圆压轴八大模型题(4)-圆内接等边三角形.doc

圆压轴题八大模型题（四）泸州市七中佳德学校 易建洪 引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题中的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题一般都是在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市中考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧把握了这些方法与技巧，就能台阶性帮助考生解决问题类型4 圆内接等边三角形如图，点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点.(1) 求证：PA＝PB＋PC；(2) 设PA、BC交于点M，① 若BP＝4，PC＝2，求CM的长度.② 若AB＝4，PC＝2，求CM的长度.【分析】(1) 证明：连结CD．在PA上截取PD=PC，图1证得△ACD≌△BCP，∴AD=PB，又DP=PC，因此PA=PB+PC.(2)①⊙O中△ABM∽△CPM, ∴设MC=x，则AM=2x,MN=2-x，又AN=2,在Rt△AMN中，由勾股定理得CM=x=.图（3）图（2）图（1）(2)②过点C作CE⊥AP于E，过点A作AN⊥BC于点N.由（1）可得AP=BP+CP=4+2=6,Rt△PCE中PE=1,CE=，则AE=5,AC=2,因此AB=AC=2,由（2）②可得CM=.【典例】（2018·湖南常德）如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线； （2）求证：BD＝CF．图4-1【分析】（1）连结OA后，由∠OAC＝30°，BC∥AE得∠CAE＝∠BCA＝60°，因此∠OAE＝90°证得AE是⊙O的切线.（2）∠ADF＝∠ABC＝60°，且DF＝DA得等边△ADF，且△ABC也是等边三角形，可得△ADB≌△AFC，因此BD＝CF.【解答】证明：（1）连接OD，∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴∠OAC＝30°，∠BCA＝60°，∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠BCA＝60°，∴∠OAE＝∠OAC＋∠EAC＝30°＋60°＝90°，图a∴AE是⊙O的切线；（2）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠ADF＝∠ABC＝60°，∵AD＝DF，∴△ADF是等边三角形，∴AD＝AF，∠DAF＝60°，∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAF＋∠CAD，即∠BAF＝∠CAF，在△BAD和△CAF中，∵，∴△BAD≌△CAF，∴BD＝CF．【点拨】等边三角形的边等角等易构造三角形全等和相似，圆上一点与圆内接等边三角形三顶点的连线之间的关系探究，可以运用延长法与截短法；含60°角三角形，知两边求第三边；借相交弦或平行线得三角形相似，作等边三角形的高，借比例线段和勾股定理建方程求线段是关键。

变式运用】1.（2011·泸州）如图，点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点．（1）求∠BPC的度数；（2）求证：PA＝PB＋PC；（3）设PA，BC交于点M，若AB＝4，PC＝2，求CM的长度．（1）解：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点，∴四边形ABPC是圆的内接四边形∴∠BPC＋∠BAC＝180°，∴∠BPC＝120°，（2）证明：连结CD．在PA上截取PD＝PC，图4-2∵AB＝AC＝BC，∴∠APB＝∠APC＝60°，∴△PCD为等边三角形，∴∠PCD＝∠ACB＝60°，CP＝CD，∴∠PCD﹣∠DCM＝∠ACB﹣∠DCM，即∠ACD＝∠BCP，在△ACD和△BCP中，，∴△ACD≌△BCP，∴AD＝PB，∵PA＝AD＋DP，DP＝PC，图b∴PA＝PB＋PC；（3）解：∵△PCD和△ABC都为等边三角形，∴∠MDC＝∠ACM＝60°，CD＝PC，又∵∠DMC＝∠CMA，∴△CDM∽△ACM，AB＝4，PC＝2，∴CM：AM＝DM：MC＝DC：AC＝PC：AC＝2：4＝1：2，设DM＝x，则CM＝2x，BM＝4﹣2x，PM＝2﹣x，AM＝4x，AD＝AM﹣DM＝4x﹣x＝3x∵∠BMP＝∠CMA，∠PBM＝∠CAM，∴△BPM∽△ACM，∴BP：AC＝PM：CM，即3x：4＝（2﹣x）：2x，解得x＝（舍去负号），则x＝，∴CM＝．2.如图，已知AD是△ABC外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB、FC.（1）求证：FB＝FC；（2）FB2＝FA·FD；（3）若AB是△ABC的外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6cm，求AD的长.证明：（1）∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC.∵四边形AFBC内接于圆，图4-3∴∠DAC＝∠FBC.∵∠EAD＝∠FAB＝∠FCB，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC.（2）∵∠FAB＝∠FCB＝∠FBC，∠AFB＝∠BFD，∴△FBA∽△FDB，∴∴FB2＝FA·FD.（3）解：∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠EAC＝120°，∴∠DAC＝∠EAC＝60°.∵四边形ACBF内接于圆，∴∠DAC＝∠FBC＝60°，又FB＝FC，∴△BFC是等边三角形，∴∠BAC＝∠BFC＝60°，∴∠D＝30°.∵BC＝6，∴AC＝2，∴AD＝2AC＝4．3.（2016·德阳）如图，点D是等边三角形ABC外接圆上一点.M是BD上一点，且满足DM＝DC，点E是AC与BD的交点.（1）求证：CM//AD；（2）如果AD＝1，CM＝2.求线段BD的长及△BCE的面积.解：（1）∵DABC是正三角形，∴,∴∠ADB＝∠BDC＝60°，又∵DM＝DC，∴DCDM是等边三角形，即DM＝CM＝CD，∴∠DMC＝60°，∴∠ADB＝∠DMC＝60°，∴CM∥AD； （2）∵∠DAC＝∠DBC，∠BMC＝∠ADC＝120°，而AC＝BC，∴DADC≌DBMC，∴BM＝AD＝1，图4-4∴BD＝BM＋MD＝1＋2＝3 由（1）可得，DADE∽DCME，而AD＝1，CM＝2，∴又∵MD＝2，∴DE＝，ME＝， ∵，且点E段AC上，∴AE＝AC，∵∠BAC＝∠BDC＝60°，∠ABD＝∠ACD，∴DABE∽DDCE，∴, ∴,又∵AB＝AC，∴AB2＝7，即AB＝＝BC,∵AD＝1,CM＝2,CM＝CD,∴AD:CD＝1:2,又∵∠ADE＝∠CDE＝60°，∴BD平分∠ADC，∴AE：CE＝AD：CD＝1：2，∴CE＝AC，∴SDBCE＝×SDABC＝××()2＝. 。