2022年中考数学复习之小题狂练450题（选择题）：轨迹(含解析及考点卡片).pdf

2022年中考数学复习之小题狂练450题 （ 选择题） ：轨 迹 （10题）一 . 选 择 题 （ 共10小题）1. （ 2021 •吴兴区二模）如图，在等边三角形ABC中，A B = 3 ,点尸为BC边上一动点，连接 A P ,在 AP左侧构造三角形 A P ,使得NAOP= 120° , O A = O P .当点P 由点8 运动到点C 的过程中，点 O 的运动路径长为（ ）A .退 B . 遮 C .殂 D. «兀3 92. （ 2021秋•廉江市期末）如图，O O 的半径为2 , 点 C 是圆上的一个动点，轴，CB_Ly轴，垂足分别为A、B ,是 A 8 的中点，如果点C 在圆上运动一周，那么点运动过的路程长为（ ）4 23. （ 2021 秋•汉阳区校级月考）如图，RlA/lBC 中，/A = 90° , ZB=30° , A C = 1 ,将RtZVlBC延直线/ 由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动， 当A 第一次滚动到图2位置时，顶点A 所经过的路径的长为（ ）BBA C A C图1图2A. （ 4』）兀 B,（ 8+4愿） 兀 c . （ 4 + 5 « ）兀 D, （ 2 + « ） n6 3 64. （ 2021 •鞍山二模） 如图，抛物线y=与 x 轴交于A, C 两点，与 y 轴交于点B,点 P 为抛物线上一动点，过点P 作 PQ〃A 8交 y 轴于Q , 若点P 从点A 出发，沿着直线A 8上方抛物线运动到点8 , 则点。

经过的路径长为（ ）2 4 25. （ 2021•宁波模拟）如图，点 A, B 分别在x 轴，y 轴正半轴上（ 含坐标原点）滑动，且满足 0 4 + 0 8 = 6 ,点 C 为线段A B的中点， 将线段A C绕点A 顺时针旋转9 0 ° 得到线段AD,当A 由点0 向右移动时，点D移动的路径长为（ ）A. 3 B. 4 C. 3圾6. （ 2020•桂林）如图，已知源的半径为5 , 所对的弦4 B 长为8,D . ”2点 P 是源的中点，将第绕点A 逆时针旋转9 0 ° 后得到AB，, 则在该旋转过程中,B'一点P的运动路径长是（ ）A. B. C. 2yD. 2n27 .（ 2021・岳麓区校级一模） 如图， 在区d 4 0 8 中， /4 8 0 = 9 0 ° ,乙4 0 8 = 3 0 °,4 8 = 3 5 门,扇形AOC的圆心角为60° ,点 为同上一动点， 尸为线段8上的一点， 且 PB=2P£>,当点从点A 运动至点C , 则点尸的运动路径长为（ ）A. 4立兀_ B. 2返兀 C. 473 D. 3733 38. （ 2020•淄博）如图，放置在直线/ 上的扇形0 A 8 .由图①滚动（ 无滑动）到图②，再由图②滚动到图③. 若半径0A=2, NAOB=45° , 则点0所经过的运动路径的长是（ ）A. 2n+2 B. 3T C C. D. .^2L+22 29. （ 2019•武汉）如图，AB是。

的直径，M 、N 是 金 （ 异于A、B ）上两点，C 是第j上一动点，NACB的角平分线交于点Q , NBAC的平分线交8 于点E . 当点C 从点M运动到点N 时，则 C、E 两点的运动路径长的比是（ ）D410. （ 2021秋•市中区期中）如图，直 线 小y=x+ \与直线/2： y = L x d 相交于点P < - 1 >2 20） . 直线/ | 与 y 轴交于点A. 一动点C 从点A 出发，先沿平行于x 轴的方向运动，到达直 线 /2上的点8 i处后，改为垂直于x 轴的方向运动，到达直线/1上的点4处后，再沿平行于X轴的方向运动，到达直线/2上的点比处后，又改为垂直于X轴的方向运动，到达直线/1上的点& 处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点B 1 ，A l ，&，A2, 83, 4 3 ， … ，历014, A2014，…则当动点C到达A2021处时，运动D. 22022一22022年中考数学复习之小题狂练450题 （ 选择题） ：轨 迹 （10题）参考答案与试题解析选 择 题 （ 共 10小题）1. （ 2021•吴兴区二模）如图，在等边三角形ABC中，A B = 3 ,点 P 为 BC边上一动点，连接 A P ,在 4 P 左侧构造三角形O 4 P ,使得NAOP=120° , OA = O P .当点P 由点B 运动到点C 的过程中，点 。

