自然数平方和公式推导.doc

我们把S(n)拆成数字排成的直角三角形：12 23 3 34 4 4 4……n n …… n这个三角形第一行数字的和为12，第二行数字和为22，……第n行数字和为n2，因此S(n)可以看作这个三角形里所有数字的和接下来我们注意到三角形列上的数字，左起第一列是1,2,3,……,n，第二列是2,3,4,……n这些列的数字和可以用等差数列的前n项和来算出，但是它们共性不明显，无法加以利用如果求的数字和是1,2,3,……,n，1,2,3,……,n-1这样的，便可以像求1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+……n)一样算出结果，那么该怎样构造出这样的列数字呢注意上面那个直角三角三角形空缺的部分，将它补全成一个正方形的话，是这样的：1 1 1 …… 12 2 2 …… 23 3 3 …… 34 4 4 …… 4……n n n …… n这个正方形所有的数字和为n*(1+n)*n/2=n3/2+n2/2而我们补上的数字是哪些呢？1 1 1 …… 1 (n-1)个的12 2 …… 2 (n-2)个的23 …… 3 (n-3)个的3………n-1又一个直角三角形，我们只需算出这个三角形的数字和T(n)，再用刚才算的正方形数字和减去它，便能得到要求的S(n)，即S(n)=n3/2+n2/2-T(n)。

而这个三角形的每一列数字和很好算，第一列是1，第二列是1+2，第三列是1+2+3，……，最后一列（第n-1列）是1+2+3+……+n-1，根据等差数列前n项和公式，这个三角形第n列的数字和是(1+n)*n/2=n2/2+n/2，所以T(n)相当于(12/2+1/2)+(22/2+2/2)+(32/2+3/2)……+[(n-1)2/2+(n-1)/2]将各个扩号内的第一项和第二项分别相加，得T(n)=[12+22+32+……+(n-1)2]/2+(1+2+3+……+n-1)/2=S(n-1)/2+(n-1)*n/4=S(n-1)/2+n2/4-n/4也就是说，S(n)=n3/2+n2/2-T(n)=n3/2+n2/2-S(n-1)-n2/4+n/4=n3/2+n2/4+n/4-S(n-1)/2 ……①因为S(n)=12+22+32+……+n2，S(n-1)=12+22+32+……+(n-1)2可以看出，S(n)=S(n-1)+n2，即S(n-1)=S(n)-n2，代入①式，得到S(n)=n3/2+n2/4+n/4-S(n)/2+n2/23S(n)/2=n3/2+3n2/4+n/43S(n)=n3+3n2/2+n/2S(n)=n3/3+3n2/6+n/6上面这个式子就是我们熟悉的S(n)=n(n+1)(2n+1)/6另外一种经典的方法设：S=12+22+32+…+n2另设：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步设题是解题的关键，一般人不会这么去设想。

有了此步设题，第一：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的12+22+32+…+n2=S，(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以展开为(n2+2n+12)+( n2+2×2n+22) +( n2+2×3n+32)+…+( n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+ 12+22+32+…+n2，即S1=2S+n3+2n(1+2+3+…+n)………………………………………………..(1)第二：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以写为：S1=12+32+52…+ (2n-1)2+22+42+62…+(2n)2，其中：22+42+62…+(2n)2=22(12+22+32+…+n2)=4S……………………………………..(2)12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1) 2+…+ (2n-1) 2= (22×12-2×2×1+1) +(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+ (22×n2-2×2×n+1)2=22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n=22×(12+22+32+…+n2)-2×2 (1+2+3+…+n)+n=4S-4(1+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..(3)由(2)+ (3)得：S1=8S-4(1+2+3+…+n)+n…………………………………………..(4)由(1)与(4)得：2S+ n3+2n(1+2+3+…+n) =8S-4(1+2+3+…+n)+n即：6S= n3+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n= n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1]= n(2n2+3n+1)= n(n+1)(2n+1)S= n(n+1)(2n+1)/ 6亦即：S=12+22+32+…+n2= n(n+1)(2n+1)/6……………………………………(5)以上可得各自然数平方和公式为n(n+1)(2n+1)/6，其中n为最后一位自然数。

由(5)代入(2)得自然数偶数平方和公式为2n(n+1)(2n+1)/3，其中2n为最后一位自然数由(5)代入(3)得自然数奇数平方和公式为n(2n-1)(2n+1)/3，其中2n-1为最后一位自然数由自然数平方和公式推导自然数立方和公式设S=13+23+33+…+n3……………………………………………………….(1)有S=n3+(n-1)3+(n-2)3+…+13……………………………………………...(2)由(1)+ (2)得：2S=n3+13+(n-1)3+23+(n-2)3+33+…+n3+13=(n+1)(n2-n+1)+(n+1)[(n-1)2-2(n-1)+22)+(n+1)[(n-2)2-3(n-2)+32)+...+(n+1)(12-n(n-n+1)(n-n+1+ n2)即2S=( n+1)[2(12+22+32+…+n2)-n-2(n-1) -3(n-2)-…-n (n-n+1)] ………………...(3)由12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/ 6代入(2)得：2S=(n+1)[2n(n+ 1)(2n+1)/6-n-2n-3n-…nn+2×1+3×2+…+n(n-1)]=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n(1+2+3+…n)+(1+1)×1+(2+1)×2+…+(n-1+1)(n-1)]=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n2 (1+n)/2+12+1+22+2+…+(n-1)2+ (n-1)]=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n2(1+n)/2+12+22+…+(n-1)2+1 +2+…+ (n-1)] ……...(4)由12+22+…+(n-1)2= n(n+1)(2n+1)/6-n 2，1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2代入(4)得：2S=(n+1)[3n(n+1)(2n+1)/6-n2+n(n-1)/2=n2(n+1)2/2即S=13+23+33+…+n3= n2(n+1)2/4结论：自然数的立方和公式为n2(n+1)2/4，其中n为自然数。

自然数偶数立方和公式推导设S=23+43+63+…+(2n)3有S=23(13+23+33+…+n3)=8n2(n+1)2/4=2n2(n+1) 2结论：自然数偶数的立方和公式为2n2(n+1)2，其中2n为最后一位自然偶数自然数奇数立方和公式推导设S=13+23+33+…+(2n) 3由自然数的立方和公式为n2(n+1)2/4，其中n为自然数代入左边有n2(2n+1)2=23+43+63+…+ (2n)3+13+33+53…+ (2n-1)3=2n2(n+1)2+13+33+53…+(2n-1)3移项得：13+33+53…+(2n-1)3 =n2(2n+1)2-2n2(n+1)2=n2(2n2-1)结论：自然数奇数的立方和公式为n2(2n2-1)，其中2n-1为最后一位自然奇数，即n的取值。