论２， 是 的 有限扩域． 由于根据定理１， 是 的有限扩域，于是由 推论３，它是 的代数扩域．证完．推论４ 一个域 上的两个代数元的和、差、积与商 （分母不为零）仍是 上的代数元．定理４ 令 ，这里集合 只包含域 上 的代数元．那么 是 的代数扩域．证明 令 是 的任意元．根据Ⅴ，１，（１） 式，这里 是 中有限个元素，而 和 是 上这些 的多项式．这样 ．于是由定 理３， 是 上的代数元．证完．。