的运动路径长为（ ）A. 士/ y B. V3 C. D .炳 冗3 9【 考点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；轨迹.【 专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；推理能力.【 分析】由题意，可知O 点的运动轨迹为线段 0 ' , 当 P 点在B 点时，ZOPC=90° ,当尸点在C 点时，NACO=30° ,则△0 4 7 是等边三角形，求出0 0 ， = 2 = 0 尸 =« ,即可求点的轨迹长.【 解答】解：如图，V ZACB=60° , ZAOC= 120° ,； .4 、0 、P、C 四点共圆，"：OA=OP, ZAOP=120° ,.•.NAPO=NOAP=30° ,V A0=A0-A ZACO= ZAPO=30° ,/. ZACO=AZACB=30° ,2. . . 点在/A C 3 的角平分线上运动，，点的运动轨迹为线段00',当尸点在B 点时，NOPC=90° ,当尸点在C 点时，ZACO=30° ,； ./O C B =30° ,"：AB=3,：.OP=CB-tan300 = 3 乂 返 = 西3\'OA = O'A, NAOO'=60° ,：.OO,=O8=OP=y/3,点 。

的运动路径长为、 门，故 选 : B.【 点评】本题考查点的运动轨迹，熟练掌握等边三角形的性质，由 P 点的运动情况确定0 点的运动轨迹是解题的关键.2. （ 2021秋•廉江市期末）如图，的半径为2 , 点 C 是圆上的一个动点，轴，CB轴，垂足分别为A、B , 力是AB的中点，如果点C 在圆上运动一周，那么点运动过的路程长为（ ）4 2【 考点】坐标与图形性质；圆周角定理；轨迹.【 专题】矩 形 菱 形 正 方 形 ；推理能力.【 分析】根据题意知四边形0 A C 8是矩形，可得点是对角线A B、0C的交点，即= l o c ,从而可知点D运动轨迹是一个半径为1圆，求得此圆周长即可.2二四边形O A C B是矩形，；£）为A B中点，. , . 点在A C上，且OZ） =』OC ,2：的半径为2 ,如果点C在圆上运动一周，那么点运动轨迹是一个半径为1圆，二点D运动过的路程长为2TT・1= 如 ，故选：D.【 点评】本题主要考查点的轨迹问题，矩形的判定和性质，根据四边形O A C B是矩形且D 为 A B中点判断出点D的运动轨迹是解决此题的关键.3 . （ 2 0 2 1秋•汉阳区校级月考）如图，R t A A B C中，ZA = 9 0 ° , ZB = 3 0 ° , A C = 1 ,将n △ A B C延直线/ 由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动， 当A第一次滚动到图2位置时，顶点A所经过的路径的长为（ ）图1 图2A.（ 4心冗 B,（ 8+4E）兀 c,（ 4+5«）兀 D.⑵后 n6 3 6【 考点】含 3 0 度角的直角三角形；轨迹.【 专题】几何综合题；推理能力.【 分析】点 A第一次滚动到图2位置时，共向右无滑动滚动三次，第一次滚动，圆心角为 1 2 0 ° ,半 径 为 1 ；第二次滚动，圆心角为1 5 0 ° ,半径为，§ ；第三次滚动，点 A没有移动，计算出每一次滚动点A经过的路径长再求出它们的和即可.【 解答】解：如图，A第一次滚动到图2位置时，共向右无滑动滚动三次，第一次滚动，圆心角为1 8 0 ° - 6 0 ° = 1 2 0 ° ,' ： AC=\,. . . 半径长为1 ,点 A经过的路径长为：! = " ；1 8 0 3第二次滚动，圆心角为1 8 0 ° - 3 0 ° = 1 5 0 ° ,•. •/ A = 9 0 ° , ZB = 3 0 ° , AC=1,. •. 8 C = 2 A C = 2 ,；• 4 2 =撤2 -AC 2={ _ ] 2 = & ,. •. 半径长为力,. •. 点A经过的路径长为：1 5 0义 兀 义 正 =W^ 兀 ，1 8 0 6第三次滚动，点 A没有移动，. •. 点A经过的路径长为0 ,当 A 第一次滚动到图2位置时，顶 点 A 所经过的路径的长为：竺 +殳 应 L + 0 =_3 6（ 4 + 5炳 ） 兀- - - - - - - - - - - - ,6故选：C.【 点评】此题考查点的运动轨迹、弧长的计算公式、直角三角形中3 0 °角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，解题的关键是确定滚动的次数和每一次滚动时的圆心角和半径.4. (2021 •鞍山二模) 如图，抛物线y = - /- 2 x + 3 与 x 轴交于A, C 两点，与 y 轴交于点B,点 P 为抛物线上一动点，过点P 作 尸 。

