D83一阶线性方程和伯努利方程.ppt

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一阶线性微分方程和伯努利方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8.3,8.3.1,一阶线性微分方程,8.3.2,伯努利方程,第八章,8.3.1,一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式,:,若,Q,(,x,),0,若,Q,(,x,),0,称为上述方程,一阶非齐次线性微分方程,.,1.,解一阶齐次线性微分方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称上述方程为,一阶齐次线性微分方程,;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对应齐次方程通解,一阶齐次线性微分方程通解,一阶非齐次线性微分方程特解,2.,解一阶非齐次线性微分方程,用,常数变易法,:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,1.,解方程,解,:,先解,即,积分得,即,用,常数变易法,求特解,.,令,则,代入非齐次的方程得,解得,故原方程通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8.3.2,伯努利,(Bernoulli),方程,伯努利方程的标准形式,:,令,求出此方程通解后,除方程两边,得,换回原变量即得伯努利方程的通解,.,解法,:,(,线性方程,),伯努利 目录 上页 下页 返回 结束,例,2.,求方程,的通解,.,解,:,这是,n,=2,的伯努利方程,令,代入原来已知方程得到,这是一阶线性微分方程，其通解为,将,代入,得原方程通解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,或,此外方程还有解,y,=0.,例,3.,解方程,解,若把所给方程变形为,即为一阶线性方程,则按一阶线性方程的解法可求得通解,.,也可用,变量代换,来解所给方程,:,令,则,代入原方程,得,分离变量得,常利用,变量代换,把微分方程化为可解的另一类微分方程。

两端积分得,以,代入上式,即得,或,内容小结,1.,一阶线性方程,方法,1,先解一阶齐次方程,再用常数变易法,.,方法,2,用通解公式,化为线性方程求解,.,2.,伯努利方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,判别下列方程类型,:,提示,:,可分离 变量方程,齐次方程,线性方程,线性方程,伯努利方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P357,1,(1),(3),(5),;,2,(1),(3);,3,(2).,作业,第五节 目录 上页 下页 返回 结束,(,雅各布第一,伯努利,),书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利,(1654 1705),瑞士数学家,位数学家,.,标和极坐标下的曲率半径公式,1695,年,版了他的巨著,猜度术,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式,.,年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多,1694,年他首次给出了直角坐,1713,年出,这是组合数学与概率论史,此外,他对,双纽线,悬链线和对数螺线都有深入的研究,.,。