02第二章极限与连续.doc

极限一、本章学习要求与内容提要 （一）学习要求1．了解极限的描述性定义．2．了解无穷小、无穷大的概念及其相互关系和性质．3．会用两个重要极限公式求极限．4．掌握极限的四则运算法则．5．理解函数在一点连续的概念，知道间断点的分类．6．了解初等函数的连续性及连续函数在闭区间上的性质（最大值和最小值定理、根的存在定理）．7．会用函数的连续性求极限．重点 极限的求法，两个重要极限，函数在一点连续的概念．难点 分段函数在分段点的连续性．（二）内容提要１．极限的定义(1) 函数极限、数列极限的描述性定义极限定义表类型描述性定义极限记号设函数在 为某个正实数)时有定义，如果当自变量的绝对值无限增大时，相应的函数值无限接近于某一个固定的常数，则称为（读作“趋于无穷”）时函数的极限或设函数为某个实数)内有定义，如果当自变量无限增大时，相应的函数值无限接近于某一个固定的常数，则称为（读作“趋于正无穷”）时函数的极限或设函数(为某个实数)内有定义，如果当自变量无限增大且时，相应的函数值无限接近于某一个固定的常数，则称为（读作“趋于负无穷”）时函数的极限或设函数在点的去心邻域内有定义，如果当自变量在内无限接近于时，相应的函数值无限接近于某一个固定的常数，则称为当（读作“趋近于”）时函数的极限或设函数在点的左半邻域内有定义，如果当自变量在此半邻域内从左侧无限接近于时，相应的函数值无限接近于某个固定的常数，则称为当趋近于时函数的左极限或设函数的右半邻域内有定义，如果当自变量在此半邻域内从右侧无限接近于时，相应的函数值无限接近于某个固定的常数，则称为当趋近于时函数的右极限或（2）单侧极限与极限的关系定理①的充分必要条件是．②的充分必要条件是．（３）极限存在准则①单调有界数列极限的存在定理单调有界数列必有极限．②夹逼准则若当时，有，且，，则．夹逼准则对自变量的其他变化过程也成立.2. 极限的四则运算法则设及都存在，则(1) ；(2) , (为任意常数);(3) ．上述极限四则运算法则对自变量的其他变化过程下的极限同样成立．3． 两个重要极限(1) 一般形式为（其中代表的任意函数）．(2) 一般形式为 （其中代表的任意函数）． ４． 无穷小量与无穷大量在讨论无穷小量与无穷大量的概念及其相关性质时, 均以的极限变化过程为例.其他极限变化过程,有完全类似的结论．（１）无穷小量在自变量的某个变化过程中，以零为极限的变量称为该极限过程中的无穷小量，简称无穷小．例如,如果，则称当时,是无穷小量．注意 一般说来，无穷小表达的是变量的变化状态，而不是变量的大小，一个变量无论多么小，都不能是无穷小量，数零是惟一可作为无穷小的常数．（２） 无穷大量在自变量的某个变化过程中，绝对值可以无限增大的变量称为这个变化过程中的无穷大量，简称无穷大．应该注意的是：无穷大量是极限不存在的一种情形，我们借用极限的记号，表示“当时, 是无穷大量” ．（３）无穷小量与无穷大量的关系在自变量的某个变化过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，非零无穷小量的倒数是无穷大量．（４）无穷小量的运算① 有限个无穷小量的代数和是无穷小量．② 有限个无穷小量的乘积是无穷小量．③ 无穷小量与有界量的乘积是无穷小量．④ 常数与无穷小量的乘积是无穷小量．（5）无穷小量的比较下表给出了两个无穷小量之间的比较定义．无穷小量的比较表设在自变量的变化过程中，均是无穷小量无穷小的比较定 义记 号（）（）5．函数的连续性⑴ 函数在一点连续的概念①　函数在一点连续的两个等价的定义：定义１　设函数在点的某个邻域内有定义，若当自变量的增量趋于零时，对应的函数增量也趋于零，即 ，则称函数在点处连续，或称是的一个连续点．定义２　若，则称函数在点处连续．② 左右连续的概念　若，则称函数在点处左连续；若，则称函数在点处右连续．⑵ 函数在一点连续的充分必要条件函数在点处连续的充分必要条件是在点处既左连续又右连续．由此可知，函数在点处连续，必须同时满足以下三个条件：①　函数在点的某邻域内有定义，②　存在，③　这个极限等于函数值．⑶　函数在区间上连续的概念在区间上每一点都连续的函数，称为在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续，该区间也称为函数的连续区间．如果连续区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续．⑷ 间断点若函数在点处不连续，则称点为函数的间断点．⑸ 间断点的分类设为的一个间断点，如果当时，的左极限、右极限都存在，则称为的第一类间断点；否则，称为的第二类间断点．对于第一类间断点有以下两种情形：① 当与都存在，但不相等时，称为的跳跃间断点；② 当存在，但极限不等于时，称为的可去间断点．⑹ 初等函数的连续性定理基本初等函数在其定义域内是连续的．一切初等函数在其定义区间内都是连续的．⑺ 闭区间上连续函数的性质① 最大值和最小值存在定理 闭区间上连续函数一定能取得最大值和最小值．② 根的存在定理 设为闭区间上的连续函数，且异号，则至少存在一点，使得．二、主要解题方法1．求函数极限方法(1) 利用极限存在的充分必要条件求极限例1 求下列函数的极限：（1）， （2） 当为何值时，在的极限存在.解 (1),,因为左极限不等于右极限，所以极限不存在．（2）由于函数在分段点处，两边的表达式不同，因此一般要考虑在分段点处的左极限与右极限．于是，有， ，为使存在，必须有=，因此 ，当=1 时， 存在且 =1．小结 对于求含有绝对值的函数及分段函数分界点处的极限，要用左右极限来求，只有左右极限存在且相等时极限才存在，否则，极限不存在． （3）利用极限运算法则求极限例2 求下列函数的极限：(1) ， (2) ， (3) ， (4) ．解 (1) ==．(2) 当时，分子、分母极限均为零，呈现型，不能直接用商的极限法则，可先分解因式，约去使分子分母为零的公因子，再用商的运算法则．原式=．(3) 当时，的极限均不存在，式呈现型，不能直接用“差的极限等于极限的差”的运算法则，可先进行通分化简，再用商的运算法则．即原式=．(4) 当时，分子分母均无极限，呈现形式．需分子分母同时除以，将无穷大的约去，再用法则求原式=．小结 （）应用极限运算法则求极限时，必须注意每项极限都存在（对于除法，分母极限不为零）才能适用．（II）求函数极限时，经常出现 等情况，都不能直接运用极限运算法则，必须对原式进行恒等变换、化简，然后再求极限。