〃A 8交 y 轴于Q , 若点P 从点A 出发，沿着直线AB上方抛物线运动到点B , 则点Q 经过的路径长为( )2 4 2【 考点】 二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与X轴的交点；轨迹.【 专题】二次函数图象及其性质；推理能力.【 分析】分别求出点A、8 的坐标，运用待定系数法求出直线AB, P Q 的解析式，再求出它们与x 轴的交点坐标即可解决问题.【 解答】解：对于y= - ? - 2A-+3,令 x = 0 ,则 y=3,： .B (0, 3),令 y = 0 ,则 x= - 3 或 1,• . •点A 在点C 的左侧，( - 3, 0),设A B所在直线解析式为y^kx+ b,将 A、B 点代入得：1 3k+b=0,lb=3解得：卜 =1,lb=3直线AB的解析式为：y=x+3,'.'PQ//AB,・ ••设PQ的解析式为：・ ・•点经过的路径长是直线P Q经过抛物线的切点与y 轴的交点和点B的距离的2 倍，・ ・ ・方 程 - ？ - 2x+3=x+〃有两个实数根，A △ =9 - 4 （ 3） =0,解得：4： .Q （ 0 , 9） ，4当点P 与点A 重合时，点 。

与点3 重合时，此时点的坐 标 为 （ 0, 3） ,点 经过的路径长为2X 令.3） = 尚，故选：D.【 点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点，待定系数法求函数解析式，抛物线与直线的交点问题，点 Q 经过的路径长是直线P Q经过抛物线的切点与y 轴的交点和点B的距离的 2 倍是解题的关键.5. （ 2021•宁波模拟）如图，点A, B 分别在x 轴，y 轴正半轴上（ 含坐标原点）滑动，且满足 04+ 8 = 6 ,点 C 为线段A B的中点， 将线段A C绕点A 顺时针旋转9 0 °得到线段AD,当A 由点O 向右移动时，点D移动的路径长为（ ）【 考点】轨迹；坐标与图形变化- 旋转.【 专题】平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；推理能力.【 分析】分别讨论A 点在点处，A 点 在 （ 6, 0）处时，点 的位置，从而确定点的轨迹为线段，再结合图形即可求解.【 解答】解：如图，；0A + 0 B = 6,点 C 为线段4 8 的中点,； .AC=BC,由旋转可知，AC=AD,. . . 当A 点在点处时，C0=3,此时 D （ 3, 0） ,\"OA+ OB=6,： . Z B A O = 4 5Q ,当A 点 在 （ 6, 0）处时即©处，44， =3,V Z BAD'=90° ,A ZD'AA'=45 ° ,△ 44'D'为等腰直角三角形，： .AD'=3^2,. •. 点。

移动的路径长为3、 回，【 点评】本题考查点的运动轨迹，能够根据A 点运动情况确定点的运动轨迹，数形结合解题是关键.6. （ 2020•桂林）如图，已知篇的半径为5 , 所对的弦4B 长为8 , 点 P 是源的中点，将窟绕点A 逆时针旋转9 0 °后得到仄小，则在该旋转过程中，点 P 的运动路径长是（ ）A. B. C. 2yD. 2T T2【 考点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；轨迹；旋转的性质.【 专题】与圆有关的计算；运算能力；推理能力.【 分析】根据已知篇的半径为5 , 所对的弦4 B 长为8 , 点尸是源的中点，利用垂径定理可得AC=4, P O L A B ,再根据勾股定理可得A P的长，利用弧长公式即可求出点尸的运动路径长.【 解答】解：如图，设篇的圆心为连接OP, OA, AP', AP, AB,• . , 圆0 半径为5 , 所对的弦AB长为8 , 点 P 是源的中点，根据垂径定理，得4 c= LB=4, POLAB,2°C=VOA2-AC2 = 3 ,：.PC=OP - OC=5 - 3=2,.•.4P=MAC2+PC2=2 遥 ,• • •将会绕点A 逆时针旋转90。

