第16节 解析几何中的融合创新问题题型分析 解析几何中的融合创新问题主要有以下几个方面:(1)与圆锥曲线有关的新定义问题;(2)圆锥曲线与数列的交汇问题;(3)圆锥曲线与导数的交汇问题. 题型一 与圆锥曲线有关的新定义问题例1 (2025·石家庄调研)在平面直角坐标系xOy中,重新定义两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的“距离”为|AB|=|x2-x1|+|y2-y1|,我们把到两定点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0)的“距离”之和为常数2a(a>c)的点的轨迹叫“椭圆”.(1)求“椭圆”的方程;(2)根据“椭圆”的方程,研究“椭圆”的范围、对称性,并说明理由;(3)设c=1,a=2,作出“椭圆”的图形,设此“椭圆”的外接椭圆为C,C的左顶点为A,过F2作直线交C于M,N两点,△AMN的外心为Q,求证:直线OQ与MN的斜率之积为定值.(1)解 设“椭圆”上任意一点为P(x,y),则|PF1|+|PF2|=2a,即|x+c|+|y|+|x-c|+|y|=2a,即|x+c|+|x-c|+2|y|=2a(a>c>0),所以“椭圆”的方程为|x+c|+|x-c|+2|y|=2a(a>c>0).(2)解 由方程|x+c|+|x-c|+2|y|=2a,得2|y|=2a-|x+c|-|x-c|,因为|y|≥0,所以2a-|x+c|-|x-c|≥0,即2a≥|x+c|+|x-c|,所以x≤-c,-x-c-x+c≤2a或-c0恒成立,则y1+y2=-2mm2+3,y1y2=-3m2+3,因为AM的中点为x1-22,y12,kAM=y1x1+2=y1my1+3,所以直线AM的中垂线的方程为y=-my1+3y1x-y1,同理直线AN的中垂线的方程为y=-my2+3y2x-y2,设Q(x0,y0),则y1,y2是方程y0=-my+3yx0-y的两根,即y1,y2是方程y2+(mx0+y0)y+3x0=0的两根,所以y1+y2=-(mx0+y0),y1y2=3x0,又因为y1+y2=-2mm2+3,y1y2=-3m2+3,所以-(mx0+y0)=-2mm2+3,3x0=-3m2+3,两式相比得-mx0-y03x0=2m3,所以y0x0=-3m,所以kMN·kOQ=y0x0·1m=-3,所以直线OQ与MN的斜率之积为定值-3.思维建模 1.题干中定义“椭圆”的距离:|AB|=|x2-x1|+|y2-y1|称为曼哈顿距离,平面内到一个定点的曼哈顿距离等于定值的点的轨迹是一个正方形,到两个定点的距离之和等于定值的点的轨迹是一个六边形.2.解决与曼哈顿距离有关的问题一般要利用绝对值的意义求解.训练1 (2024·武汉模拟)已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,若△ABC的三个顶点都在抛物线E上,且满足FA+FB+FC=0,则称该三角形为“核心三角形”.(1)设“核心三角形ABC”的一边AB所在直线的斜率为2,求直线AB的方程;(2)已知△ABC是“核心三角形”,证明:△ABC三个顶点的横坐标都小于2.(1)解 设直线AB的方程为y=2x+t,与y2=4x联立得y2-2y+2t=0,由Δ=4-8t>0得t<12,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则y1+y2=2,y1y2=2t,所以x1+x2=12(y1+y2-2t)=1-t,由题意知F(1,0),因为FA+FB+FC=0,FA=(x1-1,y1),FB=(x2-1,y2),FC=(x3-1,y3),F为△ABC的重心,所以(x1+x2+x3-3,y1+ y2+y3)=(0,0),所以x1+x2+x3=3,y1+y2+y3=0,故x3=3-(1-t)=t+2,y3=-2,即点C的坐标为(2+t,-2),代入抛物线E的方程得4=4(2+t),解得t=-1,满足条件t<12,所以直线AB的方程为2x-y-1=0.(2)证明 设直线BC的方程为x=my+n,与y2=4x联立得y2-4my-4n=0,Δ=16(m2+n)>0,所以n>-m2,y2+y3=4m,y2y3=-4n,所以x2+x3=m(y2+y3)+2n=4m2+2n.由(1)知x1+x2+x3=3,y1+y2+y3=0,所以x1=3-4m2-2n,y1=-4m,即点A的坐标为(3-4m2-2n,-4m).又点A在抛物线y2=4x上,所以16m2=4(3-4m2-2n),所以n=32-4m2,又n>-m2,所以m2<12,所以点A的横坐标3-4m2-2n=4m2<2,同理可证,B,C两点的横坐标也小于2.所以△ABC三个顶点的横坐标均小于2.题型二 圆锥曲线与数列、导数的交汇问题例2 (2024·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C:x2-y2=m(m>0),点P1(5,4)在C上,k为常数,0
