2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国卷2试题及答案.pdf

2021 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 考前须知： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2作答时，务必将答案写在答题卡上写在本试卷及草稿纸上无效 3考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：此题共12 小题，每题5 分，共 60 分在每题给出的四个选项中，只有一项为 哪一项符合题目要求的 1 12i 12i A 43 i 55 B 43 i 55 C 34 i 55 D 34 i 55 2集合 22 3Axy xyxyZZ， ，那么 A中元素的个数为 A9 B8 C5 D4 3函数 2 ee xx fx x 的图像大致为 4向量 a，b满足|1a ， 1ab ，那么 (2)aab A4 B3 C2 D0 5双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的离心率为3 ，那么其渐近线方程为 A2yxB3yxC 2 2 yxD 3 2 yx 6在 ABC中， 5 cos 25 C ， 1BC ， 5AC ，那么AB A 4 2 B30C29D 2 5 7为计算 11111 1 23499100 S ，设计了右侧的程序框图， 那么在空白框中应填入 A 1ii B 2ii C 3ii D 4ii 8 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜测的研究中获得了世界领先的成果哥德巴赫猜测是“每 个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和，如 30723在不超过30 的素数中，随 机选取两个不同的数，其和等于30 的概率是 A 1 12 B 1 14 C 1 15 D 1 18 9在长方体 1111ABCDA BC D 中， 1ABBC， 1 3AA，那么异面直线 1AD 与1DB 所成 角的余弦值为 A 1 5 B 5 6 C 5 5 D 2 2 开始 0,0NT SNT S输出 1i 100i 1 NN i 1 1 TT i 结束 是否 10假设 ( )cossinf xxx在, a a 是减函数，那么 a的最大值是 A 4 B 2 C 3 4 D 11 ( )f x 是定义域为 (,)的奇函数，满足(1)(1)fxfx 假设 (1)2f ，那么 (1)(2)(3)(50)ffff A 50B0 C2 D50 12 1F，2F是椭圆 22 22 1(0) xy Cab ab ：的左、 右焦点，A是C的左顶点， 点P在过A且 斜率为 3 6 的直线上， 12PF F为等腰三角形，12120F F P，那么C的离心率为 A 2 3 B 1 2 C 1 3 D 1 4 二、填空题：此题共4 小题，每题5 分，共 20 分 13曲线 2ln(1)yx在点 (0, 0) 处的切线方程为_ 14假设 ,x y满足约束条件 250 230 50 xy xy x ， ， ， 那么 zxy 的最大值为 _ 15 sincos1， cossin0，那么 sin() _ 16圆锥的顶点为 S，母线SA，SB所成角的余弦值为 7 8 ，SA与圆锥底面所成角为45 ，假 设SAB的面积为 5 15，那么该圆锥的侧面积为 _ 三、解答题： 共 70 分。

解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答第 22、23 为选考题，考生根据要求作答学科 *网 一必考题：共60 分 1712分 记 n S 为等差数列 n a的前 n项和， 1 7a， 3 15S 1求 n a的通项公式； 2求 n S ，并求 n S 的最小值 18 12 分 下列图是某地区2000 年至 2021 年环境根底设施投资额 y单位：亿元的折线图 为了预测该地区2021 年的环境根底设施投资额，建立了 y与时间变量t的两个线性回 归模型根据2000 年至 2021 年的数据时间变量t的值依次为 1 217， ， ，建立模型 ： ? 30.413.5yt ； 根据 2021 年至 2021 年的数据时间变量t的值依次为 1 27， ， ， 建立模型：?9917.5yt 1分别利用这两个模型，求该地区2021 年的环境根底设施投资额的预测值； 2你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由 19 12 分 设抛物线 2 4Cyx：的焦点为F， 过F且斜率为 (0)k k的直线l与C交于 A，B两点， |8AB 1求l的方程；学科 &网 2求过点 A，B且与 C的准线相切的圆的方程 20 12 分 如图，在三棱锥PABC中， 2 2ABBC ，4PAPBPCAC，O为AC的中 点 1证明： PO 平面 ABC； 2假设点 M在棱 BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面 PAM所成角的 正弦值 P A O C B M 21 12 分 函数 2 ( )e x f xax 1假设1a，证明：当0 x时， ( )1f x ； 2假设( )f x 在 (0,) 只有一个零点，求 a 二选考题：共 10分请考生在第22、23题中任选一题作答。

