被积函数有界.ppt

第四节第四节 反常积分反常积分一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分常义积分积分限有限被积函数有界 解决许多实际问题要求我们将函数f(x)从有限区间推广到无限区间,将有界函数推广到无界函数.从而得到两种反常积分(也称广义积分).一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分引例引例. 曲线和直线及 x 轴所围成的开口曲边梯形的面积 可记作其含义可理解为 yox定义定义1. 设若存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分反常积分, 记作这时称反常积分收敛 ;如果上述极限不存在,就称反常积分发散 .类似地 , 若则定义则定义( c 为任意取定的常数 )只要有一个极限不存在 , 就称发散 .无穷限的反常积分也称为第一类反常积分第一类反常积分. 并非不定型 ,说明说明: 上述定义中若出现 它表明该反常积分发散 .引入记号则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :例例1. 计算反常积分解解:思考思考: 分析分析:原积分发散 !注意注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 .例例2. 讨论反常积分解解:当 p =1 时有 当 p ≠ 1 时有 的敛散性.因此, 当 p >1 时, 反常积分收敛 , 其值为当 p≤1 时, 反常积分发散 . 例例3. 计算反常积分解解:二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分引例引例:曲线所围成的与 x 轴, y 轴和直线开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为 yox定义定义2. 设而在点 a 的右邻域内无界,存在 ,这时称反常积分收敛收敛 ; 如果上述极限不存在,就称反常积分发散发散 .类似地 , 若而在 b 的左邻域内无界,若极限数 f (x) 在 [a , b] 上的反常积分, 记作则定义则称此极限为函 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明说明: 而在点 c 的无界函数的积分又称作第二类反常积分第二类反常积分, 无界点常称邻域内无界 ,为瑕点瑕点(奇点奇点) .例如,间断点,而不是反常积分. 则本质上是常义积分, 则定义注意注意: 若瑕点的计算表达式 : 则也有类似牛 – 莱公式的若 b 为瑕点, 则若 a 为瑕点, 则若 a , b 都为瑕点, 则则可相消吗可相消吗?设F(x)是f(x)的原函数, 所以点a为被积函数的瑕点  解 例4 解 例5 例例6. 证明反常积分证证: 当 q = 1 时,当 q < 1 时收敛 ; q≥1 时发散 .当 q≠1 时所以当 q < 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为当 q ≥ 1 时, 该广义积分发散 .内容小结内容小结 1. 反常积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限 2. 两个重要的反常积分 作业：作业：p-260习题习题5-4 1 (4) , (5) , (6) , (9) , (10) ; 2 。