后得到忘尸，A ZPAP' = NBAB' =90° ,. 3 = 9 -2员舟180则在该旋转过程中，点 P 的运动路径长是倔.故选：B.【 点评】本题考查了轨迹、垂径定理、勾股定理、圆心角、弧、弦的关系、弧长计算、旋转的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识.7 .（ 2021・岳麓区校级一模） 如图， 在 1^^4 8 中， 乙4 8 0 = 9 0 ° ,乙4 0 8 = 3 0 °,4 8 = 3 "\/巧 ,扇形AOC的圆心角为60° , 点 为AC上一动点， 尸为线段8上的一点， 且 PB=2P£>,当点D从点A 运动至点C ,则点P的运动路径长为（ ）A. 牛 B .当 … ・哂【 考点】含 30度角的直角三角形；圆周角定理；轨迹.【 专题】动点型；与圆有关的计算；推理能力.【 分析】如图，在 8 上 取 一 点 " ，使 得 BM =2O M ,连 接 PM, O D .利用平行线分线段成比例定理可得P M = 4 « ,点 P 在是以M 为圆心4 « 为半径的圆弧上运动. 求出圆心 角 /尸 'M P "即可解决问题.【 解答】解：如图，在 0 8 上取一点例，使得8M= 2。

例，连接PM, OD./、 / >< < ； \Ax \//B M O在 RtZsABC 中，V Z/IBC= 90° , NAOB=30° , A 8 = 3 « ,： . O A = 2 A B = 6 0,: BP=2PD, B M = 2 M O ,. 肚 =典 =2, *P D M O "J.PM//OD,• P M = B P = 2" O D B D 丁： .PM=2.OD=4\/3,3点 P 在是以M 为圆心4b为半径的圆弧上运动.当点与 A 重合时，4P' M B = NAOB=30° ,当点与 C 重合时，A BMP" =NBOC=90° ,： .ZP' MP" =60° ,. •. 点P的 运 动 路 径 长 为 空 上 ± / 2 = 生 & 工 ，180 3故选：A.【 点评】本题考查轨迹，三角形中位线定理，解直角三角形，弧长公式等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题.8. （ 2020•淄博）如图，放置在直线/上的扇形O A 8 .由图①滚动（ 无滑动）到图②，再由图②滚动到图③. 若半径0 4 = 2 , 4 0 8 = 4 5 ° , 则点。

所经过的运动路径的长是（ ）A. 271+2 B. 3T T C. -^― D. .i2L+22 2【 考点】轨迹.【 专题】动点型；与圆有关的计算；应用意识.【 分析】利用弧长公式计算即可.点 O 的运动路径的长=00 ［ 的长3的长+ ° 2的长= 90• 兀・2, 90• 兀・2445• 兀・2180 180 180_-5---兀---，2故选：C.【 点评】本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.9. （ 2019•武汉）如图，A 8是的直径，M、N 是 金 （ 异于A、B ）上两点，C 是篇j上一动点，NAC8的 角 平 分 线 交 于 点 /B 4 C 的平分线交CO于点£ 当点C 从点M运动到点N 时，则 C、E 两点的运动路径长的比是（ ）DA. V2 B. — C. 3 D . 在2 2 2【 考点】圆周角定理；轨迹.【 专题】与圆有关的计算.【 分析】如图，连接E B .设 O A = r.作等腰RtZXAOB, A D = D B , Z A D B = 9 0Q ,则点E 在以为圆心D 4为半径的弧上运动，运动轨迹是衣，点 C 的运动轨迹是余，由题意N M 0 N = 2 2 G D F ,设/G C F = a ,则/M 0 N = 2 a ,利用弧长公式计算即可解决问题.【 解答】解：如图，连接£ 艮 设 。

