44线段及角的和差倍分计算.ppt

两角和与差两角和与差 一般地，如果一个角的一般地，如果一个角的度数度数是另两个角的是另两个角的度数之和度数之和，，那么这个角叫做另那么这个角叫做另两个角的两个角的和；和；如果一个角的如果一个角的度数度数是另两个是另两个角的角的度数之差度数之差，那么这个角，那么这个角叫做另叫做另两个角的差两个角的差两条线段的和与差两条线段的和与差一般地，如果一条线段的一般地，如果一条线段的长长度度是另两条是另两条线段长度的和线段长度的和，，那么这条线段叫做另那么这条线段叫做另两条线两条线段的和；段的和；如果一条线段的如果一条线段的长度长度是另两是另两条条线段长度的差线段长度的差，那么这条，那么这条线段叫做另线段叫做另两两条线段的差条线段的差一　一　线段的和差倍分及段的和差倍分及计算算如如图1，点，点D是是线段段AB的中点，的中点，C是是线段段AD的中点，若的中点，若AB＝＝4 cm，求，求线段段CD的的长度．度． 教材回归教材回归(七七) 线段及角的和差倍分计算线段及角的和差倍分计算图1解解：：∵∵D是线段是线段AB的中点，的中点，AB＝＝4 cm，，∴∴AD＝＝BD＝＝2 cm.∵∵C是线段是线段AD的中点，的中点，∴∴AC＝＝CD＝＝1 cm，，∴∴CD＝＝1 cm.【【思想方法思想方法】】 (1)数有加减乘除四数有加减乘除四则运算，运算，线段有和差倍分四段有和差倍分四则运算．运算．(2)线段的和差倍分四段的和差倍分四则运算，关运算，关键是正确地画出是正确地画出图形，有形，有时需要分需要分类讨论．．(3)对于比于比较复复杂的的题目需画出目需画出图形，可形，可设某条某条线段段为x，再，再结合已知合已知量找出等量关系，列一元一次方程求解．量找出等量关系，列一元一次方程求解．在一条直在一条直线上上顺次取次取A，，B，，C三点，已知三点，已知AB＝＝5 cm，点，点O是是线段段AC的中点，且的中点，且OB＝＝1.5 cm，，则BC的的长是是 (　　 　　)A．．6 cm　　　　　　　　　　　　　　 B．．8 cmC．．2 cm或或6 cm D．．2 cm或或8 cmD如如图2，某汽，某汽车公司所运公司所运营的公路的公路AB段有四个段有四个车站依次是站依次是A、、C、、D、、B，，AC＝＝CD＝＝DB.现想在想在AB段建一个加油站段建一个加油站M，要求使，要求使A、、C、、D、、B站站的各一的各一辆汽汽车到加油站到加油站M所花的所花的总时间最少，最少，则M的位置的位置(　　 　　) 图2A．在．在AB之之间 B．在．在CD之之间C．在．在AC之之间 D．在．在BD之之间B【【解析解析】】 根据根据题意把意把M的位置分的位置分别建在建在AC之之间时，，CD之之间时，，DB之之间时，分，分别算出算出A、、B、、C、、D站的各一站的各一辆汽汽车到加油站所行到加油站所行驶的的总路程，然后路程，然后进行比行比较即可．即可．变形形2答答图(1)当当M的位置在的位置在AC之之间时，，A、、B、、C、、D站的各一站的各一辆汽汽车到加油站到加油站所行所行驶的的总路程＝路程＝AC＋＋MD＋＋MB＝＝4AC＋＋2MC；；(2)当当M的位置在的位置在CD之之间时，，A、、B、、C、、D站的各一站的各一辆汽汽车到加油站到加油站所行所行驶的的总路程＝路程＝CD＋＋AM＋＋MB＝＝4AC；；(3)当当M的位置在的位置在DB之之间时，，A、、B、、C、、D站的各一站的各一辆汽汽车到加油站到加油站所行所行驶的的总路程＝路程＝4AC＋＋2MD，，综上，在上，在CD之之间(含含C、、D点点)建一个加油站建一个加油站M时，所行，所行驶的的总路程最路程最少，所行少，所行驶的的总时间最少．最少．如如图3，已知点，已知点C是是线段段AB上一点，上一点，AC＜＜CB，，D，，E分分别是是AB，，CB的中点，的中点，AC＝＝8，，EB＝＝9，求，求线段段DE的的长．．图3 如如图4，，线段段AC∶ ∶CD∶ ∶DB＝＝3∶ ∶4∶ ∶5，，M，，N分分别是是CD，，AB的中点，且的中点，且MN＝＝2 cm，求，求AB的的长．．