梯形知识讲解.docx

名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -梯形（提高）【学习目标】1．懂得梯形的有关概念，懂得直角梯形和等腰梯形的概念．2．把握等腰梯形的性质和判定．3．初步把握讨论梯形问题时添加帮助线的方法，使问题进行转化．4. 娴熟运用所学的学问解决梯形问题．5. 把握三角形，梯形的中位线定理 .【要点梳理】学问点一、梯形的概念一组对边平行， 另一组对边不平行的四边形叫梯形 . 在梯形中， 平行的两边叫做梯形的底，较短的底叫做上底， 较长的底叫做下底， 不平行的两边叫做梯形的腰， 夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高，一腰和底的夹角叫做底角 .要点诠释：（ 1）定义需要满意三个条件：①四边形；②一组对边平行；③另一组对边不平行 .（ 2）有一组对边平行的四边形有可能是平行四边形或梯形， 关键在于另一组对边的位置或者数量关系的不同 . 梯形只有一组对边平行，而平行四边 形两组对边都平行； 平行四边形中平行的边必相等， 梯形中平行的一组对边必不相等 .（ 3）在识别梯形的两底时， 不能仅由两底所处的位置打算， 而是由两底的长度来打算梯形的上、下底 .学问点二、等腰梯形的定义及性质1. 定义： 两腰相等的梯形叫等腰梯形 .2. 性质：（ 1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等 .（ 2）等腰梯形的两条对角线相等 .要点诠释： （ 1）等腰梯形是特殊的梯形，它具有梯形的全部性质 .（ 2）由等腰梯形的定义可知：等腰相等，两底平行 .（ 3）等腰梯形同一底上的两个角相等， 这是等腰梯形的重要性质， 不仅是“下底角”相等，两个“上底角”也是相等的 .学问点三、等腰梯形的判定1. 用定义判定： 两腰相等的梯形是等腰梯形 .2. 判定定理： （1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形 .（ 2）对角线相等的梯形是等腰梯形 .学问点四、帮助线梯形问题经常是通过作帮助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以讨论， 一些常用的帮助线做法是：方法 作法 图形 目的平平移一腰移过一顶点作一腰的平行线过一腰中点作另一腰的平行线分解成一个平行四边形和一个三角形构造出一个平行四边形和一对全等的三角形 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -平移对角线过一顶点作一条对角线的平行线构造出平行四边形和一个面积与梯形相等的三角形过一底边的端点作另一底作高边的垂线构造出一个矩形和两个直角三角形；特殊对于等腰梯形，两个直角三角形全等延长两腰延长延长梯形的两腰使其交于一点构成两个外形相同的三角形延 长 顶 点 和 一 连接一顶点和一腰的中点 构造一对全等的三角形，将梯腰中点的连线并延长与底边相交形作等积变换学问点五、三角形、梯形的中位线联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 .三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半 .联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线 .梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 .【典型例题】类型一、梯形的运算1、如下列图，梯形 ABCD中， AD∥ BC，AD＝ 1， BC＝ 4， AC＝ 3，BD＝ 4，求梯形 ABCD的面积．【思路点拨】 欲求梯形 ABCD 的面积，已知 AD ＝ 1， BC ＝ 4，只要求出梯形 ABCD 的高，过 D 作 DE ∥ AC 交 BC 的延长线于 E，就四边形 ACED 为平行四边形，从而 AD ＝ CE，即得 S梯形 ABCDS△ BDE ，故只要求出S△ BDE 即可．【答案与解析】解：过点 D作 DE∥ AC，交 BC延长线于 E，作 DF⊥ BC于 F，∵ AD ∥ BC，∴ 四边形 ACED是平行四边形．∴ DE ＝ AC＝ 3， CE＝ AD＝ 1．2222222∴ BE ＝ BC＋ CE＝ 4＋ 1＝5．2∵ BD＋ DE＝ 4 ＋ 3＝ 25，BE＝ 25，即 BD＋ DE＝ BE ．∴ △BDE为直角三角形，∠ BDE＝ 90°．∴ S梯形 ABCD1 〔 AD BC 〕 g DF 1 〔BC CE 〕g DF2 2 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -1 BE g DF 1 BD g DE 1 4 3 6 ．2 2 2【总结升华】 已知梯形两底求梯形面积的方法， 通常是过梯形上底的一个顶点作对角线的平行线，把求梯形面积转化成求等面积的三角形面积．