4 = r.是直径，A ZACB=90° ,是△ ACB的内心，A Z A E B = \35° ,作等腰Rt/\ADB, A D = D B , NADB=90° ,则点E 在以为圆心D A为半径的弧上运动，运动轨迹是GF，点 的运动轨迹是MN，V Z M O N = 2 Z G D Ff 设N G O F = a,则 NM0N=2a.谕的长,⑧的长2 a -冗 什180 r-a -71 - 7 2180故选：A.【 点评】本题考查弧长公式，圆周角定理，三角形的内心等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找点的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题.1 0 . ( 2 0 2 1秋•市中区期中) 如图，直线小y = x + \与直线/2 ：尸工丫二相交于点P ( - 1 ,2 20 ) .直 线 与y轴交于点A . 一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直 线/2上的点与 处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线/| 上的点4处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线/2上的点比处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达 直 线 上 的 点 上 处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点B l ，A\, Bl, A 2，8 3 , A 3 , …，8 2014 ，4 2014 ,…则当动点C到达A 2021处时，运动【 考点】一次函数的性质；两条直线相交或平行问题；轨迹.【 专题】规律型；运算能力.【 分析】 由直线直线/1： y = x + l可知，A ( 0, 1) ,则Bi纵坐标为1,代入直线/2：产 工 +工2 2中，得 B i ( 1, 1) ,又 A i、B i 横坐标相等，可得 A i ( 1, 2 ) ,则 A B i — 1, A\B\=2 - 1 = 1,可 判 断 为 等 腰 直 角 三 角 形 ，利用平行线的性质，得△ 4 A 2 &、△A 2A 3 B 3、…、都是等腰直角三角形，根据平行于x轴的直线上两点纵坐标相等，平行于y轴的直线上两点横坐标相等，及直线八 、/2的解析式，分别求4小，血 比 的长，得出一般规律，即可得到运动的总路径的长=2 X ( 22021 - 1 ) = 22°22-2.【 解答】解：由直线d y = x + l可知，A ( 0, 1) ,根据平行于x轴的直线上两点纵坐标相等，平行于) ， 轴的直线上两点横坐标相等，及直线/1、/2的解析式可知，Bi ( 1, 1) , A 8 i = l ,A\ ( 1, 2) , A]B]—2 - 1 = 1,B 2( 3 , 2) , A 2( 3 , 4 ) , 4 8 2= 3 -1= 2, A汨2= 4 - 2= 2, A2B3=1 - 3 = 4 = 23-…，心8 3 = 7 - 3 = 4 = 2^ -1由此可得A点” = 2" .1,所以，当动点C到达4 2021处时，运动的总路径的长= 2 X ( 1+2+22+23+……+22020) ,设 5 = 1+2+22+23+... +22020@ ,则 2S = 2+22+23+24... +22。

21 ②,② -①，得：5 = 22021 - 1 ,二运动的总路径的长= 2X ( 22021 - 1 ) = 22022 - 2.故选：D.【 点评】本题考查了一次函数的综合运用.关键是利用平行于x轴的直线上点的纵坐标相等，平行于y轴的直线上点的横坐标相等，得出点的坐标，判断等腰直角三角形，得出一般规律.考点卡片1 .坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到X轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关； ②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号.2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律.3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“ 割、补”法去解决问题.2 . 一次函数的性质一次函数的性质：k > 0, y随x的增大而增大，函数从左到右上升；左< 0, y随x的增大而减小，函数从左到右下降.由于丫= 区+8与y轴 交 于（ 0, b） ,当〃>0时，（ 0, h ）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当匕V 0时，（ 0, b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴.3 .两条直线相交或平行问题直线y = fc r +b , （ E W 0,且 左,人为常数） ，当人相同，且方不相等，图象平行；当上不同，且〃相等，图象相交；当七人都相同时，两条线段重合.（ 1）两条直线的交点问题两条直线的交点坐标， 就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解.（ 2）两条直线的平行问题若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即Z值相同.例如：若直线y\ =k\x+ b\与直线y2=kix+ b2平行，那么k\ =fo.4 .二次函数的性质二次函数y = « ? + 6 x + c （ a W O ）的顶点坐标是（- 耳 ，丝工） ，对称轴直线x=-红 ，2a 4a 2a二次函数丁= 。

