椅子放平稳问题数学建模.docx

真理惟一可靠的标准就是永远自相符合土地是以它的肥沃和收获而被估价的；才能也是土地，不过它生 产的不是粮食，而是真理如果只能滋生瞑想和幻想的话，即使再大的才能也只是砂地或盐池，那上面连 小草也长不出来的椅子放平稳问题所谓数学模型是指对于一个实际问题，为了特定目的，作出必要的简化假设， 根据问题的内在规律，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构.建立及求解数学模型的过程就是数学建模.下面例子是一个简单的数学建模问题.问题：四条腿一样长的椅子一定能在不平的地面上放平稳吗？1 .模型假设(文字转化为数学语言)(1)椅子四条腿一样长，椅子脚与地面的接触处视为一个点，四脚连线呈正方形；(2)地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断(没有台阶那样的情况)，即视地面为数学上的连续曲面；(3)地面起伏不是很大，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地^2 .模型建立(运用数学语言把条件和结论表现出来)设椅脚的连线为正方形 ABCD ,对角线 AC与X轴重合，坐标原点 O在椅子中心，当椅 子绕点旋转后，对角线 AC变为A'C' , A'C'与X轴的夹角为6 .由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记 A、C两脚与地面距离之和为f (⑴，B、D两脚与地面距离之和为g(日).显然f (日)之0、g伸)之0。

因此椅子和地面的距离之和可令 h(6) = f (6)+g(6)由假设(2) , f (X)、g(x)为连续函数，因此h(0)也是连续函数；由假设(3),得：f(e)g(9)=0则该问题归结为：已知连续函数f (6) >0> g(6) 20且f (9)g(g) =0,至少存在一个 品，使得：f (%) =g(A) =03 .模型求解 (找出日0)证明：不妨设f(0) A0,则g(0)=0o令8=一(即旋转90，对角线AC和BD互换)则有f(-)=0,g(-)>0222真理惟一可靠的标准就是永远自相符合土地是以它的肥沃和收获而被估价的；才能也是土地，不过它生 产的不是粮食，而是真理如果只能滋生瞑想和幻想的话，即使再大的才能也只是砂地或盐池，那上面连定义：H (9) = f (9) -g(0),所以nJiH(0)H(-) 7 f (0)g(”0 22根据连续函数解的存在性定理， 得：存在飞•(0二)2使得：H(e0)=f(00)-g(00)=O;又f(U0)g/0)=0所以 fQ) =gQ) =0即当日=为时，四点均在同一 平面上。