假如多做，那么按所做的 第一题计分 22 选修 44：坐标系与参数方程10 分 在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为 2cos 4sin x y ， 为参数，直线l的参数 方程为 1cos 2sin xt yt ， t为参数 1求 C 和l的直角坐标方程； 2假设曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2) ，求l的斜率 23 选修 45：不等式选讲10 分 设函数 ( )5|2|fxxax 1当 1a 时，求不等式( )0f x的解集； 2假设( )1f x，求 a的取值范围 2021 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 一、选择题 1D 2A 3B 4B 5A 6A 7B 8C 9C 10A 11C 12D 二、填空题 132yx149 15 1 2 1640 2 三、解答题 17 解： 1设 n a的公差为d，由题意得 1 3315ad 由 1 7a得 d=2 所以 n a的通项公式为29 n an 2由 1得 22 8(4)16 n Snnn 所以当 n=4 时， n S获得最小值，最小值为- 16 18 解： 1利用模型，该地区2021 年的环境根底设施投资额的预测值为 ?30.413.5 19226.1y(亿元 ) 利用模型，该地区2021 年的环境根底设施投资额的预测值为 ?9917.59256.5y(亿元 ) 2利用模型得到的预测值更可靠 理由如下： 从折线图可以看出，2000 年至2021 年的数据对应的点没有随机分布在直线 30.413.5yt上下这说明利用2000 年至 2021 年的数据建立的线性模型不能很 好地描绘环境根底设施投资额的变化趋势2021 年相对 2021 年的环境根底设施投资额 有明显增加，2021 年至 2021 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2021 年开场环境根底设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2021 年至 2021 年的数据 建立的线性模型?9917.5yt可以较好地描绘2021 年以后的环境根底设施投资额的 变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠学科*网 从计算结果看，相对于2021 年的环境根底设施投资额220 亿元，由模型得到 的预测值226.1 亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比拟合理说 明利用模型得到的预测值更可靠 以上给出了2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分 19 解： 1由题意得(1,0)F，l 的方程为(1)(0)yk xk 设 1221 (,),(,)AyxyxB， 由 2 (1), 4 yk x yx 得 2222 (24)0k xkxk 2 16160k，故 12 2 2 24 k x k x 所以 12 2 2 44 | | (1)(1)x k ABAFBF k x 由题设知 2 2 44 8 k k ，解得1k舍去，1k 因此 l 的方程为1yx 2 由 1 得 AB 的中点坐标为(3,2)， 所以 AB 的垂直平分线方程为2(3)yx， 即5yx 设所求圆的圆心坐标为 00 (,)xy，那么 00 2 200 0 5, (1) (1)16. 2 yx yx x 解得 0 0 3, 2 x y 或 0 0 11, 6. x y 因此所求圆的方程为 22 (3)(2)16xy或 22 (11)(6)144xy 20 解： 1因为 4APCPAC ，O为AC的中点，所以 OPAC，且 2 3OP 连结OB因为 2 2 ABBCAC，所以ABC为等腰直角三角形， 且OBAC， 1 2 2 OBAC 由 222 OPOBPB知POOB 由,OPOB OPAC知PO平面ABC 2 如图，以O为坐标原点，OB的方向为 x轴正方向， 建立空间直角坐标系Oxyz 由得(0,0,0),(2,0,0),(0, 2,0),(0,2,0),(0,0,23),(0,2,23),OBACPAP取平面 PAC的法向量(2,0,0)OB 设( ,2,0)(02)M aaa，那么( ,4,0)AMaa 设平面PAM的法向量为( , )x y zn 由0,0APAMnn得 22 30 (4)0 yz axa y ，可取 ( 3(4), 3 ,)aaan ， 所以 222 2 3(4) cos, 2 3(4)3 a OB aaa n 由可得 3 | cos,| 2 OB n 所以 222 2 3 |4|3 = 2 2 3(4)3 a aaa 解得4a舍去， 4 3 a 所以 8 3 4 34 (,) 333 n 又(0,2,2 3)PC，所以 3 cos, 4 PC n 所以PC与平面PAM所成角的正弦值为 3 4 21 解： 1当1a时，( )1f x等价于 2 (1)e10 x x 设函数 2 ( )(1)e1 x g xx，那么 22 ( )(21)e(1) e xx g xxxx 当1x时，( )0g x，所以( )g x在(0,)单调递减 而(0)0g，故当0 x时，( )0g x，即( )1f x 2设函数 2 ( )1e x h xax ( )f x 在(0, )只有一个零点当且仅当( )h x 在(0, )只有一个零点 i当0a时，( )0h x，( )h x没有零点； ii当0a时，( )(2)e x h xax x 当(0,2)x时，( )0h x；当(2,)x时，( )0h x 所以( )h x在(0, 2)单调递减，在(2,)单调递增 故 2 4 (2)1 e a h是( )h x在0,)的最小值 假设 (2)0h ，即 2 e 4 a， ( )h x在(0,)没有零点； 假设(2)0h，即 2 e 4 a， ( )h x在(0,)只有一个零点； 假设(2)0h，即 2 e 4 a，由于 (0)1h，所以( )h x在(0,2)有一个零点， 由1知，当0 x时， 2 e x x，所以 333 4224 1616161 (4 )11110 e(e)(2 ) aa aaa ha aa 故( )h x在(2, 4 )a有一个零点，因此( )h x在(0,)有两个零点 综上，( )f x在(0,)只有一个零点时， 2 e 4 a 22 解： 1曲线C的直角坐标方程为 22 1 416 xy 当cos0时，l的直角坐标方程为 tan2tanyx ， 当cos0时，l的直角坐标方程为1x 2将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程 22 (1 3cos)4(2cossin)80tt 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为 1 t， 2 t，那 么 12 0tt 又由得 12 2 4(2cossin) 13cos tt，故2cossin0，于是直线l的斜率 tan2k 23 解： 1当1a时， 24,1, ( )2,12, 26,2. xx f xx xx 可得( )0fx的解集为| 23xx 2( )1f x等价于|2|4xax 而|2 | |2|xaxa，且当2x时等号成立故( )1f x等。