高中数学圆锥曲线系统讲解第31讲《仿射变换》练习及答案.pdf

1 第第 31 讲讲 仿射变换仿射变换 知识与方法知识与方法 在椭圆()222210 xyabab+=中，我们运用坐标变换xxayyb=，则可以得到圆222xya+=，这种操作叫做仿射变换，运用仿射变换，可以将某些椭圆问题转化到圆中来解决，从而使得问题简化，上述变换过程有如下对应关系：项目 变换前 变换后 点的坐标()00,P x y 00,aPxyb 直线的斜率 k akkb=图形的面积 S aSSb=点与点的位置关系 AB中点为 M A B 中点为M 线与线的位置关系 直线 m 和直线 n 相交 直线m和直线n相交 直线 m 和直线 n 平行 直线m和直线n平行 点与线的位置关系 点 A 在直线 l 上 点A在直线l上 点 A 不在直线 l 上 点A不在直线l上 等倾斜程度线段长的关系 ABAC=A BA C=总之，经过仿射变换，绝对量（如坐标、面积、斜率、线段的长等）都发生了变化，相对量（如点、线、面的位置关系，直线与椭圆的位置关系，共线线段长度之比等）却没有发生变化.提醒：仿射变换常用于解决面积问题（尤其是一个顶点为原点的三角形面积）、斜率问题、共线线段比例问题等；需要注意的是，仿射变换的方法一般不推荐在解答题中使用，下面通过一些实例来分析在具体问题中如何操作.典型例题典型例题【例 1】设直线l与椭圆()2222:10 xyCabab+=相交于 A、B 两点，则AOB的面积的最大值为_.【解析】解法 1：当直线l的斜率不存在时，设其方程为xt=()0atat 且 联立22221xtxyab=+=解得：22byata=，2 所以()222222221 2222AOBbbb attabSattattaaa+=，当且仅当222att=，即22ta=时取等号，所以()max2AOBabS=当直线 l 斜率存在时，设其方程为()0ykxm m=+，设()11,A x y，()22,yB x，联立22221ykxmxyab=+=消去 y 整理得：()22222222220a kbxkma xa ma b+=，判别式()()()2242222222222222444k m aa kba ma ba ba kmb=+=+，所 以22222212222211ab a kmbABkxxka kb+=+=+，原 点 O 到 直 线 l 的 距 离21mdk=+，从而()222222222222222221121221AOBaba kmbmmab a kmbSAB dka kba kbk+=+=+2222222222aba kmbmaba kb+=+当且仅当22222a kmbm+=时取等号，此时22222a kbm+=，代入知22240a b m=，故()max2AOBabS=，综上所述，AOB的面积的最大值为2ab.解法 2：作变换xxayyb=，则椭圆 C 变成圆222xya+=，如图，因为21sinsin22A O BaSO AO BA O BA O B =，所以当90A O B =时，A O BS 取得最大值22a，因为aSSb=，所以bSSa=，从而AOBS的最大值为222ababa=.3 【答案】2ab【例 2】已知椭圆22:14xCy+=的左右顶点为 A、B，P 为椭圆 C 上不与 A、B 重合的动点，则直线PA、PB的斜率之积为_.【解析】本题当然可以利用椭圆的第三定义，快速得出结果为14，其推导方法是设点 P 的坐标，运用点 P 的坐标满足椭圆的方程来化简PA、PB的斜率之积，得出斜率之积为定值，其实也可以用仿射变换来证明这一结果，作变换2xxyy=，则椭圆C变换成圆22:4Oxy+=，如图，在圆O中，显然A B 是直径，所以P AP B ，从而1P AP Bkk =，又2P APAkk=，2P BPBkk=，所以41P AP BPAPBkkkk =，故14PAPBkk=.【答案】14【例 3】已知过点1 1,2 2M的直线 l 与椭圆22:142xyC+=交于 A、B 两点，若 M 恰好为AB的中点，则直线 l 的方程为_.【解析】解法 1：如图 1，由中点弦结论，12OMABkk=，而1OMk=，所以12ABk=，从而直线 l 的方程为111222yx=，即2430 xy+=解法 2：作变换2xxyy=，则椭圆 C 变换成圆22:4Oxy+=，如图 2，4 在圆O中，M仍为A B 中点，所以O MA B，且12,22M，所以直线O M的斜率为2，从而直线A B 的斜率为22，故直线A B 的方程为221222yx=，即23 2024xy+=，将2xxyy=代入可得23 22024xy+=，即2430 xy+=，所以直线AB的方程为2430 xy+=【答案】2430 xy+=【例 4】已知椭圆22:12xCy+=的 A、B 两点满足直线OA、OB的斜率之积为12，其中 O为原点，点 P 在射线OA上，且2OPOA=，若PB与椭圆交于另一点 Q，则BPBQ=_.【解析】作变换2xxyy=，则椭圆 C 变成圆22:2Oxy+=，如图，则2O AOAkk=，2O BOBkk=，由题意，所以21O AO BOAOBkkkk =，从而O AO B ，显然2 2O P =，2O B =，2O Q =，所以2210P BO BO P =+=，作O GP B 于 G，则2 105O PO BO GP B =，22105B GO BO G=，因为OBOQ =，所以 G 为B Q 的中点，从而2 1025B QB G =，故52B PB Q=，所以在变换前的图形中，52BPBQ=.5 【答案】52 【反思】在椭圆()222210 xyabab+=中，若涉及到了两直线的斜率之积为22ba，则可以考虑利用仿射变换转化为圆，因为变换后两直线的斜率之积为1，从而产生了两直线垂直这一良好的几何特征，往往可以使得问题简化.强化训练强化训练 1.