离散课后习题问题详解4.doc

word第十章局部课后习题参考答案4．判断如下集合对所给的二元运算是否封闭：〔1〕整数集合Z 和普通的减法运算封闭,不满足交换律和结合律，无零元和单位元〔2〕非零整数集合普通的除法运算不封闭〔3〕全体n× n实矩阵集合〔R〕和矩阵加法与乘法运算，其中n2封闭均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律；加法单位元是零矩阵，无零元；乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵；〔4〕全体n× n实可逆矩阵集合关于矩阵加法与乘法运算，其中n2不封闭运〔5〕正实数集合和算，其中运算定义为： / 不封闭因为1�1= 1× 1− 1− 1= −1∉+R关〔6〕n于普通的加法和乘法运算封闭，均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律加法单位元是0，无零元；n乘法无单位元〔> 1〕，零元是0；= 1单位元是1n运n〔7〕A={a1,a2,⋯,a}n 算定义如下：封闭不满足交换律，满足结合律，关〔8〕S= 于普通的加法和乘法运算封闭均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律〔9〕S={0,1},S是关于普通的加法和乘法运算加法不封闭，乘法封闭；乘法满足交换律，结合律〔10〕S= ,S关于普通的加法和乘法运算加法不封闭，乘法封闭，乘法满足交换律，结合律5．对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律，结合律，分配律。

见上题17．设* 为Z+ 上的二元运算∀ ,+xy∈ Z，X * Y = min ( x，y ),即x和y之中较小的数.(1)求4 *6，7 *34,3(2)* 在Z+ 上是否适合交换律，结合律，和幂等律？满足交换律，结合律，和幂等律(3)求*运算的单位元，零元与Z+ 中所有可逆元素的逆元<单位元无，零元1, 所有元素无逆元8．S=Q× Q为有理数集，*为S上的二元运算， a,b>, S有Q< a，b>* = 〔1〕*运算在S上是否可交换，可结合？是否为幂等的？不可交换：*= ≠ < a，b>*可结合：(*)*=*=*(*)=*=(*)*=*(*)不是幂等的〔2〕*运算是否有单位元，零元？如果有请指出，并求S中所有可逆元素的逆元设是单位元，S ，*=*=如此==，解的=<1,0>，即为单位。

>>设是零元，S ，*=*=如此==，无解即无零元>>S，设是它的逆元*=*=<1,0>==<1,0>a=1/x,b=-y/x所以当x≠ 0时，< ,x−1=>y1,− y xx分10．令S={a，b}，S上有四个运算：*，别有表确定2(a) (b) (c) (d)(1)这4个运算中哪些运算满足交换律，结合律，幂等律？(a) 交换律，结合律，幂等律都满足，零元为a,没有单位元；(b)满足交换律和结合律，不满足幂等律，单位元为a,没有零元−1=−1a= a, bb(c)满足交换律,不满足幂等律,不满足结合律(a�b�b)= a�a= b,(a�b�b)≠ (a�b)�b(a�b)�b= a�b= a没有单位元, 没有零元(d) 不满足交换律，满足结合律和幂等律没有单位元, 没有零元(2)求每个运算的单位元，零元以与每一个可逆元素的逆元见上16．设V=〈N，+ ，〉，其中+ ，分别代表普通加法与乘法，对下面给定的每个集合确定它是否构成V的子代数，为什么？〔1〕S1=是〔2〕S2=不是加法不封闭〔3〕S3= {-1，0，1} 不是，加法不封闭第十一章局部课后习题参考答案为8.设S={0，1，2，3}，模4乘法，即"∀ x,y∈S, xy=(xy)mod 4〉问〈S，是否构成群？为什么？y解：(1)∀ x,y∈S, x =(xy)mod 4∈ S, 是S上的代数运算。

