最新【北师大版适用】初二数学上册《专训2-巧用勾股定理求最短路径的长》.doc

专训2　巧用勾股定理求最短路径的长名师点金：求最短距离的问题，第一种情况是通过计算和比较解最短距离问题；第二种情况是平面图形，将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中，然后借助勾股定理解决；第三种情况是立体图形，将立体图形展开为平面图形，在平面图形中将路程转化为两点间的距离，然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离)． 用计算法求平面中的最短问题1．如图，A，B两块试验田相距200 m，C为水源地，AC＝160 m，BC＝120 m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到试验田A，B；乙方案：过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到线段AB上的H处，再从H分别向试验田A，B修筑水渠．(1)试判断△ABC的形状，并说明理由．(2)两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．(第1题) 用平移法求平面中的最短问题2．如图，小明在广场上先向东走10 m，又向南走40 m，再向西走20 m，又向南走40 m，再向东走70 m．则小明到达的终点与原出发点的距离是________．(第2题)　　　　(第3题)3．如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则AF的长是________． 用对称法求平面中的最短问题4．某岛争端持续，我海监船加大对该岛海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA＝45 n mile，OB＝15 n mile，该岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向此岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．(1)请用直尺和圆规作出C处的位置；(2)求我国海监船行驶的航程BC的长．(第4题)5．高速公路的同一侧有A，B两城镇，如图所示，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′＝2 km，BB′＝4 km，且A′B′＝8 km.要在高速公路上A′，B′之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最短．求这个最短距离．(第5题) 用展开法求立体图形中的最短问题 圆柱中的最短问题6．有一只蚂蚁要从一个圆柱形玻璃杯的点A爬到与A相对的点B处，如图所示，已知杯子高8 cm，点B距杯口3 cm，杯子底面半径为4 cm.蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为多少？(π取3)(第6题) 圆锥中的最短问题7．如图，观察图形解答下面的问题：(1)此图形的名称为________．(2)请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它的侧面沿AS剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个________．(3)如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食物，但它又不能直接沿AC爬到C处，只能沿此立体图形的侧面爬行．你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？(4)SA的长为10，侧面展开图的圆心角为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程的平方．(第7题) 长方体中的最短问题8．如图，桌子上放着一个长方体盒子，长、宽、高分别是12 cm，8 cm，30 cm，在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处沿盒子表面爬到C处去吃．求小虫爬行的最短路程．(第8题)9．有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80 cm，高AB＝60 cm，水深AE＝40 cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60 cm.一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G处吃鱼饵．(1)小虫应该走怎样的路线才能使爬的路线最短呢？请你在图中画出它爬行的路线，并用箭头标注．(2)求小虫爬行的最短路线长．(第9题)答案1．解：(1)△ABC是直角三角形．理由如下：因为AC2＋BC2＝1602＋1202＝40 000，AB2＝2002＝40 000，所以AC2＋BC2＝AB2.所以△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°.(2)甲方案所修的水渠较短．因为△ABC是直角三角形，所以△ABC的面积＝AB·CH＝AC·BC.所以CH＝＝＝96(m)．因为AC＋BC＝160＋120＝280(m)，CH＋AH＋BH＝CH＋AB＝96＋200＝296(m)，所以AC＋BC