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大学物理-第2章-质点动力学-习题答案 第二章 质点动力学 2－1一物体从一倾角为30的斜面底部以初速v 0=10m·s 1 向斜面上方冲去，到最高点 后又沿斜面滑下，当滑到底部时速率v =7m·s 1 ,求该物体与斜面间的摩擦系数 解：物体与斜面间的摩擦力f ＝uN ＝umgcos30 物体向斜面上方冲去又回到斜面底部的过程由动能定理得 22022 2(1) 22 mv mv f s -=-? 物体向斜面上方冲到最高点的过程由动能定理得 201 0sin 302 mv f s mgh f s mgs -=-?-=-?-o 20 (2) (31) s g u ∴= - 把式（2）代入式（1）得， () 220 22 00.198 3u v v = =+ 2－2如本题图，一质量为m 的小球最初位于光滑圆形凹槽的A 点，然后沿圆弧ADCB 下滑，试求小球在C 点时的角速度和对圆弧表面的作用力，圆弧半径为r 。

解：小球在运动的过程中受到重力G r 和轨道对它的支持力T r .取如图所示的自然坐标系，由牛顿定律得 22 sin (1) cos (2) t n dv F mg m dt v F T mg m R αα=-==-=r r r 由,,1ds rd rd v dt dt dt v αα= ==得代入式（）， A 并根据小球从点运动到点C 始末条件进行积分有， 90 2 n (sin )2cos 2cos /m cos 3cos '3cos ,e v vdv rg d v gr v g r r v mg mg r mg α αα αωααα α=-===+==-=-? ?o r 得则小球在点C 的角速度为 ＝由式（2）得 T 由此可得小球对园轨道得作用力为 T T 方向与反向 2－3如本题图，一倾角为 的斜面置于光滑桌面上，斜面上放一质量为m 的木块，两 习题2－2图 A o B r D C T α 者间摩擦系数为，为使木块相对斜面静止，求斜面的加速度a 应满足的条件。

解：如图所示 () 1212min max sin ,cos cos sin (1) sin cos 2(1)(2)(sin cos )(cos sin ) (sin cos )()(cos sin )1(2)(1)(sin cos )(cos sin )(sin cos a a a a N mg ma ma mg uN m a ma u g u a u g u g tg u a u utg u g u a u g u a θθθθθθ θθθθθθθθθθ θθθθθ==∴-==±==?+-=+--∴==++-?+=-+∴=得，得，)() (cos sin )1()()11g tg u u utg g tg u g tg u a utg utg θθθθθ θθθθ += ---+∴≤≤+- 2－4如本题图，A 、B 两物体质量均为m ，用质量不计的滑轮和细绳连接，并不计摩擦， 则A 和B 的加速度大小各为多少 解：如图由受力分析得 (1)(2)2(3)2(4)g g A A B B A B A B A B mg T ma T mg ma a a T T a a -=-===1 解得＝－52＝－5 2－5如本题图所示，已知两物体A 、B 的质量均为m=3.0kg ，物体A 以加速度a =1.0m/s 2 运动，求物体B 与桌面间的摩擦力。

滑轮与连接绳的质量不计） 解：分别对物体和滑轮受力分析（如图），由牛顿定律和动力学方程得， () ()() 1f 111f (1)''(2)2'(3)'2(4) 5'6'7(4)7.22 A T A T B T T A B T T T T m g F m a F F m a a a F F m m m F F F F mg m m a F N -=-======-+= =＝解得 2－6质量为M 的三角形木块，放在光滑的水平桌面上，另一质量为m 的木块放在斜面上(如本题图所示)如果所有接触面的摩擦均可忽略不计，求M 的加速度和m 相对M 的加速 A B 习题2-4图 习题2－5图 a θ 习题2-3图 m a A mg T A T B a B mg 度 解：（如图）m 相对M 的相对加速度为m a '，则 cos ,sin ,mx m my m a a a a θθ''''== 在水平方向， cos mx mx Mx mx mx Mx m M a a a a a a a a θ'=-''∴=+=-+ 在竖直方向 sin my my my m a a a a θ'='∴= 由牛顿定律可得， sin cos cos sin sin mx m M my m M N ma ma ma mg N ma ma N Ma θθθθθ'-==-+'-=== 解得θ +θθ= 2 sin cos sin m M mg a M ， 2()sin sin m M m g a M m θ θ++＝ 2－7在一只半径为R 的半球形碗内，有一粒质量为m 的小钢球。