2)∀ x,y,z∈S,设xy=4k+r0≤ r≤ 3y(x)z =((xy)mod 4)z=rz=(rz)mod4=(4kz+rz)mod4=((4k+r)z)mod4 =(xyz)mod43(3)同理xyz)=(xyz)mod4(y(所以，(x)z = xyz)，结合律成立x∀ x∈S, (x 1)=(1 )=x,，所以1是单位元4)1−1= 1,3−1= 3,0和2没有逆元〉所以，〈S，不构成群9.设Z为整数集合，在Z上定义二元运算如下："∀ x,y∈Z,xoy=x+y-2问Z关于o运算能否构成群？为什么？解：(1)∀ x,y∈Z, xoy= x+y-2∈Z,o是Z上的代数运算2)∀ x,y,z∈Z,(xoy) oz =(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4 同理(xoy)oz=xo(yoz)，结合律成立3)设e是单位元，∀ x∈Z,xoe=ox=x,即x+ -2=ee+x-2=x, e=2e(4)∀ x∈Z , 设x的逆元是y, xoy= yox=e, 即x+y-2=y+x-2=2,所以，−1=xy= 4− x所以〈Z，o〉构成群⎧⎛ 10⎞ ⎛ 10⎞ ⎛ − 10⎞ ⎛ − 10⎞⎫1G=⎨⎜⎟,⎜⎟, ⎜⎟, ⎜⎟⎬ ，证明G关于矩阵乘法构成一个群．⎠⎩⎝ 0⎟ ⎝ 0− 1⎠ ⎝ 01⎠ ⎝ 0− 1⎠⎭解：(1)∀ x,y∈G, 易知xy∈G,乘法是Z上的代数运算。

2) 矩阵乘法满足结合律⎜(3)设⎛ 1⎝ 00⎞⎟ 是单位元，1⎠(4)每个矩阵的逆元都是自己所以G关于矩阵乘法构成一个群．G为群，且存在a∈G,使得 G={ak∣k∈Z}证明：G是交换群4证明:∀ x,y∈G，设x= ak,y= al，如此xy= akal=k+la== al+ k= alak= yx所以，G是交换群17.设G为群，证明e为G中唯一的幂等元证明:设e0∈ G也是幂等元，如此2e0=，即2=，由消去律知 =e0e0e0ee0e18.设G为群，a,b,c∈G,证明∣abc∣=∣bca∣=∣cab∣证明：先证设(abc)k= e⇔ (bca)k= ee设(abc)k=,如此(abc)(abc)(abc)⋯(abc)= e，即( )( ( ⋯−1=abcabca)bca)(bca)ae左边同乘−1，右边同乘得aaaaabc( )( )(bcbcbc)⋯( a)= (bac)k=−1eaea= ee反过来，设(bac)k=,如此(abc)k= .由元素阶的定义知，∣abc∣=∣bca∣，同理∣bca∣=∣cab∣19.证明：偶数阶群G必含2阶元证明：设群G不含2阶元，∀a∈ G，当= e时，a是一阶元，当a≠ e时，a至少是3阶元,因为群G时有限阶的，所以是有限阶的，设是k阶的,如此aaa−1也是k阶的，所以a高于3阶的元成对出现的，G不含2阶元，G含唯一的1阶元,这与群G是偶数阶的矛e盾。

所以，偶数阶群G必含2阶元20.设G为非Abel群，证明G中存在非单位元a和b,a≠b,且ab=ba. 证明：先证明G含至少含3阶元假如G只含1阶元,如此G={e},G为Abel群矛盾；假如G除了1阶元e外,其余元均为2阶元，如此2=aa，−1=2eaa∀ , ∈, −1=, −1= ,()−1=,所以=−1−1=−1=，abGaabbabababab(ba) ba与G为Abel群矛盾；a2所以，G含至少含一个3阶元，设为a，如此≠ a，且2aa= aa5令=2的证ba21.设G是Mn(R)上的加法群，n≥2，判断下述子集是否构成子群〔1〕全体对称矩阵是子群〔2〕全体对角矩阵是子群〔3〕全体行列式大于等于0的矩阵. 不是子群〔4〕全体上〔下〕三角矩阵是子群−122.设G为群，a是G中给定元素，a的正规化子N〔a〕表示G中与a可交换的元素构成的集合，即N〔a〕={x∣x∈G∧xa=ax}e证明N〔a〕构成G的子群证明：ea=ae,∈ N(a)≠ö∀ , ( ), 如此,xy∈ Naax= xaay= yaa(xy)= (ax)y= (xa)y=x(ay)=x(ya)= (xy)a,所以∈( )N axy由ax= xa，得−1−1xaxx=−1xxax−1,−1=xaeeax−1，即−1=−1，所以xaaxx∈ N(a)所以N〔a〕构成G的子群31.设1是群G1到G2的同态，2是G2到G3的同态，证明1�ϕϕϕϕ2是G1到G3的同态。

证明：有 1是G1到G2的函数， 2是G2到G3的函数，如此 1·2是G1到G3的函数ϕϕϕϕ∀( 1�ϕ 2)(ab)= ϕ 2(1(ab))= ϕ 2(1(a)1( ))2= ( (ϕ ϕϕϕ2。