图4解解：：设AC，，CD，，DB的的长分分别为3a，，4a，，5a，，∴∴CM＝＝2a，，AB＝＝12a，，AN＝＝6a，，∴∴MN＝＝AN－－AM＝＝6a－－(3a＋＋2a)＝＝a＝＝2 cm，，∴∴AB＝＝12a＝＝24 cm.如如图5，点，点C分分线段段AB为5∶ ∶7，点，点D分分线段段AB为5∶ ∶11，已知，已知CD＝＝10 cm，求，求AB的的长．．图5(1)求求AB，，AC的的长度．度．(2)求求线段段MN的的长度．度．图6变形形7答答图∴∴可可设BD＝＝4y，，DC＝＝7y，，∴∴BC＝＝DC－－DB＝＝7y－－4y＝＝3y＝＝6，解得，解得y＝＝2，，∴∴DC＝＝7y＝＝14.∵∵E为DC的中点，的中点，∴∴CE＝＝7，，∴∴BE＝＝CE－－BC＝＝7－－6＝＝1.同一端点的三条射线如图，问：∠AOB+∠BOC= = 度∠AOC-∠BOC= = 度∠BOC=∠AOC- = 度根据图形填空∠ ∠AOC∠ ∠AOB∠ ∠AOB1103050二　角的和差倍分及计算二　角的和差倍分及计算 如如图7，，OB是是∠∠AOC的平分的平分线，，OD是是∠∠COE的平分的平分线．．(1)如果如果∠∠AOB＝＝40°，，∠∠DOE＝＝30°，那么，那么∠∠BOD是多少度？是多少度？(2)如果如果∠∠AOE＝＝140°，，∠∠COD＝＝30°，那么，那么∠∠AOB是多少度？是多少度？图7【【思想方法思想方法】】 解解这种种题的方法主要是的方法主要是寻找出要求的角与相关的角之找出要求的角与相关的角之间的和差倍的和差倍分关系．通分关系．通过求出相关的角，从而求出要求的角．求出相关的角，从而求出要求的角．解解：：(1)∠∠BOD＝＝∠∠BOC＋＋∠∠COD，，∵∵OB是是 ∠∠AOC的平分线，的平分线，∴∠∴∠BOC＝＝∠∠AOB＝＝40°.∵∵OD是是∠∠COE的平分线，的平分线，∴∠∴∠COD＝＝∠∠DOE＝＝30°，，∴∠∴∠BOD＝＝∠∠BOC＋＋∠∠COD＝＝70°；；例例2：如图，：如图，∠∠ABC=90°，，∠∠CBD=30°，，BP平分平分∠∠ABD，，求求∠∠ABP的度数的度数解：∵∠ABD=∠ABC+∠CBD=90°+30°=120°BP平分∠ABD∴∠ABP= ∠ABD= ×120°=60°OABCDE 如图如图,OB,OB是是∠∠AOCAOC的平分线的平分线,OD,OD是是∠∠COECOE平分线。

平分线如果如果∠∠AOCAOC＝＝8080°°，，∠∠COECOE＝＝7070°°, ,求求∠∠DOBDOB的度数．的度数． 变式变式1 1: :已知已知O O为直线为直线ABAB上一点，上一点，OEOE平分平分∠∠AOCAOC，，OFOF平分平分 ∠ ∠COB,COB,求求∠∠EOFEOF的度数．的度数．ABECFO(3)(3)如图，若如图，若∠∠ABC=90ABC=90°°,∠CBD=20,∠CBD=20°°, , 则则∠∠ABD= _____.ABD= _____.BAPCD20º根据图形填空：根据图形填空：(1)∠ABD=∠CBD + ____(1)∠ABD=∠CBD + ____(2)∠CBD=∠PBD (2)∠CBD=∠PBD – ____ ____ =∠ABD =∠ABD – ____ ____(4)(4)在第在第(3)(3)题的条件下，题的条件下，若若BPBP平分平分∠∠ABDABD，， 则则∠∠ABP= ____ABP= ____，，110110°°5555°°3535°°∠PBC= ____.∠PBC= ____.∠ABC∠PBC∠ABC请说明理由．请说明理由．AO OBO OB BC C∠AOC∠AOC为为∠∠AOBAOB和和∠∠BOCBOC的和的和 记作记作∠∠AOC =∠AOB+∠BOCAOC =∠AOB+∠BOCO OC CB BAO OB∠AOC∠AOC为为∠∠AOBAOB和和∠∠BOCBOC的差的差 记作记作∠∠AOC =∠AOB-∠BOCAOC =∠AOB-∠BOC若若∠∠AOB=45°,∠ ∠BOC=30°,则则∠∠AOC＝＝______(1)∠ ∠AOC＝＝ ∠∠AOB+∠ ∠BOC=____, (2) ∠ ∠AOC＝＝ ∠∠AOB-∠ ∠BOC=____.