/+ 灰 + a W O ）的图象具有如下性质：①当Q> 0 时，抛物线（ oWO）的开口向上， k V - 上 《 时， y 随 x 的增大而减小；2a2X> - 以 时 ，y 随 X 的增大而增大；x = - 旦 时 ，y 取得最小值4ac-b ,即顶点是抛物线2a 2a 4a的最低点.②当a < 0 时，抛物线yno?+bx+c QW0）的开口向下， x< 一 旦 时 ， y 随 x 的增大而增大；2a2x> - 过 时 ，y 随 X 的增大而减小；x = - 旦 时 ，y 取得最大值@ £ Z k _ ,即顶点是抛物线2a 2a 4a的最高点.③ 抛 物 线 > = /+ 公 + ，（” W0）的图象可由抛物线y = a /的图象向右或向左平移I - 上 | 个单2a位，再向上或向下平移在型二之I个单位得到的.4a5 . 二次函数图象上点的坐标特征2二次函数y=a»+fcv+c （ a#0）的图象是抛物线，顶点坐标是（- 以 ，4ac- b ） .2a 4a①抛物线是关于对 称 轴 》 =-a成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足2a函数函数关系式. 顶点是抛物线的最高点或最低点.②抛物线与 > - 轴交点的纵坐标是函数解析中的c 值.③抛物线与x 轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（XI，0） ,（X2, 0） , 则其对称轴为x= X^ -X^.26 . 抛物线与x 轴的交点求二次函数（ a, b, c 是常数， “ W0）与 x 轴的交点坐标，令 y = 0 ,即 o^+fev+c= 0 , 解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标.（ 1）二次函数yuo^+foc+c （ « , b, c 是常数，aWO）的交点与一元二次方程/ + 6 尤 + 。

=0根之间的关系.△ = 启 -4ac决定抛物线与x 轴的交点个数.△= /- 4 a c > 0 时，抛物线与x 轴有2 个交点；△= /- 4 a c = 0 时，抛物线与x 轴 有 1个交点；△ = 廿 - 4加、 <0 时，抛物线与x 轴没有交点.（ 2）二次函数的交点式：y =a （ x - x i） G -X 2）（ a, b, c是常数，aWO） , 可直接得到抛物线与X轴的交点 坐 标（XI，0） ,（X2, 0） .7 . 等腰三角形的性质（ 1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.（ 2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等.【 简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合. 【 三线合一】（ 3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线：④顶角平分线. 以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论.8 . 等边三角形的性质（ 1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形.①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系: 等边三角形是等腰三角形的特殊情况. 在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的.（ 2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60° .等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边， 三边的垂直平分线是对称轴.9 . 含 30度角的直角三角形（ 1）含 30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.（ 2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数.（ 3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（ 30° ）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时. ，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边.10 . 勾股定理（ 1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别是小b ,斜边长为C , 那么。

2+必 = 02.（ 2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.(3 )勾股定理公式J+ /> 2 = c 2的变形有：a = J 2 , 2 , / 及kJ / ./ .v c - b v c - a v a + b(4 )由于〃 2 +必 = / > “2 ,所 以c > “ ，同 理c > b ,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边.1 1 .垂径定理(1 )垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.(2 )垂径定理的推论推 论1 ：平分弦(不是直径) 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.推论2 ：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.推论3 ：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.12 .圆心角、弧、弦的关系(1 )定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.( 2 )推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“ 弧”是指同为优弧或劣弧.( 3 )正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三 项 “ 知一推二” ，一项相等，其余二项皆相等. 这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合.( 4 )在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分.13 .圆周角定理( 1 )圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.注意： 圆周角必须满足两个条件： ①顶点在圆上. ②角的两条边都与圆相交， 二者缺一不可.( 2 )圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆( 或直径) 所对的圆周角是直角，90 °的圆周角所对的弦是直径.( 3 )在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握.( 4 ) 注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形. 利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化. ②圆周角和圆周角的转化可利用其“ 桥梁”——圆心角转化. ③定理成立的条件是“ 同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.14 . 轨迹15 . 旋转的性质( 1 ) 旋转的性质：— ①对应点到旋转中心的距离相等. —②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. — ③旋转前、后的图形全等. —( 2 ) 旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度. — 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样.16 . 坐标与图形变化- 旋转( 1 ) 关于原点对称的点的坐标P ( x , y) =P(. - x, - y)( 2 ) 旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标. 常见的是旋转特殊角度如：3 0 ° , 4 5° , 60 ° , 90 ° , 1 8 0。