举一反三：【变式】如下列图，在梯形 ABCD中， CD∥ AB， AD＝ CD＝ 3， BC＝ 4， AB＝8，求梯形 ABCD的 面积．【答案】解：过点 C 作 CM∥ AD交 AB于 M，作 CN⊥ AB 于 N．∵ AD ＝ CD＝ 3， CD∥ AB∴ 四边形 ADCM是菱形，∴ CM＝ AM＝ AD＝ 3．∵ AB ＝ 8，∴ BM ＝ 5．2 2 2 2 2∵ CM ＋BC＝ 3 ＋ 4 ＝25， BM＝ 25．2 2 2即 CM ＋ BC ＝ BM，∴ ∠ BCM＝90°．∵ S△ BCM1 BCgCM1 BMg CN ，2 21 1∴ 4 3 52 2CN ，解得： CN＝ 12 ，5∴ S 1 〔CD AB〕gCN1 〔3 8〕12 66 ．梯形 ABCD类型二、梯形的证明2 2 5 52 、 已 知 梯 形 ABCD 中 ， ∠ B ＋ ∠ C＝ 90 ° ， EF 是 两 底 中 点 的 连 线 ， 试 说 明EF 1 〔 BC AD〕 ．2【思路点拨】 由∠ B+∠ C＝90°，可延长 BA 、CD 交于一点 G，构成直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线的性质得出结论，也可以通过平移两腰，把∠ B、∠ C 移到同一个直角三角形中．【答案与解析】解：如下列图，延长 BA、CD交于 G，连接 GE、GF．∵ ∠B＋∠ C＝90°，∴ ∠ BGC＝ 90°．∵ E 、 F 分别为 AD、 BC的中点， 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -∴ GE＝ AE＝1 1AD， FG＝ BF＝ BC2 2∴ ∠AGE＝∠ 1，∠ BGF＝∠ B．∵ AD ∥ BC，∴ ∠ 1＝∠ B，∴ ∠AGE＝∠ BGF．∴ GE 、GF重合，∴ EF ＝ GF－ GE＝ 1 〔BC－ AD〕．2【总结升华】 此题是依据∠ B+ ∠ C＝ 90°，构造一个直角三角形，应用“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”使问题得到解决．3、 如下列图，梯形 ABCD中， AD∥ BC，M是 AB的中点， DM平分∠ ADC，CM平分∠ BCD．求证： 〔1〕S△ DMC1 S ；〔2〕DC ＝AD＋ BC．梯形 ABCD2【答案与解析】证明：方法一： 〔1〕 如图①所示，延长 DM、CB交于点 E．∵ AD ∥ BC，∴ ∠DAM＝∠ EBM，∠ ADM＝∠ BEM．又∵ AM ＝ MB，∴ △ADM≌△ BEM，∴ DM＝ EM，∴S△ DMCS△ EMC ， S△ ADMS△ BEM ，∴ S 1 S 1 〔 S S 〕22△ DMC△ DEC△ EBM四边形 MBCD1 〔S S 〕 1 S ．△ ADM四边形 MBCD梯形 ABCD2 2〔2〕 ∵ DM 平分∠ ADC， CM平分∠ BCD， AD∥BC，∴ ∠MDC＋∠ MCD＝ 90°，∴ ∠CMD＝ 90°，而 DM＝ EM，∴ CD ＝ CE＝ CB＋ BE． 又由 〔1〕 得△ ADM≌△ BEM，∴ AD ＝ EB，即 CD＝ AD＋CB．方法二： 〔1〕 如图②所示，在 DC上取 DE＝ AD，连接 ME．∵ AD ∥ BC，∴ ∠BCD＋∠ ADC＝ 180°． 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -又∵ DM 平分∠ ADC， CM平分∠ BCD，∴ ∠MDC＋∠ MCD＝ 90°，∴ ∠DMC＝ 90°，∴ ∠1＋∠ 3＝90°．∠ 2＋∠ 4＝90°．∵ DM＝ DM，∠ ADM＝∠ EDM，∴ △ADM≌△ EMD，∴ ∠1＝∠ 2，∠ 3＝∠ 4．又 CM＝ CM，∠ MCB＝∠ MCE，∴ △BMC≌△ EMC，∴ S1 S ．△ DMC2 梯形 ABCD〔2〕 由〔1〕 得△ ADM≌△ EDM，△ BMC≌△ EMC．∴ AD ＝ DE， BC＝ CE，∴ DC ＝ DE＋ CE＝ AD＋ BC【总结升华】 〔1〕 由梯形的一腰的两个顶点与另一腰中点构成的三角形面积为梯形面积的一半． 〔2〕 从条件中角平分线和结论 DC＝AD＋ BC可联想截长补短法解决问题．类型三、三角形、梯形的中位线4、如下列图，在△ ABC中， M 为 BC的中点， AD为∠ BAC的平分线， BD⊥AD于 D， AB＝12， AC＝18，求 MD的长．【思路点拨】 此题中所求线段 MD 与已知线段 AB 、 AC 之间没有什么联系，但由 M 为 BC的中点联想到中位线，另有 AD 为角平分线和垂线，依据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形 ABN ， D 为 BN 的中点， DM 即为中位线，不难求出 MD 的长度．【答案与解析】解：延长 BD交 AC于点 N．∵ AD 为∠ BAC的角平分线，且 AD⊥ BN，∴ ∠BAD＝∠ NAD，∠ ADB＝∠ ADN＝90°， 又∵ AD 为公共边，∴ △ ABD≌△ AND〔ASA〕∴ AN ＝ AB＝ 12， BD＝ DN．∵ 。