顶顶点点与与一一边边重重合合75°15°分类讨论分类讨论如如图8，直，直线AB与与CD相交于点相交于点O，，∠∠AOE＝＝90°，，∠∠COF＝＝90°.(1)图中中∠∠AOF的余角是的余角是____________ __________________(把符合条件的角都填把符合条件的角都填出来出来)；；图8(2)图中除直角相等外，中除直角相等外，还有相等的角，有相等的角，请写出两写出两对：：_________________________________________________．．(3)如果如果∠∠AOD＝＝140°，那么根据，那么根据____________________，可，可得得∠∠BOC＝＝________．如果．如果∠∠AOF＝＝70°，可得，可得∠∠DOB＝＝_______．．∠∠EOF，，∠∠DOB，，∠∠AOC∠∠AOC＝＝∠∠BOD，，∠∠AOD＝＝∠∠BOC(答案不唯一答案不唯一)同角的补角相等同角的补角相等140°20° 如如图9所示，已知直所示，已知直线AB上一点上一点O，，∠∠AOD＝＝44°，，∠∠BOC＝＝32°，，∠∠EOD＝＝90°，，OF平分平分∠∠COD，求，求∠∠FOD与与∠∠EOB的度数．的度数．【【解析解析】】 充分运用角平分充分运用角平分线，平角，互，平角，互为余角，互余角，互为补角的概念角的概念进行解行解答．答．图9已知已知∠∠α和和∠∠β互互为补角，并且角，并且∠∠β的一半比的一半比∠∠α小小30°，，求求∠∠α，，∠∠β.图10解解：设：设∠∠COD为为x，，∵∠∵∠EOF＝＝140°，，∴∠∴∠EOD＋＋∠∠FOC＝＝140°－－x.∵∵OF平分平分∠∠BOC，，OE平分平分∠∠AOD，，∴∠∴∠BOC＋＋∠∠AOD＝＝2(140°－－x)．．∵∵绕点绕点O一周的角度是一周的角度是360°，，∴∴有有2(140°－－x)＋＋100°＋＋x＝＝360°.解得解得x＝＝20°，，∴∠∴∠COD＝＝20°.如如图10，从点，从点O引出引出6条射条射线OA，，OB，，OC，，OD，，OE，，OF，且，且∠∠AOB＝＝100°，，OF平分平分∠∠BOC，，∠∠AOE＝＝∠∠DOE，，∠∠EOF＝＝140°，求，求∠∠COD的度数．的度数．交流总结交流总结本节课学会了：本节课学会了：1、两根线段的和差仍然是线段 两角的和与差仍是一个角，2、会进行有关线段、角的简单的推理说明1 1、如图，、如图，OCOC平分平分∠∠AOBAOB，下列说法错误的是，下列说法错误的是( )( ) A.∠1=∠2 B. ∠AOB=2∠1 A.∠1=∠2 B. ∠AOB=2∠1 C.∠1+∠2=∠AOB D. ∠1=∠AOB C.∠1+∠2=∠AOB D. ∠1=∠AOBAOBC122 2、下列说法中正确的是、下列说法中正确的是( ) ( ) A A 两个角的和为两个角的和为180180°°，那么这两个角都是直角，那么这两个角都是直角B B 一个钝角一定大于一个锐角一个钝角一定大于一个锐角C C 大于大于9090°°的角叫做钝角的角叫做钝角D D 钝角与锐角的差为钝角与锐角的差为9090°°课堂检测课堂检测DB3 3、根据图形填空、根据图形填空（（1 1））∠∠AOC=∠AOB -____ = ____ -∠CODAOC=∠AOB -____ = ____ -∠COD CADBO(2)(2)若若∠∠AOC=30AOC=30°°，，∠∠BOC=80BOC=80°°，射线，射线OCOC平分平分∠∠AODAOD，， 则则∠∠COD=______,∠BOD=______,COD=______,∠BOD=______,并说明理由．并说明理由．∠BOC∠BOC∠AOD∠AOD3030°°5050°°。