等差数列选择题专项训练单元-易错题难题专项训练学能测试.doc

一、等差数列选择题1．已知等差数列，且，则数列的前13项之和为（ ）A．24 B．39 C．104 D．52解析：D【分析】根据等差数列的性质计算求解．【详解】由题意，，∴．故选：D．2．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，戊所得为（ ）A．钱 B．钱 C．钱 D．钱解析：C【分析】根据甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，a，，，然后再由五人钱之和为5，甲、乙的钱与与丙、丁、戊的钱相同求解.【详解】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，a，，，则根据题意有，解得，所以戊所得为，故选：C.3．已知等差数列的前项和为，且，则（ ）A．51 B．57 C．54 D．72解析：B【分析】根据等差数列的性质求出，再由求和公式得出答案.【详解】，即故选：B4．若等差数列{an}满足a2=20，a5=8，则a1=（ ）A．24 B．23 C．17 D．16解析：A【分析】由题意可得，再由可求出的值【详解】解：根据题意，，则，故选：A.5．设等差数列的公差d≠0，前n项和为，若，则（ ）A．9 B．5 C．1 D．解析：B【分析】由已知条件，结合等差数列通项公式得，即可求.【详解】，即有，得，∴，，且，∴.故选：B6．等差数列的前n项和为，且，，则（ ）A．21 B．15 C．10 D．6解析：C【分析】根据已知条件得到关于首项和公差的方程组，求解出的值，再根据等差数列前项和的计算公式求解出的值.【详解】因为，所以，所以，所以，故选：C.7．设等差数列的前项和为，若，则（ ）A．60 B．120 C．160 D．240解析：B【分析】根据等差数列的性质可知，结合题意，可得出，最后根据等差数列的前项和公式和等差数列的性质，得出，从而可得出结果.【详解】解：由题可知，，由等差数列的性质可知，则，故.故选：B.8．设是等差数列（）的前项和，且，则（ ）A． B． C． D．解析：C【分析】由题建立关系求出公差，即可求解.【详解】设等差数列的公差为，，，，.故选：C9．已知等差数列的前项和为，，则（ ）A．121 B．161 C．141 D．151解析：B【分析】由条件可得，然后，算出即可.【详解】因为，所以，所以，所以，即所以故选：B10．已知等差数列，其前项的和为，，则（ ）A．24 B．36 C．48 D．64解析：B【分析】利用等差数列的性质进行化简，由此求得的值.【详解】由等差数列的性质，可得，则故选：B11．已知等差数列前项和为，且，则的值为（ ）A． B． C． D．解析：B【分析】先利用等差数列的下标和性质将转化为，再根据求解出结果.【详解】因为，所以，又，故选：B.【点睛】结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若，（1）当为等差数列，则有；（2）当为等比数列，则有.12．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，则下列判断错误的是（ ）A．S5，S10-S5，S15-S10必成等差数列 B．S2，S4-S2，S6-S4必成等差数列C．S5，S10，S15+S10有可能是等差数列 D．S2，S4+S2，S6+S4必成等差数列解析：D【分析】根据等差数列的性质，可判定A、B正确；当首项与公差均为0时，可判定C正确；当首项为1与公差1时，可判定D错误.【详解】由题意，数列为等差数列，为前项和，根据等差数列的性质，可得而，和构成等差数列，所以，所以A，B正确；当首项与公差均为0时，是等差数列，所以C正确；当首项为1与公差1时，此时，此时不构成等差数列，所以D错误.故选：D.13．已知为等差数列的前项和，，，则（ ）A． B． C． D．解析：B【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程组，求解出首项和公差，则等差数列的通项公式可求.【详解】因为，，所以，所以，所以，故选：B.14．定义为个正数的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（ ）A． B． C． D．解析：D【分析】由题意结合新定义的概念求得数列的前n项和，然后利用前n项和求解通项公式，最后裂项求和即可求得最终结果.【详解】设数列的前n项和为，由题意可得：，则：，当时，，当时，，且，据此可得 ，故，，据此有：故选：D15．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（ ）A．3斤 B．6斤 C．9斤 D．12斤解析：C【分析】根据题意转化成等差数列问题，再根据等差数列下标的性质求.【详解】由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为，粗的一端的重量为，可知，，根据等差数列的性质可知，中间三尺为.故选：C【点睛】本题考查数列新文化，等差数列的性质，重点考查理解题意，属于基础题型.