(完整版)全称量词和特称量词.doc

3． 1 全称量词与全称命题3． 2 存在量词与特称命题明目标、知重点 1.通过具体实例理解全称量词和存在量词的含义 .2.会判断全称命题和特称命题的真假．1．全称量词与全称命题在命题的条件中，“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．含有全称量词的命题，叫作全称命题．2．存在量词与特称命题在命题中， “有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义， 这样的词叫作存在量词．含有存在量词的命题，叫作特称命题．探究点一 全称量词与全称命题思考 1 下列语句是命题吗？ (1)与 (3) ， (2)与 (4) 之间有什么关系？(1) x>3；(2)2x＋ 1 是整数；(3) 对所有的 x∈ R， x>3；(4) 对任意一个 x∈ Z,2x＋ 1 是整数．答 语句 (1)(2) 含有变量 x，由于不知道变量 x 代表什么数， 无法判断它们的真假， 因而不是命题．语句 (3)在 (1) 的基础上，用短语“对所有的”对变量 x 进行限定；语句 (4) 在 (2)的基础上，用短语“对任意一个”对变量 x 进行限定，从而使 (3)(4) 成为可以判断真假的语句，因此语句 (3)(4) 是命题．小结 短语 “ 所有 ”“ 每一个 ”“ 任何 ”“ 任意一条 ”“ 一切 ” 都是在指定范围内， 表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．像这样含有全称量词的命题，叫作全称命题．思考 2 如何判定一个全称命题的真假？答要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每个元素 x 验证 p(x)成立；但要判定全称命题是假命题， 只要能举出集合M 中的一个 x0，使得 p(x0)不成立即可 (即举反例 )．例 1 判断下列全称命题的真假：(1)所有的素数是奇数；(2)任意 x∈ R ，x2＋ 1≥ 1；(3)对每一个无理数 x， x2 也是无理数．解 (1)2 是素数，但 2 不是奇数．所以，全称命题 “ 所有的素数是奇数 ” 是假命题．(2) 任意 x∈ R ，总有 x2≥ 0，因而 x2＋ 1≥1.所以，全称命题 “ 任意 x∈ R， x2＋ 1≥ 1” 是真命题．(3) 2是无理数，但 ( 2)2＝ 2 是有理数．所以，全称命题 “ 对每一个无理数 x， x2 也是无理数 ” 是假命题．反思与感悟 判断全称命题的真假，要看命题是否对给定集合中的所有元素成立．跟踪训练 1 试判断下列全称命题的真假：(1) 任意 x∈ R ，x2＋ 2>0 ； (2)任意 x∈ N ， x4≥1.(3) 对任意角 α，都有 sin2α＋ cos2α＝1.解 (1) 由于任意 x∈ R ，都有 x2≥ 0，因而有 x2＋ 2≥ 2>0 ，即 x2＋ 2>0，所以命题 “ 任意 x∈R ，x2＋ 2>0” 是真命题．(2) 由于 0∈ N，当 x＝ 0 时， x4≥ 1 不成立，所以命题 “ 任意 x∈ N， x4≥ 1” 是假命题．(3) 由于任意 α∈ R， sin2α＋cos2 α＝ 1 成立．所以命题 “ 对任意角 α，都有 sin2α＋ cos2α＝ 1”是真命题．探究点二 存在量词与特称命题思考 1 下列语句是命题吗？ (1)与 (3) ， (2)与 (4) 之间有什么关系？(1)2x＋ 1＝ 3；(2) x 能被 2 和 3 整除；(3) 存在一个 x0∈ R，使 2x0＋ 1＝3；(4) 至少有一个 x0∈ Z，使 x0 能被 2 和 3 整除．答 (1)(2) 不是命题，的取值进行限定；语句(3)(4) 是命题．语句 (3) 在 (1) 的基础上，用短语“存在一个”对变量(4)在 (2) 的基础上，用“至少有一个”对变量 x 的取值进行限定，从x而使 (3)(4) 变成了可以判断真假的语句，因此语句(3)(4)是命题．小结“ 有些 ”“ 至少有一个 ”“ 有一个 ”“ 存在 ” 都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词．像这样含有存在量词的命题，叫作特称命题．思考 2 怎样判断一个特称命题的真假？答 要判断一个特称命题是真命题， 只要在限定集合 M 中，至少能找到一个x＝ x0，使 p(x0)成立即可，否则，这一特称命题是假命题．例 2 判断下列特称命题的真假：2(1) 有一个实数 x0，使 x0＋ 2x0＋ 3＝ 0；(2) 存在两个相交平面垂直于同一条直线；(3) 有些整数只有两个正因数．解 (1) 由于任意 x∈ R ，x2＋ 2x＋ 3＝(x＋1) 2＋ 2≥ 2，因此使 x2＋ 2x＋ 3＝ 0 的实数 x 不存在．