当钢球以角速度ω在 水平面内沿碗内壁作匀速圆周运动时，它距碗底有多高？ 解：取钢球为隔离体，受力分析如图所示，在图示坐标中列动力学方程得， 2sin sin cos cos ()/n F ma mR F mg R h R θωθθθ====- 解得钢球距碗底的高度 2ω- =g R h 2－8光滑的水平面上放置一半径为R 的固定圆环，物体紧贴环的内侧作圆周运动，其摩擦系数为μ物体的初速率为v 0，求：（1）t 时刻物体的速率；（2）当物体速率从v 0减少到v 0/2时，物体所经历的时间及经过的路程 解：（1）设物体质量为m ，取图示的自然坐标系，由牛顿定律得， 02 2 22t v 2 v (1) (2)(3)4dv 4dt u v N n f t f N v F ma m R dv F m a m dt F uF v dv u R dt ===-=-=- ??0由上三式可得＝（）R 对（）式积分得＝－ 习题2-6图 00Rv v R v t μ∴= + （2） 当物体速率从v 0减少到v 0/2时，由上式00Rv v R v t μ∴= +可得物体所经历的时间 0t R v μ '= 经过的路程 t t 00 0vdt dt ln 2Rv R s R v t μμ '' =+?? ＝＝ 2－9从实验知道，当物体速度不太大时，可以认为空气的阻力正比于物体的瞬时速度， 设其比例常数为k 。

将质量为m 的物体以竖直向上的初速度v 0抛出 （1）试证明物体的速度为 t m k t m k e v e k mg v --+-=0)1( (2)证明物体将达到的最大高度为 )1ln(020mg kv k g m k mv H +-= (3)证明到达最大高度的时间为 )1ln(0mg kv k m t H += 证明：由牛顿定律可得 000 002 2 0200ln (1)(2),() ln(13t v v m m t t k k x mg mg kv mdv dt mg kv mg kv m mg t v e v e k mg kv k mvdv dx mg kv mg kv u du kdv k mgdu k mgdu dx mdu dx mdu m u m u mv kv m g x k k mg m t k --+-=++∴==-++=- ++==∴ =-+=-+∴=-+=? ? ??Q dv (1)-mg-kv=m ， dt ，dv -mg-kv=mv ，dx 令，） （）0 ln 0t ln mg kv mg kv mg kv m v k mg k +++∴=+当时，＝即为到达最高点的时间 2－10质量为m 的跳水运动员，从距水面距离为h 的高台上由静止跳下落入水中。

把跳 水运动员视为质点，并略去空气阻力运动员入水后垂直下沉，水对其阻力为－b v 2 ，其中b y f ＝－kv mg v 为一常量若以水面上一点为坐标原点O ，竖直向下为Oy 轴，求：（1）运动员在水中的速率v 与y 的函数关系；（2）跳水运动员在水中下沉多少距离才能使其速率v 减少到落水速率v 0的1/10？（假定跳水运动员在水中的浮力与所受的重力大小恰好相等） 解：运动员入水可视为自由落体运动，所以入水时的速度为 0v = 02 20//0100 mg-f-F=ma mg=F f=bv dv a=dt v dy (2)0.4,0.1m v y ln 5.76m b y v v by m by m dv v dy dv b mv dy b dv m v v v e m v v v ---=∴-=-=====??b 将已知条件代入上式得，m 。