版高考数学一轮复习 核心素养测评十九 定积分与微积分基本定理 理 北师大版 试题.doc

核心素养测评十九 定积分与微积分基本定理(25分钟　50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.01 (x+ex)的值为 (　　)　A.e B.e+12C.e-12 D.e+1【解析】选C.01 (x+ex)dx=12x2+ex01=12+e-1=e-12.【变式备选】-11 e|x|dx的值为 (　　)A.2　　B.2e　　C.2e-2　　D.2e+2【解析】选C.-11 e|x|dx=-10 e-xdx+01 exdx=-e-x-10+ex01=[-e0-(-e)]+(e-e0)=-1+e+e-1=2e-2.2.已知f(x)=x3-x+sin x,则-22 f(x)dx的值为 (　　)A.等于0 B.大于0C.小于0 D.不确定【解析】选A.由题意得,函数f(x)=x3-x+sin x是奇函数,所以-22 f(x)dx=0.【变式备选】已知f(x)为偶函数且06 f(x)dx=8,则-66 f(x)dx等于 (　　)A.0　　　　B.4　　　　C.8　　　　D.16【解析】选D.-66 f(x)dx=-60 f(x)dx+06 f(x)dx,因为f(x)为偶函数,所以f(x)的图像关于y轴对称,故-66 f(x)dx=206 f(x)dx=28=16.3.设f(x)=x2,x∈[0,1],2-x,x∈(1,2],则02 f(x)dx等于 (　　)A.34　　 B.45　　 C.56　　 D.不存在【解析】选C.02 f(x)dx=01 x2dx+12 (2-x)dx=13x301+2x-12x212=13+4-2-2+12=56.4.函数y=x2-1的图像如图所示,则阴影部分的面积是 (　　)A.01 (x2-1)dxB.02 (x2-1)dxC.02 |x2-1|dxD.01 (x2-1)dx+12 (1-x2)dx【解析】选C.所求面积为01 (1-x2)dx+12 (x2-1)dx=02 |x2-1|dx.5.如图四边形OABC是边长为2的正方形,曲线段DE所在的曲线方程为xy=1,现向该正方形内抛掷1枚豆子,则该枚豆子落在阴影部分的概率为 (　　)A.3-2ln24　　　　　　 B.1+2ln24C.5-2ln24　 D.-1+2ln24【解析】选A.根据条件可知,E12,2,阴影部分的面积为122 2-1xdx=(2x-ln x)122=3-2ln 2,所以豆子落在阴影部分的概率为3-2ln24.6.(2020渭南模拟)一物体在变力F(x)=5-x2(力单位:N,位移单位:m)作用下,沿与F(x)成30方向作直线运动,则由x=1运动到x=2时,F(x)做的功为 (　　)A.3J B.233JC.433J D.23J【解析】选C.变力F在位移方向上的分力为Fcos 30,故F(x)做的功为W=12 (5-x2)cos 30dx=3212 (5-x2)dx=325x-13x312=433(J).7.已知图中的三条曲线所对应的函数分别为y1=1x(x>0),y2=x,y3=14x,则阴影部分的面积为 (　　)A.1+ln 2 B.ln 2 C.1 D.2【解析】选B.由y=1xy=x得x=1;由y=1xy=x4得x=2.阴影部分的面积S=01 x-x4dx+12 1x-x4dx=01 3x4dx+12 1xdx-12 x4dx=34x2201+ln x12-14x2212=ln 2.二、填空题(每小题5分,共15分)8.计算:01 1-(x-1)2dx=________________.【解析】根据定积分的几何意义,可知01 1-(x-1)2dx表示的是圆(x-1)2+y2=1的面积的14(如图中阴影部分).故01 1-(x-1)2dx=π4.答案:π49.已知m=-π2π2 (cos x-x+3sin2x)dx,则x-12x3m的展开式中,常数项为________________.【解析】m=-π2π2 (cos x-x+3sin 2x)dx=sinx-x22-3cos2x2-π2π2=2,所以x-12x3m=x-12x6,所以Tr+1=C6rx6-r-12xr=C6rx6-32r-12r,由6-32r=0得r=4,因此常数项为C64-124=1516.答案:151610.射线y=4x(x≥0)与曲线y=x3所围成的图形的面积为________________. 【解析】将射线方程与曲线方程联立y=4xy=x3,解得:x1=0y1=0,x2=2y2=8,即射线y=4x(x≥0)与曲线y=x3有两个公共点,所围成的图形的面积为02 (4x-x3)dx=2x2-14x402=4.