二、等差数列多选题16．已知数列满足，()，数列的前项和为，则（ ）A． B．C． D．解析：BC【分析】根据递推公式，得到，令，得到，可判断A错，B正确；根据求和公式，得到，求出，可得C正确，D错.【详解】由可知，即，当时，则，即得到，故选项B正确；无法计算，故A错；，所以，则，故选项C正确，选项D错误.故选：BC.【点睛】方法点睛：由递推公式求通项公式的常用方法：（1）累加法，形如的数列，求通项时，常用累加法求解；（2）累乘法，形如的数列，求通项时，常用累乘法求解；（3）构造法，形如（且，，）的数列，求通项时，常需要构造成等比数列求解；（4）已知与的关系求通项时，一般可根据求解.17．已知数列满足，且，则（ ）A． B．C． D．解析：ACD【分析】先计算出数列的前几项，判断AC，然后再寻找规律判断BD．【详解】由题意，，A正确，，C正确；，∴数列是周期数列，周期为3．，B错；，D正确．故选：ACD．【点睛】本题考查由数列的递推式求数列的项与和，解题关键是求出数列的前几项后归纳出数列的性质：周期性，然后利用周期函数的定义求解．18．(多选题)已知数列中，前n项和为，且，则的值不可能为（ ）A．2 B．5 C．3 D．4解析：BD【分析】利用递推关系可得，再利用数列的单调性即可得出答案．【详解】解：∵，∴时，，化为：，由于数列单调递减，可得：时，取得最大值2．∴的最大值为3．故选：BD．【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是（ ）A．a8＝34 B．S8＝54 C．S2020＝a2022－1 D．a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝a2022解析：BCD【分析】由题意可得数列满足递推关系，依次判断四个选项，即可得正确答案.【详解】对于A，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，可得，则即，，故C正确；对于D，由可得，，故D正确.故选：BCD.【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，解题的关键是得出数列的递推关系，，能根据数列性质利用累加法求解.20．无穷等差数列的前n项和为Sn，若a1＞0，d＜0，则下列结论正确的是（ ）A．数列单调递减 B．数列有最大值C．数列单调递减 D．数列有最大值解析：ABD【分析】由可判断AB，再由a1＞0，d＜0，可知等差数列数列先正后负，可判断CD.【详解】根据等差数列定义可得，所以数列单调递减，A正确；由数列单调递减，可知数列有最大值a1，故B正确；由a1＞0，d＜0，可知等差数列数列先正后负，所以数列先增再减，有最大值，C不正确，D正确.故选：ABD.21．记为等差数列的前n项和.已知，则（ ）A． B． C． D．解析：AD【分析】设等差数列的公差为，根据已知得，进而得，故，.【详解】解：设等差数列的公差为，因为所以根据等差数列前项和公式和通项公式得：，解方程组得：，所以，.故选：AD.22．设等差数列的前项和为，若，，则（ ）A． B． C． D．解析：AC【分析】利用等差数列的前项和公式、通项公式列出方程组，求出，，由此能求出与．【详解】等差数列的前项和为．，，，解得，，．故选：AC．【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．23．无穷数列的前项和，其中，，为实数，则（ ）A．可能为等差数列B．可能为等比数列C．中一定存在连续三项构成等差数列D．中一定存在连续三项构成等比数列解析：ABC【分析】由可求得的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当时，．当时，．当时，上式＝．所以若是等差数列，则所以当时，是等差数列， 时是等比数列；当时，从第二项开始是等差数列．故选：A B C【点睛】本题只要考查等差数列前n项和与通项公式的关系，利用求通项公式，属于基础题．24．已知为等差数列，其前项和为，且，则以下结论正确的是（ ）.A． B．最小 C． D．解析：ACD【分析】由得，故正确；当时，根据二次函数知识可知无最小值，故错误；根据等差数列的性质计算可知，故正确；根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质可得，故正确.【详解】因为，所以，所以，即，故正确；当时，无最小值，故错误；因为，所以，故正确；因为，故正确.故选：ACD.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前项和公式，考查了等差数列的性质，属于中档题.25．设等差数列的前项和为，公差为，且满足，，则对描述正确的有（ ）A．是唯一最小值 B．是最小值C． D．是最大值解析：CD【分析】根据等差数列中可得数列的公差，再根据二次函数的性质可知是最大值，同时可得，进而得到，即可得答案；【详解】，，设，则点在抛物线上，抛物线的开口向下，对称轴为，且为的最大值，，，故选：CD.【点睛】本题。