（）已知椭圆22:14xCy+=的右顶点为 A，上顶点为 B，直线()0ykx k=与椭圆C 交于 M、N 两点，则四边形AMBN的面积的最大值是_.【解析】解法1：如图1，()0,1A，()2,0B，所以A、B两点到直线MN的距离分别为1211dk=+，2221kdk=+，将ykx=代入2214xy+=化简得：()22144kx+=，解得：2214xk=+，所以224114MNkk=+，从而四边形AMBN的面积()()21222222 1211412122141114kkSMNddkkkkk+=+=+=+22214444422 12 12 12 2114141424kkkkkkkkk+=+=+=+，当日仅当14kk=，即12k=时取等号，所以四边形AMBN的面积的最大值是2 2.解法 2：作变换2xxyy=，则椭圆 C 变成圆22:4Oxy+=，如图 2，显然4MN =，由图可知A和B到直线M N 的距离之和在A BM N 时取得最大值，且最大值为2 2A B =，所以四边形A M B N 的面积S的最大值为1142 24 222M NA B=因为2SS=，所以四边形AMBN的面积的最大值是2 2.6 【答案】2 2 2.（）已知椭圆22:13xCy+=的左、右顶点分别为 A 和 B，P 为椭圆 C 上不与 A、B 重合的动点，过原点 O 作PA、PB的平行线与椭圆 C 交于 M、N 两点，则MON的面积为_.【解析】解法 1：如图 1，由图形的对称性，不妨假设 M 在第一象限，N 在第二象限，由椭圆的第三定义，13PAPBkk=，又OMPBkk=，ONPAkk=，所以13OMONkk=，设()0OMkk k=，则13ONkk=，联立2213ykxxy=+=消去 y 整理得：()22133kx+=，解得：2313xk=+，所以2313Mxk=+，故2313Mkyk=+，从而2233,1313kMkk+，同理可得2231,3131kNkk+，所以22221313332213313113MONkkSkkkk=+.解法 2：作变换3xxyy=，则椭圆 C 变成圆22:3Oxy+=，如图 2，变换前，由椭圆的第三定义，13PAPBkk=，又OMPBkk=，ONPAkk=，所以13OMONkk=，变换后，3O MOMkk=，3O NONkk=，所以31O MO NOMONkkkk=，从而O MO N，故133322M O NS =，又3M O NMONSS =，所以32MONS=.7 【答案】32 3.（）已知椭圆22:12xCy+=上有点23,22P，过 P 作两条倾斜角互补的直线交椭圆 C 于另外两点 M、N，则直线MN的斜率为_.【解析】作变换2xxyy=，则椭圆 C 变成圆22:2Oxy+=，如图 1 中，作PQx轴交椭圆 C 于 Q，则在图 2 中，P Qx 轴，由题意，在图 1 中，MPQNPQ=，所以在图 2中，M P QN P Q =，所以M QN Q =，故Q是M N 的中点，从而O QM N ，在图1 中，由对称性可得23,22Q，所以在图 2 中，26,22Q，从而3O Qk=，所以33M Nk=，又2M NMNkk=，所以66MNk=.【答案】66 4.（）已知 A、B、C 是椭圆22:12xEy+=上的三个动点，则ABC的面积的最大值为_.【解析】作变换2xxyy=，则椭圆 E 变成圆22:2Oxy+=，如图，显然当A B C 的面积取得最大值时，应有C DA B，且C DODOC=+8 设()02O Ddd=，则2C Dd=+，22222 2A BO AO Dd =所以()()22112 222222A B CSA BC Ddddd =+=+，从而()()()()()()()()()2322122223 232223A B CSdddddddd =+=+=+413 2322227344dddd+=故3 32A B CS ，当且仅当3 232dd=+时取等号，此时，22d=，所以A B C 的面积的最大值为3 32，又2A B CABCSS =，所以ABC的面和的最大值为3 64.【答案】3 64【反思】圆的内接三角形中，正三角形面积最大，等于23 34R.5.（）设 A、B 两点在椭圆22:12xCy+=上，且AB的中点为2 1,22Q，若椭圆 C外的点 P 满足PA、PB的中点都在椭圆 C 上，则直线OP的斜率为_.【解析】不难发现 A 为上顶点，B 为右顶点，作变换2xxyy=，则椭圆 C 变成圆22:2Oxy+=，如图 在图 2 中，22,22Q，且P A 和P B 的中点都在圆O上，所以点P在A B 的中垂线yx=上，显然原点O也在直线yx=上，从而直线O P 的斜率为 1，因为2O POPkk=，所以22OPk=.9 【答案】22 6.（）已知直线:220l xy+=与椭圆22:12xCy+=相交于点 T，O 为原点，平行于OT的直线l与直线 l 相交于点 P，与椭圆 C 相交于 A、B 两点，若2PTPAPB=，则=_.【解析】解法 1：联立2222012xyxy+=+=解得：1x=，22y=，所以21,2T，直线OT的斜率为22，因为l与直线 l 平行，所以可设:2lxym=+，设()11,A x y，()22,B x y，()00,O x y，联立2220 xymxy=+=解得：()2 24my=，所以()02 24my=，从而()()202 22261232244mPTym=+=，故2238PTm=()()()()221020122 22 21212344mmPAPByyyyyy=+=，联立22212xymxy=+=消去 x 整理得：2242 220ymym+=,因为1y、2y是方程的两根，所以()()221242 224ymymyyyy+=，在中令()2 24my=可得()()()()22122 22 22 22 242 22416444mmmmmmyy+=化简得：()()2122 22 2448mmmyy=，从而238mPAPB=，10 所以2PTPA。