答案:4【变式备选】记曲线y=x与直线x=2,y=0所围成封闭图形的面积为S,则S=__________.【解析】S=02 xdx=23x3202=423.答案:423(15分钟　35分)1.(5分)(2020黄冈模拟)已知函数f(x)=sin(x-φ),且02π3 f(x)dx=0,则函数f(x)的图像的一条对称轴是 (　　)A.x=5π6 B.x=7π12C.x=π3 D.x=π6【解析】选A.函数f(x)的对称轴为x-φ=π2+k1π⇒x=φ+π2+k1π,因为02π3 sin(x-φ)dx=0⇒-cos2π3-φ+cos φ=0⇒sinπ3-φ=0,所以π3-φ=k2π⇒φ=π3-k2π,即对称轴x=φ+π2+k1π=5π6-k2π+k1π(k1,k2∈Z),则x=5π6是其中一条对称轴.【变式备选】(2019日照模拟)在函数y=cos x,x∈-π2,π2的图像上有一点P(t,cos t),若该函数的图像与x轴、直线x=t围成图形(如图阴影部分)的面积为S,则函数S=g(t)的图像大致是 (　　)【解析】选B.因为S=g(t)=-π2t cos xdx=sin t+1,所以图像是B.2.(5分)一物体在力F(x)=5,0≤x≤2,3x+4,x>2(单位:N)的作用下沿与力F相同的方向,从x=0处运动到x=4(单位:m)处,则力F(x)做的功为________________J.【解析】由题意知,力F(x)所做的功为W=04 F(x)dx=02 5dx+24 (3x+4)dx=52+32x2+4x24=10+3242+44-3222+42=36(J).答案:363.(5分)已知函数f(x)=-x3+ax2+bx(a,b∈R)的图像如图所示,它与x轴在原点处相切,且x轴与函数图像所围区域(图中阴影部分)的面积为112,则a的值为________________.【解析】f′(x)=-3x2+2ax+b,因为f′(0)=0,所以b=0,所以f(x)=-x3+ax2,令f(x)=0,得x=0或x=a(a<0).S阴影=-a0 (-x3+ax2)dx=112a4=112,所以a=-1.答案:-14.(10分)已知曲线C1:y2=2x与C2:y=12x2在第一象限内的交点为P.(1)求P处与曲线C2相切的直线方程.(2)求两条曲线所围图形(如图所示阴影部分)的面积S. 【解析】(1)曲线C1:y2=2x与C2:y=12x2在第一象限内交点为P(2,2).C2:y=12x2的导数y′=x, y′|x=2=2,而切点的坐标为(2,2),所以曲线C2:y=12x2在P处的切线方程为y-2=2(x-2),即2x-y-2=0.(2)由曲线C1:y2=2x与C2:y=12x2可得两曲线的交点坐标为(0,0),(2,2),所以两条曲线所围图形的面积S=02 2x-12x2dx=223x32-16x302=43.【变式备选】求由抛物线y2=2x与直线y=x-4围成的平面图形的面积.【解析】如图所示,解方程组y2=2xy=x-4得两交点的坐标分别为(2,-2),(8,4).方法一:选取横坐标x为积分变量,则图中阴影部分的面积S可看作部分面积之和,即S=202 2xdx+28 (2x-x+4)dx=18.方法二:选取纵坐标y为积分变量,则图中阴影部分的面积S=-24 y+4-12y2dy=18.5.(10分)(1)求函数f(x)=x+2,-2≤x<0,2cosx,0≤x≤π2的图像与x轴所围成的封闭图形的面积.(2)求曲线y=x2,y=x及y=2x所围成的平面图形的面积. 【解析】(1)-20 (x+2)dx+π2 02cos xdx=12x2+2x-20+2sin x0π2=0-124-22+2=4.(2)曲线y=x2,y=x及y=2x所围成的平面图形的面积如图所示:由y=x2y=x,得A(1,1),又由y=x2y=2x,得B(2,4),所以S阴影=01 (2x-x)dx+12 (2x-x2)dx=12x201+x2-13x312=76.所求平面图形面积为76.(2020皖南八校联考)用min{a,b}表示a,b两个数中的最小值,设f(x)=min1x,xx≥14,则由函数f(x)的图像,x轴与直线x=14和直线x=2所围成的封闭图形的面积为________________.【解析】由题意,围成的封闭图形如图中阴影部分,由题意,S=141 xdx+12 1xdx=23x32141+ln x12=231-18+ln 2=712+ln 2.答案:712+ln 2。