常使用的有以下几种方法．（）对于型，往往需要先通分，化简，再求极限，（）对于无理分式，分子、分母有理化，消去公因式，再求极限，（）对分子、分母进行因式分解，再求极限，（）对于当时的型，可将分子分母同时除以分母的最高次幂，然后再求极限．（3）利用无穷小的性质求极限例3 求下列函数的极限（1） ， （2）．解（1） 因为 而，求该式的极限需用无穷小与无穷大关系定理解决．因为，所以当时，是无穷小量，因而它的倒数是无穷大量，即 ．（2）不能直接运用极限运算法则，因为当时分子，极限不存在，但是有界函数，即而 ，因此当时，为无穷小量.根据有界函数与无穷小乘积仍为无穷小定理，即得.小结 利用无穷小与无穷大的关系，可求一类函数的极限（分母极限为零，而分子极限存在的函数极限）；利用有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小定理可得一类函数的极限（有界量与无穷小之积的函数极限）．（4）利用两个重要极限求函数的极限例4 求下列函数的极限：（1） ， （2）．解（1）分子先用和差化积公式变形，然后再用重要极限公式求极限原式==．（2）解一 原式==，解二 原式==．小结 （）利用求极限时，函数的特点是型，满足的形式，其中为同一变量；（）用求极限时，函数的特点型幂指函数，其形式为型,为无穷小量，而指数为无穷大，两者恰好互为倒数；（）用两个重要极限公式求极限时，往往用三角公式或代数公式进行恒等变形或作变量代换，使之成为重要极限的标准形式。

5) 利用等价无穷小代换求极限常用等价无穷小有当 时,,,．例5 求下列函数的极限（1） ， （2）．解 （1）= （）．（2）=== （） ．小结 利用等价无穷小可代换整个分子或分母，也可代换分子或分母中的因式，但当分子或分母为多项式时，一般不能代换其中一项否则会出错．如上题 , 即得一错误结果．2．判断函数连续性的方法 由于初等函数在它的定义区间内总是连续，所以函数的连续性讨论多指分段函数在分段处的连续性． 例 7 讨论函数 ， 在点处的连续性． 解 由于函数在分段点处两边的表达式不同，因此，一般要考虑在分段点处的左极限与右极限．因而有，而即，由函数在一点连续的充要条件知在处连续．三、学法建议1．本章的重点是极限的求法及函数在一点的连续的概念，特别是求极限的方法，灵活多样．因此要掌握这部分知识，建议读者自己去总结经验体会，多做练习．2．本章概念较多，且互相联系，例如：收敛，有界，单调有界；发散，无界，无穷大；极限，无穷小，连续等．只有明确它们之间的联系，才能对它们有深刻的理解，因此要注意弄清它们之间的实质关系．3．要深刻理解在一点的连续概念，即极限值等于函数值才连续．千万不要求到极限存在就下连续的结论，特别注意判断分段函数在分段点的连续性．8。