所以，特称命题 “ 有一个实数 x ，使 x2＋ 2x ＋ 3＝ 0”是假命题．0 0 0(2) 由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线．所以，特称命题 “ 存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题．(3) 由于存在整数 3 只有两个正因数 1 和 3，所以特称命题 “ 有些整数只有两个正因数 ” 是真命题．反思与感悟 特称命题是含有存在量词的命题， 判断一个特称命题为真， 只需在指定集合中找到一个元素满足命题结论即可．跟踪训练 2 判断下列命题的真假：(1) 存在 x0∈ Z ， x30<1；(2) 存在一个四边形不是平行四边形；(3) 有一个实数 α， tan α无意义；π(4) 存在 x0∈R ， cos x0＝2.解 (1)∵－ 1∈ Z，且 (－ 1)3＝－ 1<1，∴“ 存在 x ∈ Z ， x3<1” 是真命题．0 0(2) 真命题，如梯形．π(3) 真命题，当 α＝ 2时， tan α无意义．(4) ∵ 当 x∈ R 时， cos x∈ [－ 1,1] ，π而2>1， ∴ 不存在 x0∈ R，π使 cos x0＝ 2，∴原命题是假命题．探究点三全称命题、特称命题的应用思考不等式有解和不等式恒成立有何区别？答不等式有解是存在一个元素， 使不等式成立， 相当于一个特称命题； 不等式恒成立则是给定集合中的所有元素都能使不等式成立，相当于一个全称命题．例 3(1) 已知关于 x 的不等式 x2＋ (2a＋ 1)x＋ a2 ＋ 2≤ 0 的解集非空，求实数a 的取值范围；(2) 令 p(x)： ax2＋ 2x＋ 1>0 ，若对任意 x∈R ， p(x)是真命题，求实数a 的取值范围．解 (1) 关于 x 的不等式 x2＋ (2a＋1)x＋ a2＋ 2≤ 0 的解集非空， ∴Δ＝(2a＋ 1)2－ 4(a2＋2)≥ 0，即 4a－ 7≥0，7 7解得 a≥ 4， ∴ 实数 a 的取值范围为 4，＋ ∞ .(2) ∵ 对任意 x∈ R， p(x)是真命题．∴对任意 x∈R ， ax2＋2x＋ 1>0 恒成立，当 a＝ 0 时，不等式为 2x＋ 1>0 不恒成立，a>0，当 a≠ 0 时，若不等式恒成立，则＝ 4－ 4a<0，∴ a>1.反思与感悟 有解和恒成立问题是特称命题和全称命题的应用，注意二者的区别．跟踪训练 3 (1) 对于任意实数 x，不等式 sin x＋ cos x>m 恒成立，求实数 m 的取值范围；(2) 存在实数 x，不等式 sin x＋ cos x>m 有解，求实数 m 的取值范围．解 (1)令 y＝ sin x＋ cos x， x∈R ，π∵y＝ sin x＋ cos x＝ 2sin x＋ 4 ≥ － 2，又∵ 任意 x∈R ， sin x＋ cos x>m 恒成立，∴只要 m<－ 2即可．∴所求 m 的取值范围是 (－ ∞，－ 2)．(2) 令 y＝ sin x＋ cos x， x∈ R，π∵y＝ sin x＋ cos x＝ 2sin x＋ 4 ∈ [－ 2， 2]．又∵ 存在 x∈R ， sin x＋ cos x>m 有解，∴只要 m< 2即可，∴所求 m 的取值范围是 (－ ∞， 2) ．1．下列命题中特称命题的个数是()①有些自然数是偶数； ②正方形是菱形； ③能被 6 整除的数也能被 3 整除；④对于任意 x∈ R，总有 |sin x|≤ 1.A．0 B．1 C． 2 D．3答案B解析命题 ① 含有存在量词； 命题 ②可以叙述为 “ 所有的正方形都是菱形 ” ，故为全称命题；命题 ③ 可以叙述为 “一切能被 6 整除的数都能被 3 整除 ” ，是全称命题； 而命题 ④ 是全称命题．故有一个特称命题．2．下列命题中，不是全称命题的是()A ．任何一个实数乘以 0 都等于 0B．自然数都是正整数C．每一个向量都有大小D．一定存在没有最大值的二次函数答案D解析D 选项是特称命题．3．下列命题中的假命题是 ()A ．存在 x∈ R， lg x＝ 0B．存在 x∈R ， tan x＝ 1C．任意 x∈ R， x3>0D．任意 x∈ R, 2x>0答案C解析对于 A ，当 x＝ 1 时， lg x＝ 0，正确；对于 B ，当 x＝ πC，4时， tan x＝ 1，正确；对于当 x＜ 0 时， x3＜ 0，错误；对于 D，任意 x∈ R,2x＞ 0，正确．4．用量词符号“任意”“存在”表述下列命题：(1) 凸 n 边形的外角和等于 2π.(2) 有一个有理数 x2满足 x ＝ 3.00(3) 对任意角 α，都有 sin2α＋ cos2α＝1.解 (1) 任意 x∈ { x|x 是凸 n 边形 } ，x 的外角和是 2π.2(2) 存在 x0∈Q ， x0＝3.(3) 任意 α∈R ， sin2α＋cos2α＝ 1.[呈重点、现规律 ]。